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Koordinatensystem – Aufbau 09:16 min

Textversion des Videos

Transkript Koordinatensystem – Aufbau

Hallo, hier ist Mandy. Heute erkläre ich Dir etwas über das Koordinatensystem. Dazu werde ich Dir die folgenden Fragen beantworten: Erstens, was ist ein Koordinatensystem? Zweitens, wie ist ein Koordinatensystem aufgebaut? Drittens, wie zeichnet man Punkte im Koordinatensystem ein? Und viertens, wie liest man Punkte im Koordinatensystem ab? Ich habe dabei das Video in zwei Teile geteilt. Im ersten Teil beantworte ich Dir die ersten beiden Fragen und im zweiten Teil die Fragen drei und vier. Beginnen wir mit Frage eins: Was ist ein Koordinatensystem? Koordinatensysteme helfen dabei, die Position von Objekten oder Punkten eindeutig zu bestimmen. Koordinatensysteme gibt es nicht nur in der Mathematik, sondern auch in anderen Wissenschaften werden sie verwendet. Selbst im Alltag findet man verschiedene Koordinatensysteme. So gibt es zum Beispiel das geographische Koordinatensystem, welches über Längen- und Breitengerade beschrieben wird. Selbst ein Schachbrett stellt ein Koordinatensystem dar. Und solche Schilder hast Du bestimmt auch schon einmal an Häusern oder Masten gesehen. Sie beschreiben, ausgehend von diesem Schild, die Lage von Hydranten. Und es gibt natürlich auch Koordinatensysteme in der Mathematik. Dort verwendet man häufig das sogenannte „kartesische Koordinatensystem“. Es heißt kartesisch, weil es nach dem französischen Mathematiker René Descartes benannt wurde. Ins Lateinische übersetzt heißt der Name nämlich „Cartesius“. Das Wort „kartesisch“ beschreibt eine besondere Eigenschaft des Koordinatensystems. Nämlich, dass deren Achsen senkrecht aufeinander stehen. Es gibt auch noch andere schiefwinklige Koordinatensysteme, die wir aber hier nicht betrachten. Und damit sind wir auch schon direkt bei der zweiten Frage: Wie ist ein Koordinatensystem aufgebaut? Wir beschränken uns hier und im Folgenden auf ein Koordinatensystem im zweidimensionalen Raum, also mit zwei Variablen. Ein Koordinatensystem besteht aus zwei senkrecht aufeinander stehenden Achsen. Das heißt, sie schneiden sich in einem Winkel von neunzig Grad, also in einem rechten Winkel. Deren Pfeile zeigen in die positive Richtung. Die Gegenrichtungen sind negativ. Den Schnittpunkt der beiden Achsen nennt man „Koordinatenursprung“. Man bezeichnet ihn immer mit „O“. Er hat die Koordinaten (0|0). Das O ist abgeleitet vom Lateinischen „origio“, was soviel wie „Ursprung“ bedeutet, da dieser Punkt der Ausgangspunkt der Orientierung im Koordinatensystem ist. Die horizontale Achse bezeichnet man als „x-Achse“ oder auch als „Abszissenachse“. Der Name „Abszissenachse‟ ist abgeleitet vom Lateinischen „linea abscissa“, was „abgeschnittene Linie‟ bedeutet. Verkürzt sagt man häufig nur „Abszisse“, obwohl man als Abszisse eigentlich eine x-Koordinate, also einen Teil der x-Achse beschreibt. Mehr dazu gibt's in Teil zwei. Eher seltener wird sie auch als „Rechtsachse“ bezeichnet, weil sie vom Nullpunkt gesehen positiv nach rechts verläuft. Dies wird durch den Pfeil gekennzeichnet. Die vertikale Achse bezeichnet man als „y-Achse“ oder „Ordinatenachse“. Der Name Ordinatenachse ist ebenfalls vom Lateinischen abgeleitet und übersetzt „linear ordinata“ in „geordnete Linie“. Als Kurzform verwendet man oft „Ordinate“, obwohl dies auch hier eigentlich die y-Koordinate bezeichnet. Manchmal wird die Ordinatenachse aber auch als Hochachse bezeichnet, weil sie nach oben zeigt. Viele können sich nicht merken, welche Achse in welche Richtung zeigt. Daher stelle ich Dir ein paar Eselsbrücken vor. Die erste lautet: Die Ordinatenachse zeigt nach oben. Man merkt sich das also über die Anfangsbuchstaben. Über das Ausschlussverfahren muss die Abszisse dann nach rechts zeigen. Bei der Frage, ob die Abszisse die x- oder die y-Achse ist, kann man sich eine Eselsbrücke über das Alphabet bauen: Die beiden Buchstaben, die zuerst im Alphabet kommen, gehören zusammen, also die x-Achse und die Abszisse. Und die beiden Buchstaben, die zuletzt im Alphabet vorkommen, gehören auch zusammen, also y-Achse und Ordinate. Die vier Felder des Koordinatensystems bezeichnet man als „Quadranten“. Auch dieser Name ist vom Lateinischen abgeleitet. So wird das lateinische Wort „quadrans“ mit „Viertel‟ übersetzt, da die Achsen die Ebene in vier Teile teilt. Man nummeriert die Quadranten entgegen dem Uhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinne. Man beginnt rechts oben im positiven Quadranten. Dieser wird mit „I“ nummeriert, der linke mit „II“, der nächste mit „III“ und der vierte mit „IV“. Den ersten Quadranten benutzt man am häufigsten. Zur Übersicht über die Vorzeichen in den einzelnen Quadranten lege ich eine Tabelle an. Im Tabellenkopf trage ich die Quadranten ein, um die Vorzeichen der x- und y-Koordinate in den einzelnen Quadranten zu betrachten. In dem ersten Quadranten ist die x- und y-Koordinate positiv. Daher können wir bei beiden >0, also positiv, eintragen. Im zweiten Quadranten ist die x-Koordinate negativ, also <0, und die y-Koordinate ist positiv, also >0. Gleiches machen wir auch bei den anderen Quadranten. Im dritten Quadranten ist die x- und die y-Koordinate negativ, also bei beiden <0. Und im vierten Quadranten ist die x-Koordinate positiv, also >0, und die y-Koordinate negativ, also <0. Oberhalb der x-Achse ist die y-Koordinate also positiv und unterhalb negativ. Analog ist die x-Koordinate rechts von der y-Achse positiv und links von der y-Achse negativ. Nun ist das Video auch schon wieder vorbei. Du hast heute wieder viel gelernt. Du hast gelernt, was ein Koordinatensystem ist und wozu man es braucht. Ein Koordinatensystem hilft dabei, die Position von Objekten eindeutig zu bestimmen. Es dient also der Orientierung. Das kartesische Koordinatensystem besitzt senkrecht zueinander stehende Achsen, die sich im Koordinatenursprung O mit den Koordinaten (0|0) schneiden. Wir haben das zweidimensionale Koordinatensystem betrachtet. Es besteht aus einer x-Achse und einer y-Achse. Die x-Achse wird auch als „Abszissenachse“ bezeichnet und die y-Achse als „Ordinatenachse“. Die Achsen teilen die Ebene in vier Quadranten ein. Man beginnt mit der Nummerierung rechts oben und zählt gegen den Uhrzeigersinn weiter. Besonders zu beachten sind die unterschiedlichen Vorzeichen der Koordinaten in den Quadranten. Und nun gebe ich noch einen kurzen Ausblick in den zweiten Teil des Videos: Im zweiten Teil zum Koordinatensystem beantworte ich Dir diese Fragen: Drittens, wie zeichnet man Punkte ins Koordinatensystem ein? Und viertens, wie liest man Punkte im Koordinatensystem ab? Und nun sage ich bye bye und bis zum nächsten Mal.

36 Kommentare
  1. Hallo im Mathe Unterricht haben wir es total anderes geleint
    :/ ^-^

    Von Federschweif, vor 21 Tagen
  2. Hallo Unicornie School,
    schau mal bei 3:15, da wird der Begriff x-Achse erwähnt. Ab 3:55 wird dann auch von der y-Achse gesprochen.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor etwa 2 Monaten
  3. Im Mathe unterricht war das nicht soooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo lange aber wieso sagt ihr nicht x-Achse und y-Achse??????

    Von Federschweif, vor etwa 2 Monaten
  4. ich auch nicht

    Von Batiahe17, vor 2 Monaten
  5. ich verstehe das nicht

    Von Deleted User 702302, vor 5 Monaten
  1. Super aufgebautes Video. Werde das Thema in meiner 5 behandeln. Ich persönliche empfinde die sprachlichen Ursprünge und mathematischen Fachbegriffe leider etwas überfordernd und nicht kindgerecht.
    Trotzdem danke für das Video.

    Von Philraebiger, vor 6 Monaten
  2. Was ich check gar nichts

    Von Umut T., vor 6 Monaten
  3. Kann es immer noch nicht

    Von Brauer Katja, vor 6 Monaten
  4. Halo Samiranobakhti88,
    meinst du bei den interaktiven Übungen den ersten Absatz von Aufgabe 2? Du hast Recht: Da die beiden Koordinatenachsen im 90°-Winkel zueinander stehen, könnten wir sie auch als senkrecht zueinander bezeichnen. Es gibt aber noch einen anderen Begriff, der noch ein wenig besser in diese Lücke passt und zur Auswahl steht. :)
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 7 Monaten
  5. bei der 2 das ist doch senkrechte

    Von DANIEL m., vor 7 Monaten
  6. Hallo Lianakatze,
    wenn du konkrete Fragen hast, kannst du dich gerne an den Fach-Chat wenden. Für dieses Thema bietet sich zum Beispiel sehr die Benutzung der digitalen Tafel an. Ich wünsche dir viel Erfolg!
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 7 Monaten
  7. Ich habe das nicht so gut verstanden

    Von Lianakatze, vor 7 Monaten
  8. nice

    Von Rainer Finger, vor etwa einem Jahr
  9. @Alexander Rene Kulicke: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Jahr
  10. Ich verstehe das immer noch nicht

    Von Alexander Rene Kulicke, vor etwa einem Jahr
  11. Merci

    Von Bertwickermann, vor etwa einem Jahr
  12. Wir hatten noch nicht mit minus zahlen aber trotztem danke

    Von Bertwickermann, vor etwa einem Jahr
  13. :-) sehr gut eklärt ;-)

    Von Timo B., vor mehr als einem Jahr
  14. Das Video hat mir sehr geholfen. DANKE!

    Von Dimips, vor mehr als einem Jahr
  15. O_O

    Von Johannes Beckers, vor mehr als einem Jahr
  16. LLLLOOOLL ich hab die Aufgaben in 0,1 Sekunde gelöst

    Von Johannes Beckers, vor mehr als einem Jahr
  17. supi erklärt

    Von Gml Pirker, vor fast 2 Jahren
  18. hallo

    Von Hpu173, vor mehr als 2 Jahren
  19. Cooles Video supi erklärt. ;-) :-) :-) :-)

    Von Jonas Nelly b., vor mehr als 2 Jahren
  20. Es wäre sicher gut erklärt, aber in unserer Schule hatten wir alles anders benannt :(

    Von Jaelund Jerome, vor mehr als 2 Jahren
  21. Gute Erklärung

    Von Emma T., vor etwa 3 Jahren
  22. Super Erklärung

    Von Lukasstiel, vor mehr als 3 Jahren
  23. Ich finde es gut erklärt :-)

    Von C Schleiffer, vor fast 4 Jahren
  24. ist gut

    Von Deleted User 264393, vor mehr als 4 Jahren
  25. Coole Laser show

    Von Lpf 137, vor mehr als 4 Jahren
  26. Oupiuuuiì

    Von Jonas V., vor fast 5 Jahren
  27. O

    Von Jonas V., vor fast 5 Jahren
  28. Normal

    Von Eido76, vor etwa 5 Jahren
  29. sehr gut erklärt

    Von Malexoae, vor mehr als 5 Jahren
  30. Sehr gut erklärt habe alles verstanden vielen dank für die hilfe ! :)

    Von Deleted User 68375, vor mehr als 5 Jahren
  31. niveau 7. klasse ... trotzdem gut erklärt danke für die hilfe .

    Von Neher, vor etwa 6 Jahren
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Koordinatensystem – Aufbau Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Koordinatensystem – Aufbau kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wofür ein Koordinatensystem benötigt wird.

    Tipps

    Zum Beispiel stellt ein Schachbrett ein Koordinatensystem dar.

    Hier siehst du ein kartesisches Koordinatensystem.

    Lösung

    Wofür benötigt man ein Koordinatensystem?

    Ein Koordinatensystem dient zur Darstellung von Punkten oder anderen geometrischen Elementen in der Ebene. Häufig wird auch die Abkürzung KOS für Koordinatensystem verwendet.

    In der Mathematik nutzt man oft das sogenannte kartesische Koordinatensystem. Dieser Name leitet sich von dem französischen Mathematiker René Descartes ab.

    Ein Koordinatensystem besteht aus einer horizontalen und einer vertikalen Achse, welche senkrecht zueinander sind.

  • Bestimme die richtige Beschriftung der Quadranten und gib an, welche Aussage sich über die Vorzeichen der Koordinaten treffen lässt.

    Tipps

    Die Quadranten sind gegen den Uhrzeigersinn nummeriert. Man beginnt oben rechts mit dem ersten Quadranten. Dieser wird mit $(\text{I.})$ beschriftet.

    • Die Pfeile rechts und oben zeigen in positive Richtung.
    • Entsprechend ist die entgegengesetzte Richtung die negative Richtung.

    Alle Punkte oberhalb der horizontalen $x$-Achse haben positive $y$-Koordinaten. Entsprechend haben alle Punkte unterhalb der $x$-Achse negative $y$-Koordinaten.

    Alle Punkte rechts (links) von der vertikalen $y$-Achse haben positive (negative) $y$-Koordinaten.

    Lösung

    In diesem Bild siehst du die Quadranten und die Vorzeichen der Koordinaten der Punkte in diesen Quadranten. Beginnen wir oben rechts und gehen dann die einzelnen Quadranten gegen den Uhrzeigersinn durch:

    • Im ersten Quadranten $(\text{I.})$ haben alle Punkte positive $x$- sowie $y$-Koordinaten.
    • Im zweiten Quadranten $(\text{II.})$ haben alle Punkte negative $x$- sowie positive $y$-Koordinaten.
    • Im dritten Quadranten $(\text{III.})$ haben alle Punkte negative $x$- sowie $y$-Koordinaten.
    • Im vierten Quadranten $(\text{IV.})$ haben alle Punkte positive $x$- sowie negative $y$-Koordinaten.
  • Beschreibe, wie ein kartesisches Koordinatensystem aufgebaut ist.

    Tipps

    Wie kannst du dir merken, welche der Achsen die Ordinaten- und welche die Abszissenachse ist?

    Die Ordinatenachse zeigt nach oben.

    „Quadrans“ ist der lateinische Begriff für „Viertel“.

    Lösung

    In dieser Aufgabe schauen wir uns den Aufbau eines kartesischen Koordinatensystems an:

    • Im Zweidimensionalen besteht das kartesische Koordinatensystem aus zwei senkrechten Achsen. Das bedeutet, dass sich die Achsen in einem rechten Winkel $(90^\circ)$ schneiden.
    • Nach rechts und nach oben zeigen Pfeile in die positive Richtung.
    • Die beiden Achsen schneiden sich in einem Punkt. Dieser wird als Koordinatenursprung bezeichnet und mit dem Buchstaben $O$ markiert. Dies kommt von dem lateinischen Wort „origio“ für „Ursprung“. Die Koordinaten dieses Punktes sind $(0|0)$. Also ist $x=0$ und $y=0$.
    • Die horizontale Achse wird als $x$- oder auch Abszissenachse bezeichnet. Eine andere Bezeichnung ist das Wort Rechtsachse.
    • Die vertikale Achse wird als $y$- oder auch Ordinatenachse bezeichnet. Sie wird auch Hochachse genannt.
    Mit einer Eselsbrücke kannst du dir die Bezeichnungen merken: Die Ordinatenachse zeigt nach oben.

    Schließlich wird ein Koordinatensystem in vier Quadranten unterteilt: Die Nummerierung beginnt oben rechts mit der römischen $I$ und wird gegen den Uhrzeigersinn fortgesetzt.

    Woher kommt der Name? „Quadrans“ ist der lateinische Begriff für „Viertel“.

  • Prüfe die folgenden Aussagen zu Punkten im Koordinatensystem.

    Tipps

    Beachte: Der Koordinatenursprung hat die Koordinaten $x=0$ sowie $y=0$.

    Bei allen anderen Punkten auf den Koordinatenachsen ist immer genau eine der Koordinaten $0$.

    Orientiere dich an diesem Bild für das Vorzeichen der Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem.

    Lösung

    Der Koordinatenursprung $O(0|0)$ ist der Ausgangspunkt für die Orientierung im Koordinatensystem.

    Alle anderen Punkte auf einer der Koordinatenachsen haben genau eine Koordinate, die $0$ ist. Das Vorzeichen der Koordinate, welche nicht $0$ ist, kannst du durch die Lage des Punktes in Relation zum Koordinatenursprung bestimmen.

    Am Beispiel von vier Punkten siehst du hier, welche Koordinate $0$ ist und welches Vorzeichen die andere Koordinate hat:

    • Jeder Punkt auf der $x$-Achse rechts vom Koordinatenursprung, zum Beispiel $B$, hat die $y$-Koordinate $0$ und eine positive $x$-Koordinate.
    • Jeder Punkt auf der $x$-Achse links vom Koordinatenursprung, zum Beispiel $A$, hat die $y$-Koordinate $0$ und eine negative $x$-Koordinate.
    • Jeder Punkt auf der $y$-Achse oberhalb vom Koordinatenursprung, zum Beispiel $C$, hat die $x$-Koordinate $0$ und eine positive $y$-Koordinate.
    • Jeder Punkt auf der $y$-Achse unterhalb vom Koordinatenursprung, zum Beispiel $D$, hat die $x$-Koordinate $0$ und eine negative $y$-Koordinate.
    Hinweis: Alle Punkte, welche übereinstimmende $x$- und $y$-Koordinaten haben (zum Beispiel $P(-3|-3)$, $Q(-2|-2)$, $R(4|4)$, $...$) liegen entweder im ersten ($I$) oder dritten ($III$) Quadranten. Auch hier ist der Koordinatenursprung eine Ausnahme. Er liegt in keinem der Quadranten.

  • Vervollständige das Koordinatensystem.

    Tipps

    Die Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn nummeriert. Der erste Quadrant ist dabei oben rechts. Er wird mit „$\text{I.}$“ beschriftet.

    Der Koordinatenursprung wird nach dem lateinischen „origio“ bezeichnet.

    Lösung

    Wenn du ein Koordinatensystem zeichnest, musst du einiges beachten:

    • Die Pfeile zeigen immer in die positive Richtung. Dort sind diese auch beschriftet.
    • Bei der $x-$Achse zeigt der Pfeil nach rechts und bei der $y-$Achse nach oben.
    • Die beiden Achsen schneiden sich in dem Koordinatenursprung, welcher nach dem lateinischen „origio“ für „Ursprung“ mit $O$ beschriftet wird.
    • Die vier Quadranten werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. Du beginnst oben rechts.
  • Erschließe die Vorzeichen der Koordinaten der Punkte.

    Tipps

    Hier siehst du ein Koordinatensystem, bei dem die jeweiligen Richtungen mit Vorzeichen beschriftet sind.

    Alle Punkte oberhalb der $x$-Achse haben beispielsweise eine positive $y$-Koordinate.

    Zum Beispiel liegt der Punkt $P(-2|-1)$ im dritten ($III$) Quadranten, also unten links.

    Beide Koordinaten sind negativ.

    Du kannst dir die Vorzeichen auch mit diesem Bild einprägen.

    Überlege nun, welcher der Punkte wo liegt.

    Lösung

    Merke dir das Vorzeichen der Koordinaten mithilfe der Lage der Punkte in Relation zu den Koordinatenachsen:

    • Alle Punkte oberhalb der horizontalen $x$-Achse haben positive $y$-Koordinaten. Also haben alle Punkte unterhalb der $x$-Achse negative $y$-Koordinaten.
    • Alle Punkte rechts (links) von der vertikalen $y$-Achse haben positive (negative) $x$-Koordinaten.
    Für die Aufgabe folgt daraus:

    • Der Punkt $A$ hat eine negative $x$- und eine positive $y$-Koordinate.
    • Der Punkt $B$ hat eine positive $x$- und $y$-Koordinate.
    • Der Punkt $C$ hat eine positive $x$- und eine negative $y$-Koordinate.
    • Der Punkt $D$ hat eine negative $x$- und $y$-Koordinate.