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Lineare Substitution – Beispiel

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Lineare Substitution – Beispiel
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Lineare Substitution – Beispiel

Weiter geht es nun auch schon mit dem zweiten Video und zweiten Beispiel in meiner kleinen Videoreihe zum Thema Stammfunktionen. Ich möchte mit dir wieder eine Funktion betrachten, die durch lineare Substitution ( auch: lineare Verkettung ) integriert wird. Wie du im letzten Video gesehen hast, ist das in der Praxis gar nicht so schwierig. Auch wenn der Titel etwas anders vermuten lässt. Das Beispiel in diesem Video lautet nun f(x) = Wurzel ( 2x – 1 ).

Lineare Substitution – Beispiel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Substitution – Beispiel kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Funktion als Potenz dar.

    Tipps

    Beachte, dass $(\sqrt x)^2=x$ ist.

    Es ist $(a^n)^m=a^{n\cdot m}$: Potenzen werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert.

    Ganz allgemein gilt $\sqrt a=a^{\frac12}$.

    Lösung

    Um Terme zu integrieren, in welchen ein linearer Term unter einer Wurzel oder ein Bruch mit dem linearen Term im Nenner vorkommt, muss man zunächst Potenzregeln anwenden, um den entsprechenden Term als Potenz zu schreiben.

    Dann kann die Potenzregel der Integration angewendet werden.

    Wurzeln können allgemein wie folgt umgeformt werden: $\sqrt[n]x=x^{\frac1n}$.

    Also ergibt sich insbesondere $\sqrt x=x^{\frac12}$ für $n=2$. Damit kann die Funktion $f(x)$ wie folgt geschrieben werden: $f(x)=(2x-1)^{\frac12}$.

  • Bestimme mit Hilfe der linearen Substitution die Stammfunktion der Funktion $f(x)= \sqrt{2x-1}$.

    Tipps

    Die lineare Substitution zur Integration von $f(x)=u(ax+b)$ lautet

    $F(x)=\frac1a U(ax+b)$.

    Dabei ist $U$ Stammfunktion von $u$, also $U'=u$.

    In obigem Beispiel ist $a=2$.

    Eine Stammfunktion von $x^{\frac12}$ ist hier abgebildet.

    Lösung

    Um die lineare Substitution der Integration anzuwenden, muss der Wurzelterm zunächst als Potenz geschrieben werden. Dies ist hier zu sehen.

    Die innere Funktion ist also $2x-1$ und die äußere $(~~~)^{\frac12}$.

    Nun kann die lineare Substitution auf $f(x)=u(ax+b)$ angewendet werden:

    $F(x)=\frac1aU(ax+b)$.

    Hier ist $a=2$ und $U=\frac1{\frac12+1}(~~~)^{\frac12+1}$:

    $\begin{array}{rcl} F(x)&=&~\frac12\cdot \frac1{\frac12+1}(2x-1)^{\frac12+1}+c\\ &=&~\frac12\cdot \frac23(2x-1)^{\frac32}+c\\ &=&~\frac13(2x-1)^{\frac32}+c \end{array}$

    Der Potenzterm kann wieder als Wurzel geschrieben werden. Wir erhalten:

    $F(x)=\frac13\sqrt{(2x-1)^3}+c$.

  • Gib die jeweilige Funktion in der Potenzschreibweise an.

    Tipps

    Verwende die folgenden Potenzgesetze:

    • $\sqrt[n](x)=x^{\frac1n}$ sowie
    • $\frac1{x^n}=x^{-n}$

    Du kannst diese beiden Regeln auch kombinieren.

    Eine Kombination der Potenzgesetze führt zu der hier abgebildeten Umformung.

    Lösung

    Ein wesentlicher Teil beim Integrieren von verketteten Funktionen mit linearer innerer Funktion ist oftmals das Umformen der Funktion in Potenzschreibweise.

    Wenn die Funktion in der Form $f(x)=(2x+2)^5$ vorliegt, muss diese nicht mehr umgeschrieben werden. Es kann sofort die lineare Substitution angewendet werden:

    $F(x)=\frac12\cdot \frac16(2x+2)^6+c=\frac1{12}(2x+2)^6+c$.

    Bei Brüchen oder Wurzeltermen muss jedoch zunächst einmal umgeformt werden. Dabei werden die folgenden Potenzgesetze verwendet:

    • $\sqrt[n](x)=x^{\frac1n}$ sowie
    • $\frac1{x^n}=x^{-n}$
    Diese beiden Regeln können auch kombiniert werden.
    1. $f(x)=\sqrt[3]{2x+1}=(2x+1)^{\frac13}$
    2. $g(x)=\frac1{\sqrt[3]{2x+1}}=(2x+1)^{-\frac13}$
    3. $h(x)=\sqrt{(2x+1)^3}=(2x+1)^{\frac32}$
    4. $h(x)=\frac1{\sqrt[3]{(2x+1)^2}}=(2x+1)^{-\frac23}$

  • Beschreibe, wie eine Stammfunktion zu der gegebenen Funktion $ f(x) = \sqrt[3]{\frac12x+1}$ bestimmt werden kann.

    Tipps

    Wenn $f(x)=u(ax+b)$, dann ist

    $F(x)=\frac1aU(ax+b)$,

    wobei $U'=u$ ist.

    Die innere Funktion ist $\frac12x+1$ und $a=\frac12$.

    Es gilt $x^{\frac43}=\sqrt[3]x^4$.

    Lösung

    Zunächst schreiben wir den Funktionsterm als Potenz. Die dritte Wurzel entspricht dabei „hoch $\frac13$“, also

    $f(x)=\left(\frac12x+1\right)^{\frac13}$.

    Nun kann die lineare Substitution der Integration angewendet werden mit

    • $a=\frac12$ und
    • $u=(~~~)^{\frac13}$ und somit $U=\frac1{\frac13+1}(~~~)^{\frac13+1}$.
    Zusammen kann die Stammfunktion wie folgt angegeben werden:

    $\begin{array}{rcl} F(x)&=&~\frac1{\frac12}\cdot \frac1{\frac13+1}\left(\frac12x+1\right)^{\frac13+1}+c\\ &=&~2\cdot \frac34\left(\frac12x+1\right)^{\frac43}+c\\ &=&~\frac32\left(\frac12x+1\right)^{\frac43}+c \end{array}$

    Zu guter Letzt kann die Potenz wieder als Wurzel geschrieben werden. Man erhält dann

    $F(x)=\frac32\sqrt[3]{\left(\frac12x+1\right)^4}$.

  • Gib die lineare Substitutionsregel für $f(x)=u(ax+b)$ an.

    Tipps

    Wenn eine Funktion mit einem Kleinbuchstaben geschrieben wird, wird die zugehörige Stammfunktion mit dem entsprechenden Großbuchstaben geschrieben.

    Es ist $U'=u$.

    Wenn du prüfen möchtest, ob eine Stammfunktion korrekt ist, kannst du diese ableiten.

    Die lineare Substitutionsregel der Integration ist die Umkehrung der Kettenregel der Differentiation.

    Lösung

    Die lineare Substitutionsregel der Integration ist eine Regel zur Integration von verketteten Funktionen, wobei die innere Funktion eine lineare Funktion ist. Es handelt sich also um Funktionen dieser Form:

    $f(x)=u(ax+b)$.

    Eine Stammfunktion ist dabei gegeben durch

    $F(x)=\frac1a U(ax+b)$.

    Dabei ist (groß) $U$ die Stammfunktion von (klein) $u$, also $U'=u$.

  • Leite die Stammfunktion mit der linearen Substitution her.

    Tipps

    Schreibe zunächst die Funktion als Potenz.

    Verwende hierfür $\frac1{x^n}=x^{-n}$.

    Verwende die Potenzregel der Integration

    $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}$ für $n\neq -1$.

    Achte auf das Vorzeichen.

    Lösung

    Wir möchten die lineare Substitution verwenden, um eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$ herzuleiten:

    $f(x)=u(ax+b)$,

    dann ist

    $F(x)=\frac1aU(ax+b)$.

    Das bedeutet insbesondere, dass wir eine Stammfunktion von der äußeren Funktion kennen müssen. Es gibt keine Analogie zu der Quotientenregel der Differentiation beim Integrieren. Was kann man also mit diesem Bruch machen?

    Wir schreiben den Funktionsterm als Potenz:

    $f(x)=\frac2{(0,5x-2)^2}=2(0,5x-2)^{-2}$.

    Brüche der Form $\frac1{x^n}$ können als Potenz mit dem negativen Exponenten $x^{-n}$ geschrieben werden.

    Nun kann die Potenzregel der Integration auf die äußere Funktion $(~~~)^-2$ angewendet werden. Eine Stammfunktion ist gegeben durch

    $\frac1{-2+1}(~~~)^{-2+1}=-(~~~)^{-1}=-\frac1{(~~~)}$, in den Klammern steht jeweils die (lineare) innere Funktion.

    Somit kann die lineare Substitution der Integration angewendet werden mit

    • $a=0,5$ und
    • der oben bereits angegebenen Stammfunktion der äußeren Funktion.
    $\begin{array}{rcl} F(x)&=&~\frac1{0,5}\cdot2\cdot\left(-\frac1{0,5x-2}\right)+c\\ &=&~-4\cdot \frac1{0,5x-2}+c \end{array}$

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