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Linearkombinationen – Definition 07:50 min

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Transkript Linearkombinationen – Definition

Hallo, jetzt kommt ein Begriff aus der Vektorrechnung auf den ich mich, wie man sieht, schon ganz besonders freue, die Linearkombination. Die Linearkombination ist der Begriff und ich freu mich deshalb darauf, weil der von der Sache her unheimlich einfach ist. Vielleicht kommst du dir auch ein bisschen verarscht vor. Es ist auch nicht schwieriger als ich es zeige, aber was daraus folgt ist riesengroß. Es folgt ein eigenes Beweisverfahren, es folgt der Begriff der linearen Unabhängigkeit, es folgen Basen von Vektorräumen. Das ist richtig toll. Natürlich braucht man ein bisschen Gehirnschmalz noch, den man investieren muss, aber das kommt quasi aus diesem einen Begriff heraus. Auf Gleichungssysteme kann man das auch anwenden, auf Gleichungssysteme mit n-Gleichungen, also mit beliebig vielen Gleichungen. Ja, ich möchte den Begriff einfach zeigen, da er eben sehr einfach ist: Wir haben einen Vektor dargestellt durch diesen Pfeil. Den Vektor können wir multiplizieren und dadurch entsteht ein Pfeil, der etwas länger ist, aber in die gleiche Richtung geht. Das haben wir gemacht und so sieht das ungefähr aus. Dann könnte man einen anderen Vektor nehmen, den mit einer anderen Zahl multiplizieren und eben diesen dazu addieren und das sieht dann so aus zum Beispiel. Das ist jetzt also die Multiplikation des grünen Vektors. Es ist alles willkürlich gewählt, also ich mach mir jetzt keine Gedanken, welche Richtung nehmen die genau, ich wollte nur in etwa einen Rahmen konstruieren.Ich werde also auch diesen pinkfarbenen Vektor multiplizieren und hier dran setzen an das, was schon entstanden ist. Also wir haben hier eine Summe aus diesem orangefarbenen Vektor, der sich aus diesen vier kleinen Vektoren zusammensetzt. Dann haben den grünen Vektor, den großen hier, der sich aus acht Teilen zusammensetzt, den haben wir addiert und jetzt addieren wir noch den pinkfarbenen Vektor und zwar das fünffache dieses kleinen Vektors hier. Und das, was ich gezeigt habe, ist letzten Endes die Linearkombination. Das heißt, wir nehmen ein vielfaches eines Vektors, addieren das vielfache eines anderen Vektors und das vielfache eines weiteren Vektors usw. usw. und das ganze, was dabei raus kommt nennt sich Linearkombination. Und da das jetzt so ein großer Begriff ist, der auch in der höheren Mathematik verwendet wird, möchte ich ihn einmal formal formulieren: Wir haben eine reelle Zahl, die nennen wir mal r1 und die können wir multiplizieren mit einem Vektor, der jetzt hier für unsere Zwecke mal Und jetzt müssten wir noch sagen, was r1, r2 jeweils sein sollen. Das kommt mit in die Definition. Fangen wir an mit n: N ist ein Element der natürlichen Zahlen und dann kommt ein i dazu. Das i hab ich bisher noch nicht verwendet, das kommt aber gleich in der weiteren Beschreibung. Das i ist eine Element der Menge, in der sich die natürlichen Zahlen von 1 bis n befinden. Und was ich jetzt aufschreibe soll für alle i gelten. Wenn da jetzt zum Beispiel steht, dass r i Element der reellen Zahlen ist, das heißt dann also r1 ist Element der reellen Zahlen, r2 ist Element der reellen Zahlen bis rn. Das sollen alles reelle Zahlen sein. Dann haben wir ai, das ist ein Vektor – wir haben eh jetzt gesprochen über Vektoren, die drei Koordinaten haben – das heißt also ich kann auch sagen, das ai Element des R3 ist – R hoch 3 geschrieben, R3 gesprochen. Das bedeutet hier also Zahlentripel, Vektoren mit drei Koordinaten jeweils. Ich könnte hier auch was anderes einsetzen, also auch höher-dimensionale Vektoren. Auch dann wäre das hier eine Linearkombination, ist in der Schule aber eher unüblich, deshalb bleich ich hier bei R3. Oder man kann auch einfach schreiben: Elemente des Vektorraums, Elemente von V. Ich schreib es noch in Klammern hin: Elemente von V. Ja so kompliziert kann man es aufschreiben. Übrigens, alle ri?s die heißen Koeffizienten der Linearkombination, das kennst du schon von den binomischen Formen, die Binominialkoeffizienten. Hier heißen die r´s jedenfalls Koeffizienten. Das was dahinter steckt ist nichts anderes als das, was ich mit diesen Pfeilen gelegt habe. Komplizierter ist es halt nicht. Viel Spaß damit. Tschüss.

2 Kommentare
  1. Wunderbar! Martin Wabnik - Der Held der Mathewelt! :)

    Von Lisa G., vor etwa 10 Jahren
  2. Endlich ein Video zur Linearkombination! Sehr schön und einfach erklärt.

    Von Steve Taube, vor etwa 10 Jahren

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Linearkombinationen – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Linearkombinationen – Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was man unter einer Linearkombination versteht.

    Tipps

    Das Produkt zweier Vektoren ist eine Zahl.

    Eine Linearkombination ist wieder ein Vektor.

    Unter dem Vielfachen eines Vektors versteht man das Produkt einer Zahl mit einem Vektor.

    Lösung

    Eine Linearkombiation ist selbst wieder ein Vektor: Sie ist die Summe von Vielfachen von Vektoren.

    Unter dem Vielfachen eines Vektors versteht man das Produkt einer Zahl mit einem Vektor. Dieser Produkt ist wieder ein Vektor.

    Wenn man solche Vielfache von Vektoren addiert, erhält man einen Vektorzug. Dieser wird als Linearkombination bezeichnet.

  • Ergänze die Erklärung zu einer Linearkombination.

    Tipps

    Ein Vektor entspricht einer Bewegung.

    Das Vielfache eines Vektors kann verstanden werden als das entsprechend häufige Gehen entlang dieses Vektors.

    Wenn man zwei Vektoren addiert, geht man zunächst den einen Vektor entlang und von dort aus den anderen.

    Lösung

    Wenn man einen Vektor mit einer Zahl multipliziert, erhält man einen Vektor mit der gleichen Richtung aber einer anderen Länge.

    Ebenso kann man einen anderen Vektor mit einer Zahl multiplizieren und diese zu dem vorigen Vektor addieren.

    Dies kann man mit beliebig vielen Vektoren machen.

    So erhält man einen Vektorzug. Dieser wird als Linearkombination der (in diesem Beispiel drei!) Vektoren bezeichnet.

  • Definiere, was eine Linearkombination ist.

    Tipps

    Das Vielfache eines Vektors ist das Produkt einer Zahl und eines Vektors. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.

    Wenn du zwei Vektoren addierst, erhältst du wieder einen Vektor.

    Lösung

    Seien $\vec{a_1}$, ..., $\vec{a_n}$ Vektoren aus einem Vektorraum, zum Beispiel $\mathbb{R}^3$, dann ist die Summe aus Vielfachen dieser Vektoren eine Linearkombination.

    Das bedeutet, dass $r_i$ für den Index $i\in\mathbb{N}$ reelle Zahlen sind.

  • Berechne die Linearkombination.

    Tipps

    Du multiplizierst einen Vektor mit einer Zahl, indem du jede Koordinate des Vektors mit der Zahl multiplizierst.

    Du addierst oder subtrahierst zwei Vektoren, indem du die einzelnen Koordinaten der Vektoren addierst oder subtrahierst.

    Hier siehst du ein Beispiel.

    Lösung

    Hier ist das Ergebnis zu sehen. Wie kommt man zu diesem Ergebnis?

    Zunächst werden die Vielfachen der Vektoren berechnet.

    $3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\9 \end{pmatrix}$

    $5\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 10\\5 \end{pmatrix}$

    $4\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12 \\ -4\\8 \end{pmatrix}$

    Nun können die Vektoren addiert oder subtrahiert werden.

    $\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\9 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 10\\5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 12 \\ -4\\8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14 \\ -16\\14 \end{pmatrix}$

  • Entscheide, ob eine Linearkombination vorliegt.

    Tipps

    Jede Summe aus Vielfachen von Vektoren ist eine Linearkombination.

    Eine Linearkombination ist wieder ein Vektor.

    Wenn du einen Vektor mit einem Vektor multiplizierst, erhältst du eine Zahl.

    Lösung

    Jede Summe von Vielfachen von Vektoren ist selbst wieder ein Vektor. Eine solche Summe wird als Linearkombination bezeichnet.

    Die folgenden Terme sind Linearkombinationen:

    • $\vec u-\vec u$
    • $\vec u+\vec v+\vec w$
    • $3\vec v-2\vec w$
    • $2\vec v-\vec u+\vec w$
    Keine Linearkombination liegt vor bei:

    • $\vec u\cdot \vec v+\vec w$. Dieser Term ist noch nicht einmal definiert: $\vec u\cdot \vec v$ ist eine Zahl. Die Summe aus einer Zahl und einem Vektor ist nicht definiert.
    • $2\vec u\cdot \vec v$: Da $\vec u\cdot \vec v$ eine Zahl ist, ist auch das Doppelte davon eine Zahl, also kein Vektor.
  • Beschreibe die dargestellte Linearkombination.

    Tipps

    Die Reihenfolge der Addition ist egal.

    In den obigen Beispielen wird jeweils in Richtung der Pfeile gerechnet.

    Der Faktor vor dem jeweiligen Vektor ist die Anzahl der entsprechenden Pfeile.

    Hier ist die Linearkombination $4\vec c+8\vec b+5\vec a$ zu sehen.

    Lösung

    In diesem Bild sind ein gelber Pfeil, dann zwei violette Pfeile und zuletzt zwei blaue Pfeile zu sehen. Dies entspricht der Linearkombination: $\vec b+2\vec a+2\vec c$.

    Ebenso können die drei anderen Linearkombinationen ermittelt werden (von links nach rechts):

    • $2\vec c+6\vec b+3\vec a$,
    • $2\vec a+3\vec b+4\vec c$ sowie
    • $2\vec a+4\vec b+2\vec c$.