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Lineare Abhängigkeit von drei Vektoren im R³ 04:24 min

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Transkript Lineare Abhängigkeit von drei Vektoren im R³

Hi. Wenn wir drei Vektoren gegeben haben, wollen wir wissen, ob diese linear unabhängig sind. Hier kommt jetzt die Aufgabe dazu.Gegeben sind diese drei Vektoren. Und die Aufgabe lautet: Entscheide, ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind. Die Aufgabe macht für dich Sinn, wenn Du bereits weißt, was Vektoren im dreidimensionalen Raum sind. Also Vektoren im R³. Wenn Du die Definition der linearen Abhängigkeit kennst. Und wenn Du weißt, wie man lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen löst.Um zu entscheiden, ob die Vektoren linear unabhängig sind, brauchen wir einen Satz und der kommt jetzt.Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn eine Linearkombination dieser Vektoren nur dann gleich dem Nullvektor ist, wenn alle Koeffizienten der Vektoren gleich null sind. Was heißt das jetzt konkret? Wir nehmen die drei Vektoren, multiplizieren die mit den Variablen und addieren das Ganze. Jede Linearkombination hat diese Form. Diese setzen wir gleich null und wenn dann überall null rauskommt, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn nicht, dann nicht. Jede Linearkombination dieser drei Vektoren hat diese Form. Und das ist: Zahl * erster Vektor + weitere Zahl * zweiter Vektor + noch eine Zahl * dritter Vektor. Das Ganze setzen wir jetzt gleich null. Und schauen für welche Koeffizienten diese Gleichung richtig ist. Aus dieser Gleichung können wir ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen erstellen. Die erste Gleichung erhalten wir, in dem wir hier uns um die ersten Koordinaten der Vektoren kümmern. Ja, r * (-1) = -r + s * 1 = s + t * 3 = 3t. Und das ist gleich null beziehungsweise soll gleich null sein. Der Nullvektor hat ja auch drei Koordinaten und die sind alle gleich null. Die zweite Gleichung erhalten wir, in dem wir uns hier um die zweiten Koordinaten kümmern und das entsprechend abschreiben. Und bei der dritten Gleichung ist es genauso. Wir können nun dieses Gleichungssystem weiter umformen. Ja ich mach das jetzt nicht in allen Einzelheiten vor, weil Du das bereits kannst. Wir können zum Beispiel hier mit drei multiplizieren. Die erste Gleichung dann zur zweiten addieren, dann verschwindet hier der Summand mit r. Wir können auch mit minus zwei die erste Zeile multiplizieren und dann zur dritten addieren. Dann verschwindet dort auch der Summand mit r und wir erhalten diese Form. Dann können wir noch die zweite Gleichung durch zwei teilen und zur dritten addieren. Und dann verschwindet hier der Summand mit s. Und jetzt können wir die Lösung eigentlich schon ablesen. Es ist nämlich: 2t = 0. Genau dann, wenn t = 0 ist. Wenn wir hier für t 0 einsetzen, haben wir die Gleichung -12s = 0. Die ist genau dann richtig, wenn s = 0 ist. Wenn wir für s und t hier 0 einsetzen, haben wir -r = 0 und das ist genau dann richtig, wenn r = 0 ist. Das heißt nun, dass eine Linearkombination dieser drei Vektoren nur dann gleich dem Nullvektor ist, wenn alle Koeffizienten gleich null sind. Und nach diesem Satz hier, bedeutet das nun wieder, dass dann die drei gegebenen Vektoren linear unabhängig sind.Und wir sind fertig. In diesem Video ging es um die Methode und die ist so: Linearkombination bilden, gleich null setzen und wohlfühlen. Ciao.