Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene

In diesem Video geht es um Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene. Wie können denn ein Punkt und eine Gerade in einer Ebene zueinander liegen? Wir schreiben die Gerade al x=m×x+b und dann nehmen wir den Punkt P mit den Koordinaten x1, y1, der liegt nicht auf der Geraden, und der Punkt Q mit den Koordinaten x2, y2 liegt auf der Geraden, und mehr Möglichkeiten gibt es ja auch nicht. Jetzt guckt man, ob das Koordinatenpaar jeweils die Gleichung der Geraden erfüllt. x1, y1 werden das sicher nicht tun. Aber die Koordinaten eines Punktes, der auf der Geraden liegt, erfüllen die Gleichung. Nehmen wir zum Beispiel die Gerade g:y=-3/4x+1 und den Punkt (1|2). Die 1 setzen wir für x ein, die 2 für y, und dann schauen wir, ob die Gleichung stimmt. Hier stimmt sie nicht, also liegt der Punkt P nicht auf der Geraden g. So und jetzt schauen wir uns einmal an,w as alles bei zwei Geraden passieren kann. Die können sich zum Beispiel schneiden, und was man dann sieht, ist, dass die verschiedene Steigungsdreiecke haben. Die Geraden schneiden sich also, wenn sie verschiedene Steigungen haben. Und die Steigung kann man an der Geradengleichung leicht ablesen. Wenn sie sich nicht schneiden, sind sie parallel. Die Steigungen sind dann gleich, aber wie man hier sieht, sind die y-Achsenabschnitte noch verschieden. Die Geraden sind also parallel, wenn die Steigung gleich ist und die y-Achensbschnitte verschieden. Die Geraden könnten aber auch aufeinanderliegen. Dann ist die Steigung gleich und sogar der y-Achsenabschnitt. Identische Geraden haben wir also bei gleicher Steigung und gleichem y-Achsenabschnitt. Es gibt eine enge Verbindung zwischen dem Schnittverhalten zweier Geraden und dem Lösungsverhalten eines linearen Gleichungssystems mit 2 Unbekannten. Dabei steht jede Gleichung für eine Gerade, denn so eine Gleichung kann man ja immer in die Form y=mx+b umformen. Lösungen des Gleichungssystems stehen für gemeinsame Punkte der Geraden. Hat das System genau eine Lösung, schneiden sich die Geraden, und die Lösung ist genau der Schnittpunkt. Hat das System gar keine Lösung, handelt es sich um parallele Geraden. Denn es gibt dann keinen gemeinsamen Punkt. Gibt es unendlich viele Lösungen, sind die Gerade identisch, denn es gibt ha unendlich viele gemeinsame Punkte. Schauen wir uns noch einmal ein Beispiel an, um zu sehen, wie man den Schnittpunkt bestimmt. Daran sehen wir auch, dass das im Prinzip das Gleiche ist, wie das Gleichsetzungsverfahren beim Lösen von Gleichungssystemen. Wir nehmen diese beiden Geraden g und h. Die haben unterschiedliche Steigungen, also schneiden sie sich. Wie beim Gleichsetzungsverfahren setzen wir jetzt beide Gleichungen gleich. Mit elementaren Umformungen ergibt sich x=-16/3, und das setzten wir dann in eine der beiden Gleichungen für x ein und rechnen y aus. Der Schnittpunkt ist hier also(-16/3|-14/3). Okay, und das war es zu Punkten und Geraden in der Ebene.