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Linearkombinationen – Vektoren darstellen 4 (Teil 1)

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Martin Wabnik
Linearkombinationen – Vektoren darstellen 4 (Teil 1)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Linearkombinationen – Vektoren darstellen 4 (Teil 1)

Willkommen zu meiner vierten Aufgabe in der Videoreihe zur Vektorrechnung zum Thema der Linearkombination. Bei der letzten Aufgabe habe ich dir gezeigt, dass ein Vektor auch als Linearkombination zweier Vektoren dargestellt werden kann. Du erhälst ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Dazu möchte ich dir noch eine weitere Aufgabe vorstellen. Weiter geht es also mit Aufgabe vier: Gegeben sind die drei Vektoren (-3/ -1/ 9), (2/ 4/ -1) und (7/ 7/ 7). Stelle die drei Vektoren so dar, dass gilt: (-3/ -1/ 9) = x * (2/ 4/ -1) + y* (7/ 7/ 7). (Teil 1 von 2)

Transkript Linearkombinationen – Vektoren darstellen 4 (Teil 1)

Hallo hier habe ich mal 3 Vektoren vorbereitet. Zu dem habe ich schon mal was gemacht und als Linearkombination zweier Vektoren dargestellt. Das möchte ich jetzt noch mal machen, und zwar mit 2 anderen Vektoren. Aufgabe ist also, dass dieser Vektor mit den Koordinaten (3,-1,9) durch diese beiden Vektoren hier dargestellt wird, und zwar mithilfe einer Linearkombination. Und das schreibt man so auf. Wir haben, dieser Vektor ist also gleich, das passt kaum hin, also das ist ein Gleichheitszeichen, x×(2,4,-1)+y×(7,7,7). Ja sehr einfallsreich ist das, aber darum geht es jetzt nicht, es geht jetzt einfach darum, wie löst man das jetzt formal. Und die Methode ist, wenn wir hier 2 Vektoren haben und ein Dritter soll rauskommen, dann wissen wir, dass wir dadurch 3 Gleichungen bekommen können, nämlich koordinatenweise können wir die Gleichung hier hinschreiben, das heißt, in der 1. Koordinate muss also gelten 3=x×2+y×7. So, das ist die Gleichung, die aus der 1. Koordinate hier entspringt, quasi. Die Gleichung der 2. Koordinate kann man auch hinschreiben. Das ist also -1=x×4, ja schönes Gleichheitszeichen hier, x×4+y×7. So und das ist jetzt ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen. Und das können wir lösen und dann die gefundenen Lösungen für y und x in die 3. Koordinatengleichung einsetzen, die sich dann ergibt zu 9=x×-1+y×7. Das ist also die Methode, man nimmt die 1. beiden Gleichungen und rechnet x und y aus, dann setzt man die Werte in die 3. Gleichung ein und guckt, ob das stimmt, und wenn das stimmt, dann hat man halt eine Linearkombination gefunden, die diesen Vektor darstellt.  Nun was könnte ich hier machen? Es gibt ja das Additionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren. Ich möchte mich hier für das Additionsverfahren entscheiden, und zwar, weil ich sehe, hier haben wir 4x, hier haben wir 2x, das heißt, ich müsste nur noch die 1. Gleichung mit -2 multiplizieren. Dann diese beiden Gleichungen addieren und herauskommt dann folgende Gleichung, ich fange mal mit dem x an, wenn ich x×2 mit -2 multipliziere, steht hier -4x, dann muss ich noch +4x rechnen, und das ist 0, die schreibe ich mal hier hin. Hier links des Gleichheitszeichens steht dann -2×3, das ist -6, und -1 dazu, ist -7. Und hier habe ich y×7, also 7y×-2, das sind -14y. Dann kommen noch 7y dazu, wir haben dann also nur noch -7y, also 0-7y, ja und das kann ich direkt ausrechnen. y=, wenn ich auf beiden Seiten durch -7 teile, gleich 1. Und diesen Wert setze ich dann in eine der beiden Gleichungen ein. ich entscheide mich für die 1. Gleichung. Jetzt kommt also das Einsetzen, wieder hier durch einen Strich getrennt. 3=x×2+7, so und auch das glaube ich ist kein Problem. Ich rechne -7 auf beiden Seiten, dann steht hier -4=2x. Dann muss ich noch durch 2 teilen und erhalte x=-2, denn -4/2=-2. Das sind die beiden Ergebnisse, die ich hier habe, da und da. Nicht wahr, hier kann ich sie noch mal hier hervorheben: y=1 und x=-2.  So und daraus mache ich hier jetzt die 3. Gleichung. Nämlich hier steht dann 9=-2×(-1), diese Klammer ist nicht überflüssig hier, denn es dürfen keine 2 Rechenzeichen nebeneinanderstehen. Wir haben +y, das ist 1×7 und dann können wir das ausrechnen, ob das jetzt stimmt. -2×-1=+2, 2+7=9, damit ist das richtig und wir haben also eine Linearkombination gefunden. Ich schreibe sie einfach noch mal hin. Das Ergebnis, hier wieder getrennt durch einen Strich, ist nun, wir haben (3,-1,9). Diesen Vektor können wir als Linearkombination darstellen, die dann folgender Maßen lautet, also: -2×(2,4,-1)^->+1×(7,7,7)^->. So, deutlicher wird es nicht mehr, ich glaube ich kann dann damit schließen. Das ist das Ergebnis, die Linearkombination, tschüss!

Linearkombinationen – Vektoren darstellen 4 (Teil 1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Linearkombinationen – Vektoren darstellen 4 (Teil 1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man prüfen kann, ob ein Vektor als Linearkombination zweier anderer Vektoren darstellbar ist.

    Tipps

    Es sind die Werte für zwei Unbekannte gesucht.

    Du benötigst also (mindestens!) zwei Gleichungen.

    Beachte, dass ein Lösungspaar $(x|y)$ alle drei Gleichungen erfüllen muss.

    Lösung

    Diese Vektorgleichung führt zu einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten.

    Ein solches Gleichungssystem kann man wie folgt lösen:

    1. Man stellt zwei Gleichungen auf.
    2. Dieses Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten wird gelöst: Ist dies nicht möglich, so ist auch das Ausgangsgleichungssystem nicht lösbar. Andernfalls erhält man ein Lösungspaar $(x|y)$.
    3. Dieses Lösungspaar wird in die fehlende Gleichung eingesetzt. Wenn auch diese Gleichung erfüllt ist, ist das gesamte Gleichungssystem lösbar, ansonsten nicht.
  • Bestimme die Werte für die beiden Unbekannten.

    Tipps

    Stelle die ersten beiden Gleichungen auf:

    (I) $3=2x+7y$

    (II) $-1=4x+7y$

    und löse dieses Gleichungssystem.

    Ziehe von der oberen Gleichung die untere Gleichung ab.

    Das so erhaltene Lösungspaar musst du in die verbleibende Gleichung, welche sich durch die dritte Koordinate ergibt, einsetzen.

    Lösung

    Diese Vektorgleichung führt zu einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten.

    Ein solches Gleichungssystem kann man wie folgt lösen:

    1. Man stellt zwei Gleichungen auf.
    2. Dieses Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten wird gelöst: Ist dies nicht möglich, so ist auch das Ausgangsgleichungssystem nicht lösbar. Andernfalls erhält man ein Lösungspaar $(x|y)$.
    3. Dieses Lösungspaar wird in die fehlende Gleichung eingesetzt. Wenn auch diese Gleichung erfüllt ist, ist das gesamte Gleichungssystem lösbar, ansonsten nicht.
    Aufstellen von zwei Gleichungen

    Die oberen beiden Koordinaten führen zu den Gleichungen:

    (I) $3=2x+7y$

    (II) $-1=4x+7y$

    Lösen des Gleichungssystems

    Man zieht von der oberen der beiden Gleichungen die untere ab und erhält somit $4=-2x$. Division durch $-2$ führt zu $x=-2$.

    Dieses $x$ wird in eine der beiden Gleichungen eingesetzt, zum Beispiel (I): $3=-4+7y$. Addition von $4$ führt zu $7=7y$. Zuletzt wird durch $7$ dividiert und man erhält $y=1$.

    Einsetzen in die fehlende Gleichung

    Es ist wichtig, dieses Lösungspaar $(x|y)=(-2|1)$ in die verbleibende Gleichung einzusetzen. Auch diese muss erfüllt sein.

    $9=-2\cdot(-1)+7$ ✓

    Das bedeutet, dass die Linearkombination gefunden ist:

    $\begin{pmatrix} 3 \\ -1\\9 \end{pmatrix}=-2\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4\\-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 7 \\ 7\\7 \end{pmatrix}$

  • Prüfe, ob der Vektor $\vec u$ sich als Linearkombination der beiden Vektoren $\vec v$ und $\vec w$ schreiben lässt.

    Tipps

    Multipliziere auf der rechten Seite der Vektorgleichung jeden der beiden Vektoren mit den Unbekannten.

    Du addierst zwei Vektoren, indem du die einzelnen Koordinaten addierst.

    Zwei Vektoren stimmen überein, wenn sie in jeder ihrer Koordinaten übereinstimmen.

    Setze zur Kontrolle das Lösungspaar auch noch in der zu der dritten (unteren) Koordinate gehörenden Gleichung

    $11=3x-2y$

    ein.

    Lösung

    Hier ist die gesuchte Linearkombination zu sehen. Wie gelangt man zu dieser?

    Zuerst stellt man zwei Gleichungen auf, zum Beispiel zu den ersten beiden Koordinaten:

    (I) $2=2x+4y$

    sowie

    (II) $-6=-x+3y$.

    Nun wird die untere der beiden Gleichungen mit $2$ multipliziert zu $-12=-2x+6y$ und zu der oberen addiert:

    $-10=10y$.

    Nun wird durch $-10$ dividiert, so erhält man $y=-1$. Durch Einsetzen in, zum Beispiel, die obere Gleichung erhält man $2=2x-4$. Nun wird zunächst $4$ addiert und anschließend durch $2$ dividiert. Dies führt zu $x=3$.

    Dieses Lösungspaar $(x|y)=(3|-1)$ wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt:

    $11=3\cdot 3-1\cdot (-2)$ ✓

    Die Linearkombination ist gefunden mit $x=3$ und $y=-1$.

  • Weise nach, dass sich auch die Vektoren $\vec v$ sowie $\vec w$ als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen lassen.

    Tipps

    Forme die Gleichung $\vec u=3\cdot\vec u-\vec w$ jeweils um.

    Wenn du einen Vektor als Linearkombination zweier anderer Vektoren darstellen kannst, kannst du auch jeden der beiden anderen Vektoren als Linearkombination der verbleibenden Vektoren darstellen.

    Lösung

    Es ist bereits bekannt, dass sich der Vektor $\vec u$, wie hier zu sehen ist, als Linearkombination der beiden Vektoren $\vec u$ sowie $\vec v$ darstellen lässt.

    Kann man auch jeden der Vektoren $\vec v$ und $\vec w$ als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen? Ja!

    Hierfür kann man die nebenstehende Gleichung umformen:

    $\vec u=3\cdot \vec v-\vec w$ führt durch Addition von $\vec w$ zu

    $3\cdot \vec v=\vec u+\vec w$.

    Nun kann man durch $3$ dividieren und erhält

    $\vec v=\frac13\cdot \vec u+\frac13\cdot \vec w$.

    Also ist $x=y=\frac13$.

    Ebenso kann nach dem Vektor $\vec w$ umgeformt werden:

    $\vec w=-\vec u+3\cdot \vec v$.

    Also ist $x=-1$ und $y=3$.

  • Gib an, worauf bei Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten geachtet werden muss.

    Tipps

    Beachte: Wenn du zwei Unbekannte hast, musst du mindestens zwei Gleichungen haben, um diese Unbekannten herauszufinden.

    Beachte, dass bei einem Gleichungssystem jede Gleichung erfüllt sein muss, wenn man die gleichen Werte für die Unbekannten einsetzt.

    Lösung

    Wenn ein Vektor des $\mathbb{R}^3$ als Linearkombination zweier anderer Vektoren aus diesem Raum dargestellt werden soll, erhält man ein Gleichungssystem mit

    • drei Gleichungen und
    • zwei Unbekannten.
    Man löst dann ein Gleichungssystem aus zwei der drei Gleichungen. Das so gefundene Lösungspaar $(x|y)$ wird in der verbleibenden Gleichung eingesetzt. Auch diese müssen erfüllt sein.

    Ein Gleichungssystem ist immer nur dann lösbar, wenn ein gefundenes Lösungspaar alle, also drei, Gleichungen erfüllt.

  • Untersuche, welche Vektoren sich als Linearkombination von $\vec v$ sowie $\vec w$ darstellen lassen.

    Tipps

    Es sind jeweils zwei Vektorpaare gegeben, bei denen die ersten beiden Koordinaten überein stimmen.

    Das bedeutet, die entsprechenden Gleichungen stimmen überein.

    Beachte, dass du zur Kontrolle ein gefundenes Lösungspaar auch noch in die Gleichung einsetzen musst, welche du noch nicht behandelt hast.

    Die Lösungspaare sind

    • $(x|y)=(1|1)$ sowie
    • $(x|y)=(3|-2)$.

    Das bedeutet, dass sich zwei Vektoren als Linearkombination von $\vec v$ sowie $\vec w$ darstellen lassen.

    Lösung

    Die jeweils rechte Seite der ersten beiden Gleichungen sind jeweils gleich:

    (I) $...=2x+y$ sowie+

    (II) $...=x+3y$.

    Für den Vektor $\vec a$ (und damit auch für $\vec b$) wird die Lösung hier noch einmal explizit aufgezeigt:

    (I) $3=2x+y$ sowie+

    (II) $4=x+3y$.

    Es wird von der oberen Gleichung das doppelte der unteren subtrahiert: $-5=-5y$. Was durch Division durch $-5$ zu $y=1$ führt. Einsetzen in die erste Gleichung führt zu $3=2x-1$ und somit zu $2=2x$, also $x=1$.

    Bei dem Vektor $\vec a$ lautet die dritte Gleichung $0=x-y$. Das ist für das obige Lösungspaar sicher richtig. Also lässt sich $\vec a$ als Linearkombination von $\vec v$ sowie $\vec w$ darstellen.

    Da $x-y=0\neq2$, der dritten Koordinate des Vektors $\vec b$, ist, lässt sich $\vec b$ nicht als Linearkombination der beiden Vektoren $\vec v$ sowie $\vec w$ darstellen.

    Ebenso kann mit den ersten beiden Gleichungen für die Vektoren $\vec c$ sowie $\vec d$ das Lösungspaar $(x|y)=(3|-2)$ ermitteln. Auch hier wird dieses Lösungspaar zur Probe in die verbleibende Gleichung eingesetzt:

    • $\vec c$: $-5=3\cdot 1-2\cdot (-1)$. Dies sicher nicht richtig. Das bedeutet, dass sich der Vektor $\vec c$ nicht als Linearkombination der beiden Vektoren $\vec v$ sowie $\vec w$ darstellen lässt.
    • $\vec d$: $5=3\cdot 1-2\cdot (-1)$ ✓. Dieser Vektor lässt sich als Linearkombination der beiden Vektoren $\vec v$ sowie $\vec w$ darstellen.
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