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Lösungswege für quadratische Gleichungen 09:25 min

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Transkript Lösungswege für quadratische Gleichungen

Hallo und herzlich Willkommen. Heute zeige ich dir die Lösungswege für verschiedene Formen quadratischer Gleichungen. Quadratische Gleichungen können sehr unterschiedlich aussehen. Diese Vielfalt wollen wir heute ordnen. Außerdem werde ich dir zeigen, wie du zukünftig die verschiedenen Formen quadratischer Gleichungen lösen kannst. Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen der höchste Exponent der Unbekannten 2 ist. In dieser Form ist der Exponent 2 versteckt. Er taucht beim Ausmultiplizieren der Klammern auf. Jede quadratische Gleichung lässt sich durch Umstellen und Zusammenfassen immer auf eine dieser Grundformen bringen. Erstens, die rein quadratische Gleichung x² - a = 0. Zweitens, die quadratische Gleichung ohne Konstante. x² + px = 0. Drittens, die Produktform (x + m)(x + n) = 0. Viertens, die Normalform x² + px + q = 0. Fünftens, die allgemeine Form ax² + bx + c = 0. Zu jeder Grundform gibt es einen Lösungsweg, mit dem du die Unbekannte bestimmen kannst. Als erstes zeige ich dir ein Beispiel für eine rein quadratische Gleichung und wie man diese lösen kann. Die Glieder reinquadratischer Gleichungen bestehen ausschließlich aus einem Vielfachen von x² und einer reellen Zahl, der Konstante. Wir wollen diese Gleichung nun gemeinsam lösen. Zunächst isolieren wir immer den quadratischen vom konstanten Term, sodass wir die Form x² = a erhalten. Dazu addieren wir hier auf beiden Seiten 9 und erhalten 4x² = 9. Nun stellen wir nach x² um. Dazu dividieren wir die Gleichung durch 4 und erhalten x² = 9/4. Das Gegenteil vom Quadrieren ist das Wurzelziehen. Also müssen wir nun im letzten Schritt die Wurzel ziehen und erhalten als Lösung x1,2 = ±3/2. Die Dezimalzahl von 3/2 ist 1,5. Merke: das Wurzelziehen hat grundsätzlich zwei Lösungen, eine positive und eine negative. Das zweite Beispiel ist eine quadratische Gleichung ohne Konstante. Wenn du diese Form einer quadratischen Gleichung vorliegen hast, dann klammere immer zuerst x aus. In dem Beispiel erhältst du x(x + 5) = 0. Wie du sicherlich weißt, ist ein Produkt genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist. Also muss entweder x = 0 oder x + 5 = 0 sein. Wir erhalten die Lösungen x1 = 0 und x2 = -5. Das dritte Beispiel ist eine quadratische Gleichung die in Produktform geschrieben ist. Auch hier wenden wir die Regel an, dass ein Produkt dann 0 ist, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Als muss x - 5 = 0 sein oder x + 2 = 0 sein. Man erhält hier als x1 den Wert 5 und als x2 den Wert -2. Du hast nun gesehen, wie sich die ersten drei Formen quadratischer Gleichungen lösen lassen. Um den Wert der Unbekannten in den letzten beiden Beispielen herauszufinden, müssen wir die pq-Formel, die quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel nutzen. Wir werden die folgenden Beispiele mit der pq-Formel lösen. Zunächst wollen wir die Normalform näher betrachten. In der Normalform hat die Variable x² als Koeffizient die Zahl 1. Steht eine andere Zahl vor der Variablen x², so haben wir eine allgemeine quadratische Gleichung. Diese Form schauen wir uns im letzten Beispiel an. Wir verwenden die pq-Formel und setzen unsere Werte für p und q in die Formel ein, p = 4 und q = -5. Wir erhalten x1,2 = -4/2 ± Wurzel((4/2)² - (-5)). Die Gleichung können wir nun vereinfachen und zusammenfassen. Wir erhalten -2 ± Wurzel(2² + 5). Warum steht hier auf einmal +5 und nicht -5? Genau, du setzt für q -5 ein. Da aber schon in der Formel vor q ein Minuszeichen steht, erhalten wir - (-5) = +5. Hier musst du bei der Verwendung der pq-Formel immer aufpassen. Wir erhalten nun x1,2 = -2 ± 3. Also ist x1 = 1 und x2 = -5. Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lösen wir im Grunde genauso. Wir müssen nur den Koeffizienten vor der Variablen x² in die Zahl 1 umändern. Dafür dividieren wir die komplette Gleichung durch den bisherigen Koeffizienten, in unserem Beispiel ist dies die Zahl 2. Wir erhalten nun die Gleichung x² + 13x + 22 = 0. Wir setzen nun p = 13 und q = 22 in die pq-Formel ein und erhalten als Zwischenschritt x1,2 = -13/2 ± Wurzel((13/2)² - 22). Danach erhalten wir x1,2 = -6,5 ± Wurzel(6,5² - 22). Danach erhalten wir x1,2 = -6,5 ± 4,5. Die Ergebnisse lauten also x1 = -2 und x2 = -11. Du hast jetzt gelernt, welche Arten es von quadratischen Gleichungen gibt und wie man diese lösen kann. Bei der rein quadratischen Gleichung x² - a = 0 isolieren wir immer den quadratischen vom konstanten Term, sodass wir die Form x² = a erhalten. Eine quadratische Gleichung ohne Konstante x² + px = 0 lösen wir durch Ausklammern der Unbekannten und mit dem Wissen, dass ein Produkt 0 wird, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Dieses Wissen nutzen wir auch bei der Produktform (x + m)(x + n) = 0. Die Normalform x² + px + q = 0, sowie die allgemeine Form ax² + bx + c = 0 kannst du mit der pq-Formel lösen. Bis zum nächsten Mal. Tschüss.

17 Kommentare
  1. War drei mathestunden nicht da und habe in der nächsten nichts mehr verstanden. Dieses Video hat mir echt geholfen.

    Von Emy S., vor etwa 2 Monaten
  2. was geht friends

    Von Vpechy, vor 10 Monaten
  3. jetzt hab ich es kapiert

    Von Franzleistle, vor 11 Monaten
  4. Vielen vielen Dank jetzt hab ich es gecheckt

    Von Niki 35, vor etwa einem Jahr
  5. Die Bezeichnung der Variablen (x, y oder f(x)) sowie die Bezeichnungen der Parameter (a, b, c uns so weiter) sind übrigens egal. :)
    Liebe Grüße

    Von Jeanne O., vor etwa einem Jahr
  1. Hallo Niki 35,
    danke für dein Feedback. Quadratische Gleichungen tauchen an vielen Stellen auf. In der Schule werden sie am häufigsten beim Finden von Nullstellen von Funktionen gesucht.
    Wenn du die Nullstellen beispielsweise von der Parabel f(x)=x²+5x suchst, dann setzt du im ersten Schritt immer den Funktionsterm gleich Null: x²+5x=0 Genau das ist eine quadratische Gleichung. Im Video sehen wir, dass beim Lösen der Gleichung x_1=0 und x_2=-5 herauskommt. Diese beiden Lösungen sind die Nullstellen der Parabel - also die beiden Schnittstellen des Funktionsgraphen mit der x-Achse.
    Viel Erfolg noch beim Lernen und liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Jeanne O., vor etwa einem Jahr
  2. Wow cool super Video. toll erklärt, aber eine Frage hab ich noch was ist der Sinn hinter den Formeln? Was kann man damit berechen? Danke :)

    Von Niki 35, vor etwa einem Jahr
  3. Wow danke! Gut erklärt! Nur wir benutzen immer andere Buchstaben: a-e. Und wir schreiben immer y= oder f(x)= oder ist das was anderes?

    Von Brunell, vor etwa einem Jahr
  4. Wow sehr sehr gut erklärt und tolles Video

    Von Rohan Mahmood, vor mehr als 2 Jahren
  5. DANKE bestes Videos bisher zum Thema! Die Zusammenfassung zum Schluss war sehr hilfreich Danke

    Von Andrea Lietz, vor fast 3 Jahren
  6. Nach fast 50 Jahre bin ich wieder "Quadratisch". Tolles Video. Danke!

    Von Deleted User 432637, vor etwa 3 Jahren
  7. WOW!!! SUCH IMPRESSIVE! MUCH WOW!!!1!

    Von M Jonas 0809, vor mehr als 3 Jahren
  8. Super Video!

    Von Danny.Nachname, vor mehr als 3 Jahren
  9. danke danke danke ! Sehr gutes Video !

    Von Waedi, vor fast 4 Jahren
  10. Hätt' ich das nur vor der 5 geschaut D: JETZT versteh ich es ja

    Von Huyen N., vor mehr als 4 Jahren
  11. Sehr gut! Aber ich wollte nur noch ergänzen dass man auch die allgemeine Form mit der abc-Formel lösen kann.^^

    Von Yunmi220, vor mehr als 5 Jahren
  12. Super erklärt! Optisch ansprechend. Weiter so!

    Von Michaelscheffler1, vor etwa 6 Jahren
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Lösungswege für quadratische Gleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lösungswege für quadratische Gleichungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche Grundform die Gleichungen haben.

    Tipps

    Schreibe dir die Gleichungen allgemein auf, wenn dir die Zuordnung dann leichter fällt.

    Die allgemeine Form hat im Unterschied zur Normalform einen Koeffizienten vor dem x².

    Lösung

    Die allgemeine Schreibweise der Gleichung $4x^2-9=0$ ist $x^2-a=0$. Solche Gleichungen nennt man reinquadratische Gleichung, denn es gibt keinen Term, der die einfache Potenz von $x$ enthält.

    $x^2+5x=0$ ist allgemein geschrieben $x^2+px=0$. Da die Konstante $q$ fehlt, nennt man solche Konstrukte quadratische Gleichung ohne Konstante.

    Formen wie $(x-5)(x+2)=0$, in denen zwei Faktoren, die $x$ enthalten, miteinander multipliziert Null ergeben, nennt man Produktformen.

    Im Gegensatz zur Normalform $x^2+px+q=0$ hat die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ vor dem quadratischen Summanden eine Konstante.

  • Nenne jeweils den richtigen Lösungsansatz.

    Tipps

    Kreiere dir Beispielaufgaben zu den Gleichungen, um zu schauen, wie du sie lösen würdest.

    Manche Lösungsansätze kann man bei mehreren Gleichungsformen anwenden, doch mit dem Unterschied, dass eventuell vorher ein Rechenschritt gemacht werden muss.

    Lösung

    Reinquadratische Gleichungen der Form $x^2-a=0$ lösen wir durch Äquivalenzumformungen. Wir isolieren $x^2$ und ziehen anschließend die Wurzel. Beachte dabei stets, dass man zwei Lösungen beim Wurzelziehen erhält, einen positiven und eine negativen Wert für $x$.

    $x^2+px=0$ ist eine quadratische Gleichung ohne Konstante. Da in beiden Summanden mindestens ein $x$ enthalten ist, können wir dieses ausklammern, um anschließend den Satz Ein Produkt ist $0$, wenn mindestens ein Faktor $0$ ist anwenden zu können. Diesen Satz können wir auch direkt auf Gleichungen in Produktform $(x+m)(x+n)=0$ anwenden.

    Die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ hat im Unterschied zur Normalform $x^2+px+q=0$ einen Koeffizienten vor dem $x^2$. Wir dividieren also $ax^2+bx+c=0$ durch $a$ und erhalten somit auch eine Normalform. Gleichungen in Normalform kann man mit der p-q-Formel lösen: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$.

  • Nenne die Rechenschritte zur Lösung quadratischer Gleichungen.

    Tipps

    Man kann die p-q-Formel nur auf Gleichungen in Normalform anwenden.

    Man dividiert die komplette Gleichung in allgemeiner Form durch den Koeffizienten von x².

    p ist in einer Gleichung in Normalform der Koeffizient von x und q die Konstante ohne x.

    Lösung

    Wir dividieren die Gleichung durch den Koeffizienten von $x^2$. In diesem Fall dividieren wir die komplette Gleichung durch $2$:

    $ \begin{align*} 2x^2 + 26x +44 &= 0 &|& :2\\ x^2 + 13x +22 &= 0 \end{align*} $

    Nun ist die Gleichung in Normalform und wir können $p$ und $q$ ablesen. $p$ ist der Koeffizient von $x$ und $q$ die Konstante ohne $x$. Somit setzen wir $p=13$ und $q=22$ in die p-q-Formel ein:

    $ \begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{13}{2} \pm \sqrt{(\frac{13}{2})^2-22} \\ x_{1,2} &= -6,5 \pm \sqrt{6,5^2-22} \\ x_{1,2} &= -6,5 \pm 4,5 \end{align*} $

    Damit lauten die Lösungen $x_1 =-2$ und $x_2 =-11$.

  • Bestimme die Breite des Tores bei der angegebenen Höhe.

    Tipps

    Fertige eine Skizze an.

    Setze $f(x)=4$, um die x-Koordinaten des Tores auf der Höhe von $4$ Metern zu berechnen.

    Die Differenz der kleineren $x$-Koordinate von der größeren $x$-Koordinate ergibt die Breite.

    Lösung

    Wir suchen die Breite der Parabel auf der Höhe von $4~m$. Dafür setzen wir $f(x)=4$, um die $x$-Koordinaten des Tores bzw. der Parabel in dieser Höhe zu berechnen:

    $ \begin{align*} -x^2+5x &= 4 &|& -4\\ -x^2+5x -4 &= 0 &|& \cdot (-1) \\ x^2-5x +4 &= 0 \\ \end{align*} $

    Nun können wir die p-q-Formel verwenden:

    $ \begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{-5}{2} \pm \sqrt{(\frac{-5}{2})^2-4} \\ x_{1,2} &= 2,5 \pm \sqrt{2,5^2-4} \\ x_{1,2} &= 2,5 \pm 1,5 \end{align*} $

    Die Lösungen lauten damit $x_1 = 4$ und $x_2 = 1$. Die Breite des Tores in der Höhe von $4~m$ ermitteln wir nun durch die Differenz $x_2 - x_1 = 4 - 1 = 3$.

    Da eine Längeneinheit $1~m$ entspricht, ist das Tor in dieser Höhe $3~m$ breit. Somit kann der Lieferant mit seinem $2,60~m$ breiten Lkw durch das Tor fahren.

  • Löse die folgenden quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Welche Grundformen haben diese Gleichungen jeweils und mit welchem Ansatz löst man diese?

    Beachte: Beim Wurzelziehen erhält man stets zwei Lösungen, einen positiven und eine negativen Wert für x.

    Ein Produkt ist $0$, wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.

    Lösung

    $x^2+4x-5=0$ ist eine Gleichung in Normalform. Wir können also die p-q-Formel $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

    anwenden mit $p=4$ und $q=-5$:

    $ \begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2+5} \\ x_{1,2} &= -2 \pm \sqrt{2^2+5} \\ x_{1,2} &= -2 \pm 3 \\ x_1 &= 1 \\ x_2 &= -5 \end{align*} $

    Reinquadratische Gleichungen wie $8x^2-32=0$ lösen wir durch Äquivalenzumformungen. Wir isolieren $x^2$ und ziehen anschließend die Wurzel.

    $ \begin{align*} 8x^2-32 &= 0 &|& :8 \\ x^2-4 &= 0 &|& +4 \\ x^2 &= 4 &|& \sqrt{} \\ x_1 &= 2 \\ x_2 &= -2 \end{align*} $

    $x^2+3x=0$ ist eine quadratische Gleichung ohne Konstante. Da in beiden Summanden mindestens ein x enthalten ist, können wir dieses ausklammern und anschließend den Satz Ein Produkt ist $0$, wenn mindestens ein Faktor $0$ ist anwenden:

    $ \begin{align*} x^2+3x &= 0 \\ x\cdot (x+3) &= 0 \\ x_1 &= 0 \\ x_2 &= -3 \end{align*} $

    Bei Gleichungen wie $(x+10)(x-1)=0$ können wir direkt den Satz Ein Produkt ist $0$, wenn mindestens ein Faktor $0$ ist anwenden:

    $ \begin{align*} (x+10)(x-1) &= 0\\ x_1 &= -10\\ x_2 &= 1 \end{align*} $

  • Löse die angegebene Gleichung.

    Tipps

    Löse die Klammern auf. Verwende gegebenenfalls binomische Formeln.

    Die zweite binomische Formel besagt:

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Forme die Gleichung in die Normalform um, damit du die p-q-Formel anwenden kannst.

    Lösung

    Wir formen die gegebene Gleichung $(x-3)^2=2\cdot (x^2-9)$ mit Hilfe der zweiten binomischen Formel, dem Klammern auflösen und einigen Äquivalenzumformungen so um, dass wir die Gleichung in Normalform erhalten:

    $ \begin{align*} (x-3)^2 &= 2\cdot (x^2-9) \\ x^2-6x+9 &= 2x^2 - 18 &|& -x^2 +6x -9\\ 0 &= x^2 +6x -27 \end{align*} $

    Nun können wir die p-q-Formel anwenden:

    $ \begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{6}{2}\right)^2+27} \\ x_{1,2} &= -3 \pm \sqrt{3^2+27} \\ x_{1,2} &= -3 \pm 6 \end{align*} $

    Damit lauten die Lösungen $x_1 = 3$ und $x_2 = -9$.