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Lineare Abhängigkeit im R² mit Nullvektor 14:23 min

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Transkript Lineare Abhängigkeit im R² mit Nullvektor

Hallo. Es geht um lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren und ich habe hier mal den fast schon einfachst möglichen Fall aufgeschrieben, hier für eine kleine erste Übungsaufgabe. Wir haben zwei Vektoren gegeben. Das sind Vektoren im R², also im zweidimensionalen Raum und die Vektoren sind (0 0) und (-3 18). Wir wollen wissen: Sind diese Vektoren linear abhängig oder sind sie nicht? Um es gleich vorwegzunehmen, es ist hier nicht so sehr das Problem, die Lösung zu finden, sondern was hier geübt werden soll sind die Methoden, mit denen man zu dieser Lösung kommt. Übrigens, diese Vektoren sind linear abhängig, um das gleich mal vorwegzunehmen. Und die Frage ist: Welche Definitionen können wir jetzt anwenden, wie können wir das jetzt konkret nachweisen? Ich möchte zwei Möglichkeiten zeigen. Es gibt viele, viele Möglichkeiten, wie in der linearen Algebra und in der analytischen Geometrie üblich. Alles hängt mit allem zusammen, das ist ja das Schöne an der Sache, führt aber auch dazu, dass man die ein und dieselbe Sache mit zig Verfahren nachweisen kann. Daher muss man sich immer auf irgendeine Methode einigen, die man jetzt hier zeigen möchte oder die man auch abfragen möchte. Ich möchte zwei zeigen, die zu den gängigen Methoden gehören. Wir haben ja schon gesagt: Vektoren sind dann linear abhängig von einander, wenn einer dieser gegebenen Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist. Da wir hier nur zwei Vektoren gegeben haben, muss also der eine Linearkombination des anderen sein oder der andere muss Linearkombination des einen sein. Mehr Möglichkeiten gibt es ja nicht. Ich fange mal mit dem Vektor hier vorne an, mit (0 0). Ich möchte jetzt aus dem eine Linearkombination machen und das Einzige, was also möglich ist, ich nehme eine Zahl, Z1 genannt hier, multipliziere diesen Vektor mit dieser Zahl und dann ist auch schon Schluss mit Linearkombination, weil ich ja keine weiteren Vektoren habe. Also ich möchte diesen Vektor hier also die (-3 18) als Linearkombination des anderen Vektors darstellen. Und dann sieht man gleich, also das funktioniert nicht. Ich kann das jetzt hier auch nochmal zeilenweise übersetzen. Dann erhalten wir ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit einer Variablen. Das heißt, wir haben Z1 * 0 = -3 und Z1 * 0 = 18. So, beide Gleichungen sind nicht lösbar, denn immer, wenn wir etwas mit null multiplizieren, kommt null raus. Wir können für Z1 einsetzen, was wir wollen. Z1 * 0 wird niemals -3i sein und auch nicht gleich 18. Ein beliebter Fehler, der jetzt hier auftritt, ist, dass man dann sagt: Ja gut, wenn jetzt der Vektor hier keine Linearkombination der anderen Vektoren ist, dann sind sie ja linear unabhängig. Ich sagte aber eingangs schon, stimmt gar nicht. Die sind linear abhängig. Wo ist der Fehler? Diese Sache mit der Linearkombination lautet ja so: Wenn einer dieser gegebenen Vektoren als Linearkombination der anderen darstellbar ist. Es ist nicht gesagt welcher. Also irgendeiner reicht. Wenn wir das bei Vektoren jetzt nachweisen wollen, mit dieser Definition, müssen wir im allerschlimmsten Fall alle möglichen Vektoren ausprobieren, ob die als Linearkombination der anderen darstellbar sind. Und da wir hier die Sache doch relativ einfach haben - wir haben ja nur zwei - haben wir auch nur zwei Kombinationen. Dann ist das relativ einfach. Ich mein, wenn wir 20 Vektoren haben, haben wir nicht 20 Kombinationen, sondern 20 Möglichkeiten, also der erste Vektor könnte als Linearkombination der 19 anderen darstellbar sein. Der zweite Vektor könnte als Linearkombination der 19 anderen darstellbar sein. Also du weißt was ich meine. Notfalls müsste man das alles durchgehen, würde man natürlich so nicht machen und das dann auch nicht von Hand rechnen. Aber, hier möchte ich das einmal zeigen. Und zwar könnte es ja auch sein, dass der Nullvektor als Linearkombination des Vektors (-3 18) darstellbar ist. Dann nehme ich also eine zweite Zahl her und sage, ich möchte hiermit diese Zahl multiplizieren mit diesem Vektor hier und möchte null erhalten. Das führt zu dem Gleichungssystem - wenn wir das hier auch schon sehen, vielleicht, ist egal. -3 * Z2 = 0 und 18 *  Z2 = 0. Ich löse das jetzt nicht weiter auf. Die Lösung ist 0, Z2 = 0. Wenn Z2 = 0 ist, ist das Gleichungssystem richtig. Dieses Gleichungssystem ist lösbar, hat eine Lösung. Das ist auch richtig, wenn Z2 = 0 ist. Und damit sehen wir also dann: dieser Vektor hier, der Nullvektor, ist Linearkombination des anderen. Und damit sind diese beiden Vektoren linear abhängig. Nebenbei bemerkt, das funktioniert auch mit allen möglichen weiteren Vektoren. Ich könnte auch hier jetzt noch (7 15) hinschreiben, zum Beispiel, oder keine Ahnung was, ist völlig egal. (x1 x2), ist ganz egal. Wenn ich nämlich vor diese Vektoren hier überall eine Null setze: 0 * (-3 18) + 0 * (7 15) + 0 * (x1 x2), dann ist das gleich dem Nullvektor, gleich (0 0). Das heißt, sobald wir in einer gegebenen Vektormenge den Nullvektor haben, falls der da Element dieser Menge ist, sind diese gegebenen Vektoren linear voneinander abhängig. Das ist diese Erkenntnis, die wir hier nebenbei mal eben gewonnen haben. Aber ich habe schon gesagt, ich möchte zwei Methoden zeigen. Deshalb kommt jetzt hier die zweite Methode. Denn wir haben hier eine Definition oder einen Satz, der auch als Definition dienen kann, wie mit dem Geist von Vermeer van Delft, den man auch als Tisch benutzen kann. Nur eben eine kleine Spaßanmerkung, macht nichts. Die Definition geht so: Wir haben Z1 mal einen Vektor, in dem Fall (0 0), + Z2 mal anderen Vektor, hier (-3 18). Diese Linearkombination der beiden Vektoren soll also gleich dem Nullvektor sein. So, das ist eine Gleichung, die man aus den gegebenen Vektoren machen kann und wir hatten ja den Satz beziehungsweise Definition, dass diese beiden Vektoren, die hier linear kombiniert werden, genau dann linear unabhängig voneinander sind, wenn die einzige Lösung dieser Gleichung so existiert, dass Z1 und Z2 null sein müssen, wenn also nur hier Nullen stehen können. Es gibt viele andere Formulierungen, die ich jetzt hier nicht verwenden möchte, deshalb drucks ich da so rum. Es gibt also fachgerechtere Formulierungen. Jetzt weiß ich aber nicht, was du vorher gemacht hast, ob du weißt, was n-Tupel sind, oder und so weiter. Deshalb bleibe ich hier bei der sehr umgangssprachlichen Formulierung. Also zusammenfassend gesagt: Wir haben Vektoren gegeben, wir machen eine Linearkombination dieser Vektoren, setzen die gleich dem Nullvektor, diese Linearkombination. Und wenn gilt, dass diese Gleichung nur dann richtig ist, wenn alle Koeffizienten, also die Zahlen von Vektoren, null sind, dann sind diese gegebenen Vektoren linear unabhängig. Das ist ein Satz, da muss man schonmal so ein bisschen um die Ecke denken. Das muss man auch sich immer wieder sagen vielleicht, damit man das so wirklich verstehen kann und wirklich begreifen kann. Das wäre wichtig, das zu begreifen in dem Fall und das ist vielleicht für manche auch ein bisschen kompliziert und das ist aber auch so gemeint. Das ist halt nicht anders. Letzten endes reduziert sich der ganze Nachweis jetzt darauf, ob bei dem Gleichungssystem, was jetzt hier steht, quasi wenn man das zeilenweise auffasst, ob da als Lösung nur (0 0 0) rauskommt oder nicht. Und wenn nur (0 0 0) rauskommt, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn auch was anderes rauskommt, irgendwas für Z1 oder Z1 was anderes rauskommt, dann sind sie linear abhängig. Das heißt, ich bastele mir jetzt einfach hier das Gleichungssystem, was entsteht. Ich schreibe das hier zeilenweise auf, also mache ich ganz stur. Z1 * 0 + Z2 * (-3) = 0. Der Nullvektor hier ist ja dann im zweidimensionalen Raum (0 0), kann ich auch eben noch hinschreiben. Und wir haben Z1 * 0, das ist jetzt die zweite Zeile hier: Z1 * 0 + Z2 * 18 = 0. Z2 * 18 = 0. So, und die Frage ist, was kommt hier für Z1 und Z2 heraus. Wir können hier schon sehen: Wenn wir Z1 mal null rechnen, dann kommt ja hier null raus. Das heißt, diese Gleichung, die erste, reduziert sich also auf die Sache Z2 * (-3) = 0. Wie groß muss Z2 sein? Z2 muss 0 sein, damit das richtig ist. So, das ist eine Äquivalenz. Diese Gleichung ist nur dann richtig, wenn Z2 = 0 ist. Hier übrigens ist das genauso, in der zweiten Gleichung. Da muss auch Z2 = 0 sein. Nur dann ist die Gleichung richtig. Was ist mit Z1? Z1 ist egal. Wir können für Z1 alles Mögliche einsetzen. Solange Z2 0 ist, sind beide Gleichungen richtig. Das bedeutet, wir können als Lösungsmenge hier angeben – ich weiß nicht, ob du diese Schreibweise benutzen darfst, ich erlaube mir das jetzt mal hier – Lösung sind also alle Paare, für die gilt, dass die erste Komponente hier, dieses erste Glied des Paares, irgendeine reelle Zahl ist. Und das zweite Glied hier, die zweite Zahl der Paares muss gleich null sein. Das ist unsere Lösungsmenge für dieses Gleichungssystem hier. Das heißt jetzt aber, dass diese Gleichung hier nicht nur dann richtig ist, wenn man für Z1 und Z2 Nullen einsetzt. Sie ist auch richtig, wenn man für Z2 was anderes einsetzt. Wir müssen zwar für Z1 was anderes einsetzen, wir müssen zwar für Z2 eine Null einsetzen, aber für Z1 können wir was anderes einsetzen. Daher ist diese Gleichung auch für andere Zahlen als für (0 0) richtig und weil das so ist, sind die gegebenen Vektoren hier linear abhängig. Ich sage es nochmal, das ist viel Denkarbeit für ein relativ einfaches Gleichungssystem. Wahrscheinlich hättest du das sehr schnell durch hingucken lösen können, möglicherweise. Aber wichtig ist hier, dass man eben diese Definition versteht, oder diesen Satz: Vektoren sind nur dann linear unabhängig, wenn das entsprechende Gleichungssystem, was ich jetzt schon mehrmals formuliert habe, nur die Nulllösung hat, will ich mal so sagen. Diese Sache gilt es zu verstehen und deshalb habe ich das hier auch so vermeintlich kompliziert erklärt. Trotzdem viel Spaß damit. Tschüss.

2 Kommentare
  1. Default

    hmm sobald ein nullvektor gegeben ist, sind die gegebenen vektoren linear abhängig. Warum aber behauptet die Antwort auf der Test-Frage nach dem Video was anderes???

    Von Kushtrim Lulaj, vor fast 5 Jahren
  2. Default

    Kein Bild !

    Von Nico Momen, vor etwa 8 Jahren