Lösungswege für quadratische Gleichungen

Lösungswege für quadratische Gleichungen Übung

• Gib die Formen für quadratische Gleichungen an.

  Tipps

  In einer quadratischen Gleichung ist die Variable zur zweiten Potenz erhoben.

  Teilst du die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung durch den Koeffizienten des quadratischen Gliedes, so erhältst du die Normalform und kannst die $pq$-Formel anwenden.

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung kann in unterschiedlichen Formen vorliegen. Die allgemeine Form lautet:

  • $\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches Glied}}+\underbrace{bx}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{c}_{\text{absolutes Glied}}=0$

  Dabei sind $a$, $b$ und $c$ die Koeffizienten. Eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form kann man direkt mit der Mitternachtsformel lösen. Teilt man die allgemeine Form durch den Koeffizienten $a$ des quadratischen Gliedes, so erhält man die Normalform. Bei der Normalform ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes nämlich $1$. Wir geben diese wie folgt an:

  • $x^2+px+q=0$

  Speziell betrachtet, gilt dann $p=\frac ba$ und $q=\frac ca$.

  Eine quadratische Gleichung in Normalform lösen wir mithilfe der $pq$ -Formel. Hat eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen, so kann man sie auch in der Produktform angeben. Diese nennt man auch Linearfaktorzerlegung. Sie lautet allgemein:

  • $(x-m)(x-n)=0$

  Hier kann man die Lösungen $m$ und $n$ direkt ablesen, denn nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

• Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:

  • $x^2+px+q=0$

  Die $pq$-Formel lautet:

  • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac {p^2}4-q}$

  Um die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform zu bestimmen, betrachtet man die Diskriminante der entsprechenden $pq$-Formel:

  • $\frac {p^2}4-q>0$: zwei Lösungen
  • $\frac {p^2}4-q=0$: eine Lösung
  • $\frac {p^2}4-q<0$: keine Lösung

  Lösung

  Wir überführen die quadratischen Gleichungen in die Normalform, indem wir die Gleichungen jeweils durch ihren Koeffizienten im quadratischen Glied teilen. So erhalten wir Gleichungen in der Normalform:

  • $x^2+px+q=0$

  Mit der $pq$-Formel können wir dann die Lösungen wie folgt bestimmen:

  • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac {p^2}4-q}$

  Um die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform zu bestimmen, betrachtet man die Diskriminante der entsprechenden $pq$-Formel:

  • $\frac {p^2}4-q>0$: zwei Lösungen
  • $\frac {p^2}4-q=0$: eine Lösung
  • $\frac {p^2}4-q<0$: keine Lösung

  Damit erhalten wir folgende Lösungen:

  Gleichung 1

  $\begin{array}{lllll} & 3x^2+9x+6 &=& 0 & \vert :3 \\ & x^2+3x+2 &=& 0 & \\ \end{array}$

  Mit den Koeffizienten $p=3$ und $q=2$ folgt:

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac 32\pm\sqrt{\frac {3^2}4-2} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 32\pm\sqrt{\frac 94-\frac 84} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 32\pm\sqrt{\frac 14} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 32\pm\frac 12 \\ \\ & x_1 &=& -1 \\ & x_2 &=& -2 \end{array}$

  Damit lautet die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace -1; -2\rbrace$

  Gleichung 2

  $\begin{array}{lllll} & 3x^2+6x+6 &=& 0 & \vert :3 \\ & x^2+2x+2 &=& 0 & \\ \end{array}$

  Mit den Koeffizienten $p=2$ und $q=2$ folgt:

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac 22\pm\sqrt{\frac {2^2}4-2} \\ & x_{1,2} &=& - 1\pm\sqrt{1-2} \\ & x_{1,2} &=& - 1\pm\sqrt{-1} \end{array}$

  Da der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, hat diese quadratische Gleichung keine Lösung. Damit lautet die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace \rbrace$. Sie ist also leer.

• Ermittle die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  Alle quadratischen Gleichungen liegen in der Normalform vor. Du kannst also die $pq$-Formel direkt verwenden:

  • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac {p^2}4-q}$

  Sieh dir folgendes Beispiel an: $~x^2\ \underbrace{-4}_{p}\ x\ \underbrace{-5}_{q}\ =\ 0$

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac {-4}2\pm\sqrt{\frac {-4^2}4-(-5)} \\ & x_{1,2} &=& 2\pm\sqrt{4+5} \\ & x_{1,2} &=& 2\pm\sqrt{9} \\ & x_{1,2} &=& 2\pm 3 \\ \\ & x_1 &=& 5 \\ & x_2 &=& -1 \end{array}$

  Lösung

  Wir setzen die Koeffizienten $p$ und $q$ aus der Normalform $x^2+px+q=0$ und die $pq$-Formel ein:

  • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac {p^2}4-q}$

  Damit erhalten wir die folgenden Lösungen:

  Gleichung 1: $~x^2 + 2x + 1 = 0$

  Mit den Koeffizienten $p=2$ und $q=1$ folgt:

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac 22\pm\sqrt{\frac {2^2}4-1} \\ & x_{1,2} &=& -1\pm\sqrt{1-1} \\ & x_{1,2} &=& -1\pm\sqrt{0} \\ & x_{1,2} &=& -1\pm 0 \\ \\ & x &=& -1 \end{array}$

  Damit lautet die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace -1\rbrace$

  Gleichung 2: $~x^2 + 10x + 9 = 0$

  Mit den Koeffizienten $p=10$ und $q=9$ folgt:

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac {10}2\pm\sqrt{\frac {10^2}4-9} \\ & x_{1,2} &=& -5\pm\sqrt{25-9} \\ & x_{1,2} &=& -5\pm\sqrt{16} \\ & x_{1,2} &=& -5\pm 4 \\ \\ & x_1 &=& -1 \\ & x_2 &=& -9 \\ \end{array}$

  Damit lautet die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace -1; -9\rbrace$

  Gleichung 3: $~x^2 + 8x + 7 = 0$

  Mit den Koeffizienten $p=8$ und $q=7$ folgt:

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac {8}2\pm\sqrt{\frac {8^2}4-7} \\ & x_{1,2} &=& -4\pm\sqrt{16-7} \\ & x_{1,2} &=& -4\pm\sqrt{9} \\ & x_{1,2} &=& -4\pm 3 \\ \\ & x_1 &=& -1 \\ & x_2 &=& -7 \\ \end{array}$

  Damit lautet die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace -1; -7\rbrace$

  Gleichung 4: $~x^2 + 8x -9 = 0$

  Mit den Koeffizienten $p=8$ und $q=-9$ folgt:

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac {8}2\pm\sqrt{\frac {8^2}4-(-9)} \\ & x_{1,2} &=& -4\pm\sqrt{16+9} \\ & x_{1,2} &=& -4\pm\sqrt{25} \\ & x_{1,2} &=& -4\pm 5 \\ \\ & x_1 &=& 1 \\ & x_2 &=& -9 \\ \end{array}$

  Damit lautet die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace 1; -9\rbrace$

• Erschließe die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  Bringe die Gleichungen in die Normalform, indem du sie jeweils durch den Koeffizienten ihres quadratischen Gliedes teilst.

  Beachte die Vorzeichen der Koeffizienten.

  Sieh dir folgendes Beispiel an: $~-\frac 15x^2 + 3x + 6 = 0$

  Diese Gleichung überführst du in die Normalform, indem du entweder durch $-\frac 15$ teilst oder mit $-5$ multiplizierst.

  Lösung

  Wir überführen die quadratischen Gleichungen in die Normalform, indem wir die Gleichungen jeweils durch den Koeffizienten ihres quadratischen Gliedes teilen. So erhalten wir Gleichungen in der Normalform:

  • $x^2+px+q=0$

  Mit der $pq$-Formel können wir dann die Lösungen wie folgt bestimmen:

  • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac {p^2}4-q}$

  Um die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform zu bestimmen, betrachtet man die Diskriminante der entsprechenden $pq$-Formel:

  • $\frac {p^2}4-q>0$: zwei Lösungen
  • $\frac {p^2}4-q=0$: eine Lösung
  • $\frac {p^2}4-q<0$: keine Lösung

  Damit erhalten wir folgende Lösungen:

  Gleichung 1

  $\begin{array}{lllll} & 4x^2 + 8x -12 &=& 0 & \vert :4 \\ & x^2 + 2x -3 &=& 0 & \\ \end{array}$

  Mit den Koeffizienten $p=2$ und $q=-3$ folgt:

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac 22\pm\sqrt{\frac {2^2}4-(-3)} \\ & x_{1,2} &=& -1\pm\sqrt{1+3} \\ & x_{1,2} &=& -1\pm\sqrt{4} \\ & x_{1,2} &=& -1\pm 2 \\ \\ & x_1 &=& 1 \\ & x_2 &=& -3 \end{array}$

  Damit lautet die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace 1; -3\rbrace$

  Gleichung 2

  $\begin{array}{lllll} & -3x^2 - 6x - 3 &=& 0 & \vert :(-3) \\ & x^2 + 2x +1 &=& 0 & \\ \end{array}$

  Mit den Koeffizienten $p=2$ und $q=1$ folgt:

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac 22\pm\sqrt{\frac {2^2}4-1} \\ & x_{1,2} &=& -1\pm\sqrt{1-1} \\ & x_{1,2} &=& -1\pm\sqrt{0} \\ & x_{1,2} &=& -1\pm 0 \\ \\ & x &=& -1 \end{array}$

  Damit lautet die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace -1\rbrace$

  Gleichung 3

  $\begin{array}{lllll} & \frac 12x^2 + 3x + 4 &=& 0 & \vert \cdot 2 \\ & x^2 + 6x + 8 &=& 0 & \\ \end{array}$

  Mit den Koeffizienten $p=6$ und $q=8$ folgt:

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac 62\pm\sqrt{\frac {6^2}4-8} \\ & x_{1,2} &=& -3\pm\sqrt{9-8} \\ & x_{1,2} &=& -3\pm\sqrt{1} \\ & x_{1,2} &=& -3\pm 1 \\ \\ & x_1 &=& -2 \\ & x_2 &=& -4 \end{array}$

  Damit lautet die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\lbrace -2; -4\rbrace$

• Gib den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung und der Diskriminante der $pq$-Formel an.

  Tipps

  Die $pq$-Formel lautet:

  • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac {p^2}4-q}$

  Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel.

  Es gilt:

  • $\left(\dfrac ab\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}$

  Bedenke, dass du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst, wenn du nur mit reellen Zahlen rechnest.

  Lösung

  Die $pq$-Formel lautet:

  • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac {p^2}4-q}$

  Man kann sie auch wie folgt angeben:

  • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

  Wird ein Bruch potenziert, so werden jeweils Zähler und Nenner potenziert. Daher gibt es diese beiden Schreibweisen. Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel. Diese verrät uns die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung. Es gilt nämlich:

  • $\left(\frac p2\right)^2-q=\frac {p^2}4-q>0$: zwei Lösungen
  • $\left(\frac p2\right)^2-q=\frac {p^2}4-q=0$: eine Lösung
  • $\left(\frac p2\right)^2-q=\frac {p^2}4-q<0$: keine Lösung

• Bestimme die Linearfaktorzerlegungen der quadratischen Gleichungen in Normalform.

  Tipps

  Hat eine quadratische Gleichung in Normalform die Lösungen $m$ und $n$, so kannst du die Produktform dieser Gleichung wie folgt schreiben:

  • $(x-m)(x-n)=0$

  Du kannst deine Ergebnisse überprüfen, indem du die Klammern der Linearfaktorzerlegung ausmultiplizierst. Es gilt:

  • $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

  Erhältst du dann die jeweilige quadratische Gleichung in Normalform, so ist die Linearfaktorzerlegung korrekt.

  Lösung

  Hat eine quadratische Gleichung in Normalform die Lösungen $m$ und $n$, so kannst du die Produktform dieser Gleichung wie folgt schreiben:

  • $(x-m)(x-n)=0$

  Da alle Gleichungen bereits in der Normalform gegeben sind, können wir sie direkt mittels $pq$-Formel lösen:

  • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\frac {p^2}4-q}$

  Für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform gilt:

  • $\frac {p^2}4-q>0$: zwei Lösungen
  • $\frac {p^2}4-q=0$: eine Lösung
  • $\frac {p^2}4-q<0$: keine Lösung

  Damit erhalten wir folgende Lösungen:

  Gleichung 1: $~x^2 + 4x -12 = 0$

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac 42\pm\sqrt{\frac {4^2}4+12} \\ & x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{16} \\ & x_{1,2} &=& -2\pm 4 \\ \\ & x_1 &=& 2 \\ & x_2 &=& -6 \end{array}$

  Die Produktform lautet dann: $~(x-2)(x+6)=0$

  Gleichung 2: $~x^2 + 5x + 4 = 0$

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac 52\pm\sqrt{\frac {5^2}4-4} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 52\pm\sqrt{\frac {25}4-\frac {16}4} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 52\pm\sqrt{\frac 94} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 52\pm\frac 32 \\ \\ & x_1 &=& -1 \\ & x_2 &=& -4 \end{array}$

  Die Produktform lautet dann: $~(x+1)(x+4)=0$

  Gleichung 3: $~x^2 + 8x - 9 = 0$

  $\begin{array}{llll} & x_{1,2} &=& -\frac 82\pm\sqrt{\frac {8^2}4+9} \\ & x_{1,2} &=& -4\pm\sqrt{25} \\ & x_{1,2} &=& -4\pm 5 \\ \\ & x_1 &=& 1 \\ & x_2 &=& -9 \end{array}$

  Die Produktform lautet dann: $~(x-1)(x+9)=0$