sofatutor 30 Tage
kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Lineare Abhängigkeit von drei Vektoren im R³

Was bedeutet lineare Abhängigkeit?

  • Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist.
  • Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn höchstens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist.
  • Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn jeder der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist.
Bewertung

Ø 5.0 / 2 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik

Lineare Abhängigkeit von drei Vektoren im R³

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Beschreibung Lineare Abhängigkeit von drei Vektoren im R³

Die Ausgangslage: Es sind drei Vektoren im dreidimensionalen Raum gegeben und es ist zu entscheiden, ob diese Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn eine Linearkombination dieser Vektoren nur dann gleich dem Nullvektor ist, wenn alle Koeffizienten der Vektoren gleich 0 sind.

Transkript Lineare Abhängigkeit von drei Vektoren im R³

Hi. Wenn wir drei Vektoren gegeben haben, wollen wir wissen, ob diese linear unabhängig sind. Hier kommt jetzt die Aufgabe dazu.Gegeben sind diese drei Vektoren. Und die Aufgabe lautet: Entscheide, ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind. Die Aufgabe macht für dich Sinn, wenn Du bereits weißt, was Vektoren im dreidimensionalen Raum sind. Also Vektoren im R³. Wenn Du die Definition der linearen Abhängigkeit kennst. Und wenn Du weißt, wie man lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen löst.Um zu entscheiden, ob die Vektoren linear unabhängig sind, brauchen wir einen Satz und der kommt jetzt.Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn eine Linearkombination dieser Vektoren nur dann gleich dem Nullvektor ist, wenn alle Koeffizienten der Vektoren gleich null sind. Was heißt das jetzt konkret? Wir nehmen die drei Vektoren, multiplizieren die mit den Variablen und addieren das Ganze. Jede Linearkombination hat diese Form. Diese setzen wir gleich null und wenn dann überall null rauskommt, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn nicht, dann nicht. Jede Linearkombination dieser drei Vektoren hat diese Form. Und das ist: Zahl * erster Vektor + weitere Zahl * zweiter Vektor + noch eine Zahl * dritter Vektor. Das Ganze setzen wir jetzt gleich null. Und schauen für welche Koeffizienten diese Gleichung richtig ist. Aus dieser Gleichung können wir ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen erstellen. Die erste Gleichung erhalten wir, in dem wir hier uns um die ersten Koordinaten der Vektoren kümmern. Ja, r * (-1) = -r + s * 1 = s + t * 3 = 3t. Und das ist gleich null beziehungsweise soll gleich null sein. Der Nullvektor hat ja auch drei Koordinaten und die sind alle gleich null. Die zweite Gleichung erhalten wir, in dem wir uns hier um die zweiten Koordinaten kümmern und das entsprechend abschreiben. Und bei der dritten Gleichung ist es genauso. Wir können nun dieses Gleichungssystem weiter umformen. Ja ich mach das jetzt nicht in allen Einzelheiten vor, weil Du das bereits kannst. Wir können zum Beispiel hier mit drei multiplizieren. Die erste Gleichung dann zur zweiten addieren, dann verschwindet hier der Summand mit r. Wir können auch mit minus zwei die erste Zeile multiplizieren und dann zur dritten addieren. Dann verschwindet dort auch der Summand mit r und wir erhalten diese Form. Dann können wir noch die zweite Gleichung durch zwei teilen und zur dritten addieren. Und dann verschwindet hier der Summand mit s. Und jetzt können wir die Lösung eigentlich schon ablesen. Es ist nämlich: 2t = 0. Genau dann, wenn t = 0 ist. Wenn wir hier für t 0 einsetzen, haben wir die Gleichung -12s = 0. Die ist genau dann richtig, wenn s = 0 ist. Wenn wir für s und t hier 0 einsetzen, haben wir -r = 0 und das ist genau dann richtig, wenn r = 0 ist. Das heißt nun, dass eine Linearkombination dieser drei Vektoren nur dann gleich dem Nullvektor ist, wenn alle Koeffizienten gleich null sind. Und nach diesem Satz hier, bedeutet das nun wieder, dass dann die drei gegebenen Vektoren linear unabhängig sind.Und wir sind fertig. In diesem Video ging es um die Methode und die ist so: Linearkombination bilden, gleich null setzen und wohlfühlen. Ciao.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @Beatevogler63: Hallo,
    das Spatprodukt gibt dir das Volumen des Spates an, der von den drei Vektoren aufgespannt wird. Falls die Vektoren linear abhängig sind, liegen sie in einer Ebene, folglich wäre das Volumen dann Null. Die drei Vektoren sind also linear unabhängig, wenn das Spatprodukt ungleich Null ist.
    Wende dich bei weiteren Fragen dazu gern an den Hausaufgabenchat!
    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Annmarieb Sofatutor, vor 10 Monaten
  2. Wie kann man anhand des Spatprodukts die Lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren feststellen?

    Von Beatevogler63, vor 10 Monaten
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.864

Lernvideos

44.121

Übungen

38.681

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden