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Linearkombinationen 04:59 min

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Transkript Linearkombinationen

Hallo. In diesem Video geht es um Linearkombinationen von Vektoren. Mal angenommen, wir möchten einen Laib Brot darstellen als einen Laib Brot. Ein ganzes Brot und alle darin enthaltenen Krümel lassen sich aber auch abbilden beziehungsweise kombinieren aus zwei Brothälften oder einer Hälfte und zwei Vierteln oder einem ganzen Brot und null Hälften. Womit man jedoch kein Brot backen kann, sind Taschenrechner und Radiergummis. Man könnte aber sagen, dass ein Brot null Taschenrechner und null Radiergummis enthält. Aber was hat das Ganze jetzt mit Linearkombinationen von Vektoren zu tun? Zuerst einmal die allgemeine Definition: Gegeben seien m Vektoren der Dimension n, {Vektor a1, Vektor a1, ..., Vektor am}. Dann heißt jeder n-dimensionale Vektor b eine Linearkombination von {Vektor a1, Vektor a2, ..., Vektor am}, wenn er sich folgendermaßen darstellen lässt: Vektor b = α1 * Vektor a1 + α2 * Vektor a2 + … + αm * Vektor am = Summe aus αj * Vektor aj mit dem Index j=1 und dem Endwert m, αj ist Element der reellen Zahlen. Betrachten wir einmal die drei Vektoren x, y und z im zweidimensionalen Raum. Jetzt könnte man zum Beispiel herausfinden wollen, ob Vektor x nichts anders ist als eine Kombination der Vektoren y und z. Dafür bilden wir eine Vektorgleichung, indem wir die Vektoren y und z mit den Faktoren α1 und zwei multiplizieren und dann mit Vektor x gleichsetzen. Mit Hilfe der Alphas kombinieren wir y und z so, das x generiert werden kann. Um passende Werte für α zu erhalten, übertragen wir das Ganze in ein lineares Gleichungssystem. α1 ist offensichtlich 3. Setzen wir diesen Wert in die zweite Gleichung ein, ergibt sich für α2 der Wert 2. Wechseln wir als nächstes wieder in die Vektordarstellung. Setzt man nun die gewonnen Werte für α ein, multipliziert die Vektoren mit eben diesen Skalaren und addiert sie schließlich, erhalten wir so durch Kombination den Vektor x. Man kann also daraus schließen, das x eine Linearkombination von y und z ist. Somit gilt auch, die Vektoren x, y und z sind linear abhängig. Sieht man in einer Menge aus beliebig vielen Vektoren, dass zum Beispiel zwei davon vielfache voneinander sind, so besteht zwischen allen eine lineare Abhängigkeit. Der Zusammenhang wird deutlich, wenn wir uns als nächstes mal die Nullvektoren anschauen. Befindet sich ein solcher in der Menge der betrachteten Vektoren und wir wollen herausfinden, ob sich dieser Nullvektor als Linearkombination der übrigen darstellen lässt, kann im ersten Fall folgendes passieren: Nachdem wir die Vektorelemente samt Faktoren wieder in ein lineares Gleichungssystem übertragen haben, kommen als dessen Lösung für beide Faktoren nur Nullen in Frage. Der Nullvektor ist zwar somit eine Linearkombination der beiden anderen, wenn die beiden Alphas gleich null gesetzt werden, man spricht dann aber von einer trivialen Lösung. Die Menge der betrachteten Vektoren inklusive Nullvektor ist also linear abhängig. Die beiden anderen Vektoren ohne ihn allerdings linear unabhängig. Als nächstes untersuchen wir wieder eine Vektormenge mit Nullvektor. Bei näherem Hinsehen erkennt man zwei Vektoren wieder, die Vielfache voneinander sind. Was das mit diesem Fall bedeutet, prüfen wir nach durch analoges Vorgehen wie im Fall 1. Durch Auflösen der ersten Gleichung des Systems erhalten wir für α1 = -2α2. Eingesetzt in die zweite Gleichung sieht das so aus: -4α2 + 4α2 = 0. Es ist egal, was wir für α2 wählen, es kommt immer null dabei heraus. Wenn also für die Linearkombination beziehungsweise Generierung des Nullvektors mindestens ein Faktor von null verschieden sein kann, was hier zutrifft, haben wir eine nicht triviale Lösung. Die Vektoren sind damit linear abhängig. Generell gilt, dass eine Vektormenge immer la (linear abhängig wird), sobald der Nullvektor hinzugefügt wird. Zum Schluss sollte man Folgendes noch beachten: Wenn ein Vektor als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann, so folgt daraus, dass die Gruppe aller Vektoren zusammen linear abhängig ist. Im umgekehrten Fall folgt aus linearer Abhängigkeit jedoch nicht, dass jeder Vektor als Linearkombination der anderen geschrieben werden kann!

6 Kommentare
  1. Default

    Die Musik lenkt total ab. Wie kann man die ausschalten?

    Von Timanj, vor 12 Monaten
  2. Maxi mami 2005

    Im Grunde alles eine süße Idee: doch die Musik lenkt leider sehr ab! Außerdem sind die Zahlen sehr klein geraten und wenn man auf Vollbild geht wird es verschwommen, alles in allem bin ich daher wenig zufrieden mit der Umsetzung, wobei ich es eigentlich schon gut erklärt finde.

    Von Katharina B., vor fast 6 Jahren
  3. Default

    Dein Video bietet eine tolle Abwechslung.
    Was den Inhalt angeht, kurz, präzise, übersichtlich und vor allem (!) verständlich. Vielen Dank!

    Von Schilli, vor etwa 6 Jahren
  4. Default

    Ich bin 11 Klasse Gymnasium, finde das Video sehr gut. Ich beobachte, dass die meisten Schüler schon an das "Auswendig lernen und beim Test rauslassen" gewöhnen. In der Schule kriegt man oft nur Mehl zu essen und gewöhnt sich daran. Kaum gibt es jemand der die Sachen fürs (wahre) Verständnis mit einem kreativeren Beitrag erklärt, wird es als "zu untrocken" abgestempelt. Wisseschaftler wie Feinman oder Einstein kritisierten diese trockenen Lehrmethoden und waren schon darüber hinaus, sozu machen als ob "die Tafel mit Formeln füllen" das wahre Potenzial darstellte.

    Von Taz, vor mehr als 6 Jahren
  5. Lopez

    ich finds gut.ist halt etwas lockerer :-)

    Von Blackstar, vor fast 9 Jahren
  1. Stephan1

    Geniales Video!

    Von Stephan Bayer, vor etwa 9 Jahren
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