Lineares Wachstum – Überblick

Was ist lineares Wachstum?

Jeden Tag wächst der Stapel der ungelesenen Zeitungen, mit jedem Tag wachsen deine Haare um etwa einen halben Millimeter, deine Zimmerpflanze wächst unaufhörlich und jede Woche landet eine neue Münze in deinem Sparschwein. Das sind alles Beispiele für lineares Wachstum in deinem Alltag. In diesem Text finden wir gemeinsam heraus, wie lineares Wachstum funktioniert.

Lineares Wachstum – Definition

Eine Größe kann mit der Zeit wachsen. Dieses Wachstum kann diskret oder stetig sein. Diskret bedeutet, dass die Größe nur zu bestimmten Zeitpunkten wächst. Das ist zum Beispiel bei den Münzen in deinem Sparschwein so: Ihre Anzahl wächst nur einmal in der Woche. Stetig bedeutet, dass die Größe ununterbrochen anwächst. Das ist zum Beispiel bei deinen Haaren der Fall. Wir können das Wachstum in einem Säulendiagramm oder mithilfe einer Gerade veranschaulichen. Du erkennst lineares Wachstum immer an der Differenzengleichheit. Das bedeutet, dass der Bestand innerhalb gleicher Zeitspannen immer um den gleichen Wert ansteigt. Der Zeitungsstapel wächst zum Beispiel jeden Tag um eine Zeitung. Den Bestand zum Zeitpunkt $t$ kannst du rekursiv, also mithilfe des vorherigen Bestandes, oder explizit mit dem Anfangsbestand berechnen. In beiden Fällen benötigen wir die Wachstumsrate.
Das sind die wichtigsten Eigenschaften des linearen Wachstums. Im Folgenden werden wir auf die verschiedenen Begriffe noch einmal genauer eingehen.

Diskretes und stetiges Wachstum

Manche Dinge wachsen nur zu bestimmten Zeitpunkten. So zum Beispiel der Zeitungsstapel: Er wächst einmal am Tag. Auch die Anzahl der Münzen in deinem Sparschwein wächst zu bestimmten Zeitpunkten: Sie erhöht sich einmal in der Woche, wenn du eine Münze einwirfst. Dieses Wachstum nennt man diskret.
Andere Dinge wachsen ununterbrochen über eine Zeitspanne hinweg. Deine Haare zum Beispiel wachsen langsam, aber permanent – genau wie deine Zimmerpflanze. Dieses Wachstum wird stetig genannt. Aber woher wissen wir jetzt, ob ein Wachstum linear ist?

Lineares Wachstum graphisch darstellen

Schauen wir uns zuerst den Stapel an Zeitungen an. Dieser wächst diskret jeden Tag um eine weitere Zeitung. Das Ganze lässt sich gut in einem Säulendiagramm darstellen. Dort wird jeden Tag eine Säule eingetragen, die die Anzahl der Zeitungen darstellt. Mit jedem Tag erhöht sich die Anzahl der Zeitungen um eins. Deshalb werden die Säulen jeden Tag um eine Einheit größer. Das sieht dann so aus:

Wenn sich die Anzahl von einem Zeitpunkt zum nächsten um denselben Betrag ändert, wird das Differenzengleichheit genannt. Bei linearem Wachstum herrscht immer Differenzengleichheit. Schauen wir uns die Säulen von Montag und Dienstag an. Die Säule wächst um eins. Auch bei den Säulen von Dienstag und Mittwoch ist der Unterschied eins. Die Differenz der Säulen ist von einem zum nächsten Tag immer gleich. Du kannst dir auch den Unterschied zwischen einem und dem übernächsten Tag anschauen. Schauen wir uns die Säulen von Montag und Mittwoch an, so wächst der Stapel um zwei. Genauso auch von Mittwoch zu Freitag.
Das ist gut an den Dreiecken in der Grafik zu erkennen. Diese Dreiecke werden Steigungsdreiecke genannt. Solange du also gleiche Zeitspannen betrachtest und sich die Differenzen dabei nicht ändern, liegt Differenzengleichheit vor. Bei diskretem Wachstum ist es klar, zu welchen Zeitpunkten du die Werte vergleichen musst, aber wie ist das bei stetigem Wachstum?

Angenommen, deine Pflanze wächst kontinuierlich, also die ganze Zeit. Müssen wir dann die Werte von jetzt und morgen oder von jetzt und in einer Woche miteinander vergleichen? Schauen wir uns an, wie es wäre, wenn deine Pflanze einen halben Zentimeter pro Woche wächst. Tragen wir dann die Höhe der Pflanze zu jedem Zeitpunkt in ein Diagramm ein, sieht das folgendermaßen aus.

Dabei sind wir bei der Höhe der Pflanze gestartet, die sie am Anfang hatte. Wir haben angenommen, dass deine Pflanze $2~\text{cm}$ hoch war, als wir unsere Messung begonnen haben. Dieser Wert wird Anfangsbestand genannt. Der Graph ist eine Gerade. Jetzt können wir uns eine beliebige Zeitdauer suchen und zeichnen die Steigungsdreiecke zu dieser Dauer an die Gerade. Diese sind ebenfalls immer gleich. Also liegen auch beim Wachstum der Pflanze Differenzengleichheit und damit lineares Wachstum vor. Woran erkennen wir jetzt nur mithilfe eines Graphen, ob es sich um lineares Wachstum handelt?
Wir betrachten den folgenden Graphen.

Dabei ist $B(t)$ der Bestand $B$ zum Zeitpunkt $t$. Das Ganze lässt sich als Säulendiagramm oder als Gerade darstellen, je nach Art des Wachstums. In beiden Fällen gilt, dass der Graph ansteigt. Es handelt sich schließlich um Wachstum. Zudem ist der Verlauf gerade wie ein Lineal. Er ist also linear.
Oft müssen wir jedoch nicht nur erkennen, ob ein Graph linear ist, sondern auch damit rechnen. Wie wir lineares Wachstum berechnen, schauen wir uns im nächsten Abschnitt an.

Lineares Wachstum – Formel

Nehmen wir an, dass du jede Woche einen Euro in dein Sparschwein wirfst. Das bedeutet, dass du diese Woche einen Euro mehr hast als letzte Woche. Du kannst nun also den aktuellen Stand mithilfe des vorherigen ausrechnen. Dieses Vorgehen nennt sich rekursiv. Den Geldbestand zum Zeitpunkt $t$ nennen wir $B(t)$. Den von letzter Woche nennen wir $B(t-1)$. Daraus ergibt sich dann die Formel:

$B(t) = B(t-1) + 1$

Das $+1$ ergibt sich daraus, dass du diese Woche einen Euro in dein Sparschwein geworfen hast.
Allgemein schreibt man die rekursive Formel als:

$B(t) = B(t-1) + m$

$m$ ist dabei die Wachstumsrate. Diese gibt an, um wie viel sich der Bestand mit jedem Zeitschritt ändert. Diese Formel bietet sich für diskretes Wachstum an, da dort immer feste Zeitschritte vorkommen.
Und wie können wir den Bestand bei stetigem Wachstum berechnen? Angenommen, deine Haare wachsen jeden Tag um etwa $0,5~\text{mm}$. Dann kannst du explizit ausrechnen, wie lang deine Haare zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ sind. Wir nennen deine Haarlänge zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ in Tagen $B(t)$. Dann ergibt sich folgende Gleichung für das lineare Wachstum:

$B(t) = 0,5 \cdot t + B(0)$

$B(0)$ ist dabei deine Haarlänge zum Zeitpunkt $0$ und wird Anfangsbestand genannt. Bei der expliziten Berechnung wird immer der Anfangsbestand benötigt.
Allgemein wird die explizite Form geschrieben als:

$B(t) = m \cdot t + B(0)$

Auch hier ist $m$ die Wachstumsrate. Diese Formel bietet sich besonders für stetiges Wachstum an, weil du beliebige Werte für t einsetzen kannst. Vielleicht erinnerst du dich an die Formel von linearen Funktionen? Alle Eigenschaften von linearen Funktionen findest du auch beim linearen Wachstum wieder.

Wichtig ist, dass lineares Wachstum fast immer nur eine Idealisierung ist. Viele Wachstumsprozesse laufen nur innerhalb bestimmter Zeitspannen linear ab. Das ist auch gut so, denn ansonsten würde deine Zimmerpflanze bald dein gesamtes Zimmer einnehmen, deine Haare viel zu lang sein und dein Sparschwein platzen, weil es so voll ist.

Lineares Wachstum – Zusammenfassung

In diesem Video lernst du sowohl die mathematische als auch die graphische Darstellung linearen Wachstums kennen. Dabei wird auch auf Begriffe wie rekursiv, explizit sowie diskret und stetig eingegangen. Willst du dein Wissen zu diesem Thema nach dem Video noch etwas festigen, findest du noch eine Übung und Arbeitsblätter zum linearen Wachstum.