Lineare Substitution – Beispiel 2

Lineare Substitution – Beispiel 2 Übung

• Gib die lineare Substitutionsregel an.

  Tipps

  Wenn eine Funktion mit einem Kleinbuchstaben geschrieben wird, wird die zugehörige Stammfunktion mit dem entsprechenden Großbuchstaben geschrieben.

  Wenn du prüfen möchtest, ob eine Stammfunktion korrekt ist, kannst du diese ableiten.

  Die lineare Substitutionsregel der Integration ist die Umkehrung der Kettenregel der Differentiation.

  Lösung

  Die lineare Substitutionsregel der Integration ist eine Regel zur Integration einer verketteten Funktion, wobei die innere Funktion eine lineare Funktion ist. Es geht also um Funktionen dieser Form:

  $f(x)=u(ax+b)$.

  Eine Stammfunktion ist dabei gegeben durch

  $F(x)=\frac1a U(ax+b)$.

  Dabei ist (groß) $U$ Stammfunktion von (klein) $u$, also $U'=u$.

• Bestimme die Stammfunktion der Funktion $f(x)=\frac1{\sqrt{2x+5}}$.

  Tipps

  Wenn $f(x)=u(ax+b)$, dann ist

  $F(x)=\frac1aU(ax+b)$,

  wobei $U'=u$ ist.

  Die innere Funktion ist $2x+5$ und $a=2$.

  Mit Hilfe der Potenzregel erhältst du

  $\int x^{-\frac12}=\frac1{\frac12}x^{\frac12}$.

  Lösung

  Wir wollen die lineare Substitution der Integration anwenden, wobei $U'=u$ ist. Dann gilt:

  $f(x)=u(ax+b)$ und $F(x)=\frac1aU(ax+b)$

  Zunächst muss dieser Funktionsterm als Potenz geschrieben werden.

  Dabei verwenden wir

  • $\frac1{x^n}=x^{-n}$ sowie
  • $\sqrt[n]x=x^{\frac1n}$

  Somit können wir diese Funktion wie folgt schreiben:

  $f(x)=\left(2x+5\right)^{-\frac12}$.

  Nun kann die lineare Substitution der Integration angewendet werden mit

  • $a=2$ und
  • $u=(~~~)^{-\frac12}$ und somit $U=\frac1{-\frac12+1}(~~~)^{-\frac12+1}$

  Zusammen kann die Stammfunktion wie folgt angegeben werden:

  $\begin{array}{rcl} F(x)&=&~\frac1{2}\cdot \frac1{-\frac12+1}\left(2x+5\right)^{-\frac12+1}+c\\ &=&~\frac12\cdot \frac1{\frac12}\left(2x+5\right)^{\frac12}+c\\ &=&~\left(2x+5\right)^{\frac12}+c \end{array}$

  Zu guter Letzt kann die Potenz wieder als Wurzel geschrieben werden. Man erhält dann

  $F(x)=\sqrt{2x+5}$.

• Erkläre, wie man die Stammfunktion zu $f(x)= \sqrt{(2x+1)^3}$ ermitteln kann.

  Tipps

  Die lineare Substitution zur Integration von

  $f(x)=u(ax+b)$

  lautet

  $F(x)=\frac1a U(ax+b)$.

  Dabei ist $U$ Stammfunktion von $u$, also $U'=u$.

  In diesem Beispiel ist $a=2$.

  Verwende die folgenden Potenzgesetze:

  • $\sqrt[n](x)=x^{\frac1n}$ sowie
  • $(x^n)^m=x^{n\cdot m}$

  Verwende die Potenzregel der Integration

  $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$,

  sofern $n\neq -1$ ist.

  Lösung

  Um die lineare Substitution der Integration anzuwenden, muss der Wurzelterm zunächst als Potenz geschrieben werden.

  Dabei werden die folgenden Potenzgesetze verwendet:

  • $\sqrt[n]x=x^{\frac1n}$ sowie
  • $(x^n)^m=x^{n\cdot m}$

  Wir erhalten dann $f(x)=(2x+1)^{\frac32}$.

  Die innere Funktion ist also $2x+1$ und die äußere $(~~~)^{\frac32}$.

  Nun kann die lineare Substitution auf $f(x)=u(ax+b)$ angewendet werden:

  $F(x)=\frac1aU(ax+b)$.

  Hier ist $a=2$ und $U=\frac1{\frac32+1}(~~~)^{\frac32+1}$:

  $\begin{array}{rcl} F(x)&=&~\frac12\cdot \frac1{\frac32+1}(2x+1)^{\frac32+1}+c\\ &=&~\frac12\cdot \frac25(2x+1)^{\frac52}+c\\ &=&~\frac15(2x+1)^{\frac52}+c \end{array}$

  Dieser Potenzterm kann wieder als Wurzel geschrieben werden:

  $F(x)=\frac15\sqrt{(2x+1)^5}+c$.

• Prüfe, ob die Stammfunktionen korrekt sind.

  Tipps

  Um eine gegebene Stammfunktion zu überprüfen, musst du diese ableiten.

  Verwende die Kettenregel der Differentiation mit linearer innerer Funktion

  $(f(ax+b))'=f'(ax+b)\cdot a$.

  Zum Ableiten von Potenzen verwendet man die Potenzregel

  $(x^n)'=n~x^{n+1}$.

  Lösung

  Oftmals wird in Abituraufgaben eine Stammfunktion vorgegeben und es muss nachgewiesen werden, dass diese Stammfunktion tatsächlich eine ist. Hier muss diese Funktion abgeleitet werden.

  Die lineare Substitution der Integration ist die Umkehrung der Kettenregel der Differentiation mit linearer innerer Funktion.

  $(f(ax+b))'=f'(ax+b)\cdot a$.

  Hieran ist auch zu erkennen, warum bei der Umkehrung, also der Substitutionsregel, der Faktor $a$ reziprok auftaucht.

  Es ist

  $\left(\left(0,2x+3\right)^3\right)'=3\left(0,2x+3\right)^2\cdot 0,2=0,6\left(0,2x+3\right)^2$

  Etwas schwieriger wird das Ableiten bei Wurzeltermen. Allerdings ist es wie beim Integrieren auch hier so, dass der Funktionsterm als Potenz geschrieben werden kann:

  $f(x)=\sqrt{4x-1}=(4x-1)^{\frac12}$. Damit ist die Ableitung mit der Potenzregel zu ermitteln:

  $f'(x)=\frac12\cdot(4x-1)^{\frac12-1}\cdot 4=2(4x-1)^{-\frac12}=\frac2{\sqrt{4x-1}}$.

  Jeweils umgekehrt hätte man somit

  $\int ~0,6\left(0,2x+3\right)^2~dx=\left(0,2x+3\right)^3+c$

  sowie

  $\int~\frac2{\sqrt{4x-1}}~dx=\sqrt{4x-1}+c$.

• Gib an, welche der Funktionen Stammfunktion von $f(x)=3\sin(2x+5)$ ist.

  Tipps

  Es ist $\int \sin(x)~dx=-\cos(x)+c$.

  Verwende die lineare Substitution:

  Die Stammfunktion zu $f(x)=u(ax+b)$ ist

  $F(x)=\frac1aU(ax+b)$,

  wobei $U'=u$.

  Leite die jeweils vorgegebene Stammfunktion ab. Die Ableitung muss die Ausgangsfunktion $f$ sein.

  Lösung

  Auch diese Funktion ist eine verkettete Funktion mit linearer innerer Funktion $2x+5$, also $a=2$.

  Man kann wiederum die lineare Substitution anwenden:

  Die Stammfunktion zu $f(x)=u(ax+b)$ ist

  $F(x)=\frac1aU(ax+b)$,

  wobei $U'=u$.

  Hier ist $u=\sin$. Wie lautet die entsprechende Stammfunktion?

  Diese kann man sich bei trigonometrischen Funktionen wie folgt merken. Man schreibt die Ableitungen auf (von oben nach unten):

  $\begin{array}{c|c} f(x) & \sin\\ \hline f'(x) & \cos\\ \hline f''(x) & -\sin\\ \hline f'''(x) & -\cos\\ \hline f''''(x)=f(x) & \sin\\ \end{array}$

  Wie man sieht, wiederholt sich das ganze nach vier Ableitungen.

  Von unten nach oben erhält man die jeweilige Stammfunktion. Also ist $U=-\cos$, da $(-\cos(x))'=\sin(x)$ ist.

  Insgesamt erhält man

  $\begin{array}{rcl} F(x)&=&~\frac12\cdot 3\cdot(-\cos(2x+5))+c\\ &=&~-\frac32\cos(2x+5)+c \end{array}$

• Leite eine allgemeine Formel für die Stammfunktion her.

  Tipps

  Verwende diese Potenzregel.

  Schreibe damit die obige Funktion als Potenz.

  $z$ ist ein Faktor.

  Überprüfe die Formel:

  Die Stammfunktion zu $\frac1{\sqrt{2x+5}}$ ist gegeben durch $\sqrt{2x+5}$.

  Lösung

  Dies sieht jetzt schon etwas komplizierter aus wegen der vielen Buchstaben. Wenn jedoch mit diesen Buchstaben eine Stammfunktion ermittelt ist, kann zu jeder Funktion von diesem Typ eine Stammfunktion durch Einsetzen angegeben werden.

  Unter Verwendung von $\frac1{\sqrt[n]x}=x^{-\frac1n}$ kann diese Funktion als Potenz geschrieben werden:

  $f(x)=z(ax+b)^{-\frac1n}$.

  Jetzt können die lineare Substitutionsregel sowie die Potenzregel der Integration angewendet werden:

  $\begin{array}{rcl} F(x)&=&~z\cdot \frac1a\cdot \frac1{-\frac1n+1}(ax+b)^{-\frac1n+1}+c\\ &=&~\frac za\cdot \frac n{n-1}(ax+b)^{\frac{n-1}n}+c\\ &=&~\frac{z\cdot n}{a\cdot(n-1)}(ax+b)^{\frac{n-1}n}+c \end{array}$

  Zu guter Letzt kann wieder der Potenzterm als Wurzel geschrieben werden:

  $F(x)=\frac{z\cdot n}{a\cdot(n-1)}\sqrt[n]{(ax+b)^{n-1}}$.

  Diese Formel kann anhand von $f(x)=\frac1{\sqrt{2x+5}}$ geprüft werden. Es ist $z=1$, $a=2$, $b=5$ und $n=2$:

  $F(x)=\frac22\sqrt{2x+5}=\sqrt{2x+5}$ $~~~~~$✓ Super!