Koordinatensystem – Einführung

Koordinatensystem – Einführung Übung

• Beschreibe das Koordinatensystem.

  Tipps

  Beispiel:

  Punkte $A$ und $B$ im Koordinatensystem

  Der Punkt $A(0 \vert 2)$ hat die $x$-Koordinate $0$ und die $y$-Koordinate $2$.

  Lösung

  Du siehst hier ein Koordinatensystem mit dem Punkt $C$.

  Das Koordinatensystem besteht aus zwei Achsen: Der waagrecht nach rechts verlaufenden $\mathbf{x}$-Achse und der senkrecht nach oben verlaufenden $\mathbf{y}$-Achse.
  Beide Achsen sind in gleichmäßige Abschnitte unterteilt und durchnummeriert.

  Die Koordinaten eines Punktes schreiben wir in runden Klammen durch einen Strich getrennt: $P(x \vert y)$.
  Vor dem Trennstrich steht die $x$-Koordinate, hinter dem Trennstrich die $y$-Koordinate des Punktes.

  Zum Beispiel gilt bei $C(1 \vert 2)$:

  • Die $\mathbf{y}$-Koordinate ist $2$.
  • Die $\mathbf{x}$-Koordinate ist $1$.

• Bestimme die Koordinaten der Punkte.

  Tipps

  Du kannst die $y$-Koordinate eines Punktes ablesen, indem du waagrecht nach links gehst und den Wert an der $y$-Achse abliest.

  Beispiel zum Ablesen der $x$-Koordinate:

  Lösung

  Die Position eines Punktes können wir im Koordinatensystem über seine Koordinaten beschreiben.

  • Die erste Koordinate ist die $\mathbf{x}$-Koordinate. Wir können sie bestimmen, indem wir vom Punkt aus senkrecht nach unten gehen und den Wert auf der $x$-Achse ablesen.
  • Die zweite Koordinate ist die $\mathbf{y}$-Koordinate. Wir können sie bestimmen, indem wir vom Punkt aus waagrecht nach links gehen und den Wert auf der $y$-Achse ablesen.

  Für die eingezeichneten Punkte ergibt sich:

  $A(2 \vert 3)$

  $B(4 \vert 2)$

  $C(0 \vert 0)$, der sogenannte Koordinatenursprung.

• Ermittle die Koordinaten des Punktes.

  Tipps

  Die waagrechte Achse im Koordinatensystem ist die $x$-Achse.

  Die erste Koordinate eines Punktes ist seine $x$-Koordinate.

  Du kannst die $x$-Koordinate eines Punktes ermitteln, indem du vom Punkt aus senkrecht nach unten zur $x$-Achse gehst und den Wert abliest.

  Lösung

  Die Position eines Punktes können wir im Koordinatensystem über seine Koordinaten beschreiben.

  • Die erste Koordinate ist die $x$-Koordinate. Wir können sie bestimmen, indem wir vom Punkt aus senkrecht nach unten gehen und den Wert auf der $x$-Achse ablesen.
  • Die zweite Koordinate ist die $y$-Koordinate. Wir können sie bestimmen, indem wir vom Punkt aus waagrecht nach links gehen und den Wert auf der $y$-Achse ablesen.

  Hier sind die folgenden Punkte im Koordinatensystem dargestellt:

  $P_1(0 \vert 1)$
  $P_2(3 \vert 3)$
  $P_3(2 \vert 4)$
  $P_4(4 \vert 3)$

• Erkläre, wie du die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnest.

  Tipps

  Bei einem Punkt ist die $y$-Koordinate immer der zweite Wert.
  Sie gibt an, wie weit du nach oben gehen musst.

  Du kannst beim Einzeichnen eines Punktes mit der $x$- oder der $y$-Koordinate beginnen.

  Beispiel:

  $P(3 \vert 4)$ hat die $x$-Koordinate $3$ und die $y$-Koordinate 4.

  Wir können z.B. folgendermaßen vorgehen:

  • Gehe vom Ursprung aus $3$ nach rechts und dann $4$ nach oben.
  • Gehe von der $3$ auf der $x$-Achse $4$ nach oben.
  • Gehe von der $4$ auf der $y$-Achse $3$ nach rechts.

  Lösung

  Bei einem Punkt $P(x \vert y)$ ist die vordere Koordinate die $x$-Koordinate, die hintere Koordinate ist die $y$-Koordinate. Die Werte geben dabei jeweils an, wie weit der Punkt in Richtung der entsprechenden Achse vom Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$ entfernt ist.

  Zum Beispiel hat der Punkt $P(3 \vert 4)$ die $x$-Koordinate $3$ und die $y$-Koordinate 4.
  Wir können ihn beispielsweise folgendermaßen einzeichnen:

  • Gehe vom Ursprung aus $3$ nach rechts und dann $4$ nach oben.
  • Gehe von der $3$ auf der $x$-Achse $4$ nach oben.
  • Gehe von der $4$ auf der $y$-Achse $3$ nach rechts.

  Für die Punkte der Aufgabe gilt:

  $P_1(5 \vert 1)$
  Gehe von der $5$ auf der $x$-Achse eins nach oben.

  $P_2(2 \vert 7)$
  Gehe von der $7$ auf der $y$-Achse zwei nach rechts.

  $P_3(7 \vert 2)$
  Gehe von der $7$ auf der $x$-Achse zwei nach oben.

  $P_4(5 \vert 5)$
  Gehe vom Ursprung $5$ nach rechts und dann $5$ nach oben.

  $P_5(7 \vert 5)$
  Gehe von der $7$ auf der $x$-Achse fünf nach oben.

  $P_6(1 \vert 5)$
  Gehe von der $5$ auf der $y$-Achse eins nach rechts.

• Benenne die Punkte im Koordinatensystem.

  Tipps

  Die erste Koordinate ist die $x$-Koordinate eines Punktes. Sie gibt an, wie weit du vom Koordinatenursprung aus nach rechts gehen musst.

  Wenn du einen Punkt waagrecht mit der $y$-Achse verbindest, dann kannst du seine $y$-Koordinate ablesen.

  Beispiel:

  Ein Punkt, der vom Koordinatenursprung aus $2$ nach rechts auf der $x$-Achse liegt, hat die Koordinaten $(2 \vert 0)$.

  Lösung

  Bei einem Punkt $P(x \vert y)$ gibt der erste Wert die $x$-Koordinate und der zweite Wert die $y$-Koordinate an.
  Um die Koordinaten eines Punktes im Koordinatensystem ablesen zu können, gehen wir folgendermaßen vor:

  • $x$-Koordinate: Gehe vom Punkt aus senkrecht nach unten und lies den Wert an der $x$-Achse ab.

  • $y$-Koordinate: Gehe vom Punkt aus waagrecht nach links und lies den Wert an der $y$-Achse ab.

  Für die eingezeichneten Punkte erhalten wir die Koordinaten:

  $A(1 \vert 2)$; $B(4 \vert 0)$ und $C(3 \vert 4)$.

  Die übrigen Punkte wären wie folgt platziert:

  • Der Punkt $A(2 \vert 1)$ liegt vom Koordinatenursprung aus zwei nach rechts und eins nach oben.
  • Der Punkt $B(3 \vert 0)$ liegt vom Koordinatenursprung aus drei nach rechts auf der $x$-Achse.
  • Der Punkt $C(3 \vert 3)$ liegt vom Koordinatenursprung aus drei nach rechts und drei nach oben.

• Untersuche, wie weit die Punkte vom Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$ entfernt sind.

  Tipps

  Zeichne zunächst alle Punkt in ein Koordinatensystem ein.

  Den Abstand jedes Punktes zum Koordinatenursprung $(0 \vert 0)$ kannst du dann zum Beispiel mit einem Lineal grob abschätzen.

  Lösung

  Wir zeichnen zunächst alle gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem ein. Dabei gibt die erste Koordinate stets an, wie weit wir auf der $x$-Achse nach rechts gehen, die zweite Koordinate beschreibt, wie weit wir in Richtung der $y$-Achse nach oben laufen.

  Es ergibt sich das obige Bild. Wir können nun zum Beispiel mit einem Lineal die Abstände der Punkte vom Ursprung vergleichen.

  Der Punkt, der dem Ursprung am nächsten liegt, ist $C(1 \vert 1)$. Es folgen $E(3 \vert 0)$ auf der $x$-Achse und $D(0 \vert 4)$ auf der $y$-Achse. Am weitesten vom Ursprung entfernt ist der Punkt $B(7 \vert 1)$, dazwischen liegt noch $A(2 \vert 5)$.

  Punkte, sortiert nach Abstand zum Ursprung, beginnend mit dem nächsten Punkt:

  • $C$
  • $E$
  • $D$
  • $A$
  • $B$