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Lösungswege für quadratische Gleichungen 09:25 min

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Transkript Lösungswege für quadratische Gleichungen

Hallo und herzlich Willkommen. Heute zeige ich dir die Lösungswege für verschiedene Formen quadratischer Gleichungen. Quadratische Gleichungen können sehr unterschiedlich aussehen. Diese Vielfalt wollen wir heute ordnen. Außerdem werde ich dir zeigen, wie du zukünftig die verschiedenen Formen quadratischer Gleichungen lösen kannst. Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen der höchste Exponent der Unbekannten 2 ist. In dieser Form ist der Exponent 2 versteckt. Er taucht beim Ausmultiplizieren der Klammern auf. Jede quadratische Gleichung lässt sich durch Umstellen und Zusammenfassen immer auf eine dieser Grundformen bringen. Erstens, die rein quadratische Gleichung x² - a = 0. Zweitens, die quadratische Gleichung ohne Konstante. x² + px = 0. Drittens, die Produktform (x + m)(x + n) = 0. Viertens, die Normalform x² + px + q = 0. Fünftens, die allgemeine Form ax² + bx + c = 0. Zu jeder Grundform gibt es einen Lösungsweg, mit dem du die Unbekannte bestimmen kannst. Als erstes zeige ich dir ein Beispiel für eine rein quadratische Gleichung und wie man diese lösen kann. Die Glieder reinquadratischer Gleichungen bestehen ausschließlich aus einem Vielfachen von x² und einer reellen Zahl, der Konstante. Wir wollen diese Gleichung nun gemeinsam lösen. Zunächst isolieren wir immer den quadratischen vom konstanten Term, sodass wir die Form x² = a erhalten. Dazu addieren wir hier auf beiden Seiten 9 und erhalten 4x² = 9. Nun stellen wir nach x² um. Dazu dividieren wir die Gleichung durch 4 und erhalten x² = 9/4. Das Gegenteil vom Quadrieren ist das Wurzelziehen. Also müssen wir nun im letzten Schritt die Wurzel ziehen und erhalten als Lösung x1,2 = ±3/2. Die Dezimalzahl von 3/2 ist 1,5. Merke: das Wurzelziehen hat grundsätzlich zwei Lösungen, eine positive und eine negative. Das zweite Beispiel ist eine quadratische Gleichung ohne Konstante. Wenn du diese Form einer quadratischen Gleichung vorliegen hast, dann klammere immer zuerst x aus. In dem Beispiel erhältst du x(x + 5) = 0. Wie du sicherlich weißt, ist ein Produkt genau dann 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist. Also muss entweder x = 0 oder x + 5 = 0 sein. Wir erhalten die Lösungen x1 = 0 und x2 = -5. Das dritte Beispiel ist eine quadratische Gleichung die in Produktform geschrieben ist. Auch hier wenden wir die Regel an, dass ein Produkt dann 0 ist, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Als muss x - 5 = 0 sein oder x + 2 = 0 sein. Man erhält hier als x1 den Wert 5 und als x2 den Wert -2. Du hast nun gesehen, wie sich die ersten drei Formen quadratischer Gleichungen lösen lassen. Um den Wert der Unbekannten in den letzten beiden Beispielen herauszufinden, müssen wir die pq-Formel, die quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel nutzen. Wir werden die folgenden Beispiele mit der pq-Formel lösen. Zunächst wollen wir die Normalform näher betrachten. In der Normalform hat die Variable x² als Koeffizient die Zahl 1. Steht eine andere Zahl vor der Variablen x², so haben wir eine allgemeine quadratische Gleichung. Diese Form schauen wir uns im letzten Beispiel an. Wir verwenden die pq-Formel und setzen unsere Werte für p und q in die Formel ein, p = 4 und q = -5. Wir erhalten x1,2 = -4/2 ± Wurzel((4/2)² - (-5)). Die Gleichung können wir nun vereinfachen und zusammenfassen. Wir erhalten -2 ± Wurzel(2² + 5). Warum steht hier auf einmal +5 und nicht -5? Genau, du setzt für q -5 ein. Da aber schon in der Formel vor q ein Minuszeichen steht, erhalten wir - (-5) = +5. Hier musst du bei der Verwendung der pq-Formel immer aufpassen. Wir erhalten nun x1,2 = -2 ± 3. Also ist x1 = 1 und x2 = -5. Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lösen wir im Grunde genauso. Wir müssen nur den Koeffizienten vor der Variablen x² in die Zahl 1 umändern. Dafür dividieren wir die komplette Gleichung durch den bisherigen Koeffizienten, in unserem Beispiel ist dies die Zahl 2. Wir erhalten nun die Gleichung x² + 13x + 22 = 0. Wir setzen nun p = 13 und q = 22 in die pq-Formel ein und erhalten als Zwischenschritt x1,2 = -13/2 ± Wurzel((13/2)² - 22). Danach erhalten wir x1,2 = -6,5 ± Wurzel(6,5² - 22). Danach erhalten wir x1,2 = -6,5 ± 4,5. Die Ergebnisse lauten also x1 = -2 und x2 = -11. Du hast jetzt gelernt, welche Arten es von quadratischen Gleichungen gibt und wie man diese lösen kann. Bei der rein quadratischen Gleichung x² - a = 0 isolieren wir immer den quadratischen vom konstanten Term, sodass wir die Form x² = a erhalten. Eine quadratische Gleichung ohne Konstante x² + px = 0 lösen wir durch Ausklammern der Unbekannten und mit dem Wissen, dass ein Produkt 0 wird, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Dieses Wissen nutzen wir auch bei der Produktform (x + m)(x + n) = 0. Die Normalform x² + px + q = 0, sowie die allgemeine Form ax² + bx + c = 0 kannst du mit der pq-Formel lösen. Bis zum nächsten Mal. Tschüss.

10 Kommentare
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    Wow danke! Gut erklärt! Nur wir benutzen immer andere Buchstaben: a-e. Und wir schreiben immer y= oder f(x)= oder ist das was anderes?

    Von Brunell, vor 12 Tagen
  2. Default

    Wow sehr sehr gut erklärt und tolles Video

    Von Rohan Mahmood, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    DANKE bestes Videos bisher zum Thema! Die Zusammenfassung zum Schluss war sehr hilfreich Danke

    Von Andrea Lietz, vor fast 2 Jahren
  4. Default

    Nach fast 50 Jahre bin ich wieder "Quadratisch". Tolles Video. Danke!

    Von Deleted User 432637, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    WOW!!! SUCH IMPRESSIVE! MUCH WOW!!!1!

    Von M Jonas 0809, vor mehr als 2 Jahren
  1. Default

    Super Video!

    Von Danny.Nachname, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    danke danke danke ! Sehr gutes Video !

    Von Waedi, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    Hätt' ich das nur vor der 5 geschaut D: JETZT versteh ich es ja

    Von Huyen N., vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Sehr gut! Aber ich wollte nur noch ergänzen dass man auch die allgemeine Form mit der abc-Formel lösen kann.^^

    Von Yunmi220, vor mehr als 4 Jahren
  5. Default

    Super erklärt! Optisch ansprechend. Weiter so!

    Von Michaelscheffler1, vor etwa 5 Jahren
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