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Konstruktion einer Parallelen 05:05 min

Textversion des Videos

Transkript Konstruktion einer Parallelen

Wir befinden uns an der Siedlungsgrenze im Wilden Westen. Walt Straightfore ist zuständig für die Grenzziehungen der Siedlungen im neuen US-Bundesstaat New North Southwestland. Und weil es "in America" so gemacht wird, werden die Siedlungsgrenzen schön gerade und vor allem parellel gezogen. Dafür muss Walt Straightfore die Konstruktion einer Parallelen mit Hilfe von Zirkel und Lineal beherrschen. Parallelen haben eine besondere Eigenschaft: Sie haben überall den gleichen Abstand zueinander. Betrachten wir die Gerade g. Wir wollen zwei Punkte finden, die den gleichen Abstand zu dieser Geraden haben. Durch diese zwei Punkte zeichnen wir dann die Parallele g Strich. Es gibt verschiedene Wege mit Hilfe von Zirkel und Lineal eine Parallele zu konstruieren. Bei der ersten Variante konstruieren wir zu einer Geraden g eine Parallele durch einen gegebenen Punkt P. Wir setzen den Zirkel im Punkt P an und schlagen einen Kreis mit dem Radius r. Diesen Radius werden wir für diese Konstruktion nicht mehr verändern! Der Radius muss dabei aber so groß sein, dass der Kreis die Gerade g zweimal schneidet. So entstehen zwei Schnittpunkte S1 und S2. Jetzt schlagen wir - mit dem gleichen Radius r - einen zweiten Kreis um einen der beiden Schnittpunkte - wir nehmen hier S1. So entsteht ein neuer Schnittpunkt S'. Wir setzen den Zirkel im Punkt S' an und schlagen einen weiteren Kreis mit Radius r. So entsteht der Schnittpunkt P' mit dem ersten Kreis. Durch P und P' ziehen wir eine Gerade g' und haben so eine Parallele zu g gefunden. Hmm, moment mal, stimmt das?Woher wissen wir, dass g und g' parallel zueinander verlaufen? Wir betrachten das Viereck P; P', S', S1. Alle vier Seiten haben die Länge r, den Radius der Kreise. Also ist das Viereck eine Raute. Eine Raute ist aber auch immer ein Parallelogramm, also sind die gegenüberliegenen Seiten parallel. Damit ist bewiesen, dass die Geraden g und g' parallel zueinander verlaufen. Kommen wir zur zweiten Konstruktion: Wieder ist ein Punkt P gegeben, durch den eine Parallele zur Geraden g konstruiert werden soll. Um diesen Punkt P schlagen wir einen Kreis. Sein Radius muss so groß sein, dass die Gerade zweimal geschnitten wird. Mit den beiden Schnittpunkten S1 und S2 fällen wir ein Lot über der Geraden g. Das Lot verläuft dann genau durch den Punkt P. Durch P fällen wir erneut ein Lot und nennen es g', denn g' ist die gesuchte Parallele zu g. Und warum ist das die Parallele? Ein Lot steht immer im rechten Winkel auf der Geraden. Weil wir zwei Lote gefällt haben, um g' zu konstruieren, haben wir also auch zwei rechte Winkel - und zwei rechte Winkel entsprechen genau 180 Grad. Wie es sein soll für eine Parallele! Wir kommen zur dritten Konstruktion. Zu einer Geraden g soll eine Parallele mit einem gegebenen Abstand konstruiert werden. Ein Punkt ist dieses Mal jedoch nicht vorgegeben. Um zwei beliebige Punkte auf der Geraden schlagen wir zwei Kreisbögen mit dem gegebenen Abstand als Radius r. Durch diese beiden Punkte P1 und P2 fällen wir jeweils das Lot auf g. So entstehen diese beiden Schnittpunkte von den Lotgeraden und den Kreisen. Diese beiden Schnittpunkte S1 und S2 haben beide den gleichen Abstand zur Geraden g. Deshalb ist eine Gerade g' durch diese beide Punkte eine Parallele zu g mit dem gegebenen Abstand r. Wir fassen zusammen: Zur Konstruktion einer Parallelen mit Zirkel und Lineal haben wir drei Möglichkeiten kennengelernt. Beim ersten Weg konstruieren wir eine Raute, deren eine Seite auf der Geraden g liegt. Die gegenüberliegenede Seite gibt dann die Parallele g' vor. Beim zweiten Weg fällen wir zweimal hintereinander ein Lot. Das zweite Lot bildet dann die Parallele g'. Beim dritten Weg haben wir keinen Punkt gegeben, sondern einen Abstand, in dem die Parallele verlaufen soll. Diesen Abstand tragen wir mit Hilfe zweier Kreise auf der Geraden g ab und fällen durch die beiden Kreismittelpunkte jeweils das Lot. Die Gerade durch die Schnittpunkte der Lotgeraden und Kreise ist die gesuchte Parallele g'. So geht das Parallelenzeichnen ganz schnell von der Hand. Walt Straightfore kann sich nicht bremsen und so hat er versehentlich eine Grenze mitten durch sein eigenes Haus gezogen. Dumm nur, dass das Schlafzimmer auf der anderen Seite liegt.

1 Kommentar
  1. Cool! :D
    nicht zu langweilig
    gut erklärt! :)

    Von Myrna M., vor 9 Monaten

Konstruktion einer Parallelen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Konstruktion einer Parallelen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Konstruktion einer Parallelen mit einer Raute.

    Tipps

    Die Parallele wurde mit Hilfe von drei Kreisen konstruiert.

    Den ersten Kreis zeichnet man um $P$, danach werden Kreise um Schnittpunkte mit der Geraden $g$ gezeichnet.

    Lösung

    Die Konstruktion einer Parallelen zu einer Geraden $g$ durch einen Punkt $P$ über eine Raute erfolgt folgendermaßen:

    • Zuerst schlägst du einen Kreis um den gegebenen Punkt $P$. Der Radius $r$ dieses Kreises muss groß genug sein, so dass er die Gerade $g$ zweimal schneidet. Diese Schnittpunkte nennen wir $S_1$ und $S_2$. Für alle folgenden Kreise bleibt dieser Radius $r$ konstant.
    In dieser Konstruktionsmethode wird eine Raute mit den Seitenlängen $r$ konstruiert. In einer solchen geometrischen Form sind die sich gegenüberliegenden Seiten parallel. Mit dem ersten Kreis findet man den Eckpunkt $S_1$ dieser Raute auf der Geraden $g$.
    • Um den linken Schnittpunkt $S_1$ des Kreises mit der Geraden $g$ zeichnest du einen weiteren Kreis mit dem Radius $r$.
    • Dieser zweite Kreis schneidet die Gerade $g$ ebenfalls zweimal. Den linken Schnittpunkt nennst du $S'$ und zeichnest einen weiteren Kreis mit dem Radius $r$ um ihn.
    Dieser zweite Kreis findet den zweiten Eckpunkt $S'$ auf der Geraden $g$.
    • Der dritte Kreis schneidet den ersten Kreis im Punkt $P'$.
    • Eine Gerade $g'$ durch die Punkte $P$ und $P'$ ist parallel zur ursprünglichen Gerade $g$.
    Der dritte Kreis findet den letzten Punkt des Parallelogramms. Die Gerade durch $P$ und $P'$ muss parallel zur Geraden durch $S_1$ und $S'$ sein.

  • Gib die Eigenschaften paralleler Geraden an.

    Tipps

    Das sind zwei parallele Geraden $g$ und $g'$ und ihr Lot.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Parallele Geraden haben überall unterschiedliche Abstände zueinander.
    Der Abstand ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei geometrischen Figuren. Dieser ist bei Parallelen überall gleich.
    • Parallele Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
    Da Parallelen überall den gleichen Abstand haben, können sie sich nicht schneiden. Ein Sonderfall sind identische Geraden. Diese schneiden sich in jedem Punkt.

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Parallele Geraden schneiden sich nie.
    Da Parallelen überall den gleichen Abstand haben, können sie sich nicht schneiden.
    • Fällt man ein Lot auf eine Gerade $g$, dann steht dieses senkrecht auf jeder Parallelen der Geraden $g$.
    Ein Lot steht immer senkrecht auf einer Geraden. Ist die Gerade $g$ parallel zu einer anderen Geraden, muss dieses Lot auch senkrecht zu der Parallelen sein.
    • Der Abstand zweier paralleler Geraden ist überall gleich.
  • Beschreibe die Konstruktion einer Parallelen durch zweimalige Konstruktion eines Lots.

    Tipps

    Ein Lot konstruiert man mit zwei sich schneidenden Kreisbogen, um zwei Punkte auf der Geraden, auf die das Lot gefällt werden soll.

    Ein Lot steht senkrecht auf einer Geraden. Fällt man also ein Lot auf eine Geraden $g$ und dann ein weiteres Lot auf das gerade konstruierte Lot, dann ist das zweite Lot $g'$ parallel zur ursprünglichen Geraden $g$.

    Lösung

    Die Konstruktion einer Parallelen durch zweimaliges Schlagen eines Lots funktioniert folgendermaßen:

    • Zuerst ziehst du einen Kreis um $P$, der die Gerade $g$ zweimal schneidet.
    Dieser Kreis ist der erste Schritt beim Fällen eines Lotes. Damit werden die Punkte bestimmt, zwischen denen das Lot gefällt werden muss. Auf ihnen basiert die Konstruktion.

    • Die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ des Kreises mit der Geraden $g$ kannst du verwenden, um ein Lot durch den Punkt $P$ zu fällen. Dafür zeichnest du jeweils zwei sich schneidende Kreisbogen um die Punkte $S_1$ und $S_2$.
    • Die Schnittpunkte der Kreisbogen verbindest du mit einer Geraden. Diese ist das Lot auf der Geraden $g$ durch den Punkt $P$.
    Die Schnittpunkte dieser beiden Kreisbogen haben jeweils den gleichen Abstand von den Punkten $S_1$ und $S_2$ zwischen denen das Lot gefällt werden soll. Und da der Punkt $P$ jeweils den gleichen Abstand von diesen beiden Schnittpunkten hat, muss er auch auf dem Lot liegen.

    • Auf dem gerade konstruierten Lot errichtest du ein weiteres Lot durch den Punkt $P$. Dieses zweite Lot heißt $g'$ und ist parallel zu $g$.
    Ein Lot steht senkrecht auf einer Geraden. Fällt man also ein Lot auf eine Gerade $g$ und dann ein weiteres Lot auf das erste Lot, dann ist das zweite Lot $g'$ parallel zur ursprünglichen Geraden $g$.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Parallelen im Alltag.

    Tipps

    Der Abstand der Räder eines Bahnwaggons verändert sich nie.

    Hier siehst du das Schrägbild eines Quaders.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Zwei Bahnschienen sind immer parallel, auch in einer Kurve.
    Der Abstand der Räder eines Bahnwaggons verändert sich nie. Also müssen die Bahnschienen immer den gleichen Abstand zueinander haben. Sie sind demnach parallel.

    • Jeweils vier Kanten eines Quaders sind parallel zueinander.
    Ein Quader hat zwölf Kanten. Jeweils vier davon sind gleich lang und parallel zueinander.

    • Das Straßensystem des Stadtteils Manhattan in New York City besteht aus einem Netz mit vielen parallelen Straßen.
    In Manhattan verlaufen fast alle Straßen parallel zueinander. Die Straßen von Norden nach Süden heißen "Avenues" und die Straßen von Osten nach Westen nennt man "Streets". Viele Stadtteile auf der ganzen Welt haben ein ähnliches Straßensystem. Es dient der einfachen Orientierung.

    • Zwei Flugzeuge, die stets parallel zueinander fliegen, können niemals zusammenstoßen.
    Parallele Linien schneiden sich nie. Also kann alles, was sich parallel bewegt, niemals zusammenstoßen.

    Diese Aussage ist falsch:

    • In einem Rechteck sind alle Seiten parallel zueinander.
    In einem Rechteck sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.

  • Erkläre die Konstruktion einer Parallelen in einem gegebenen Abstand.

    Tipps

    Der erste Schritt sieht so aus.

    Die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ haben jeweils den gleichen Abstand zu der Geraden $g$.

    Lösung

    Die Konstruktion einer Parallelen in einem gegebenen Abstand $r$ zu einer Geraden $g$ funktioniert folgendermaßen:

    • Zuerst zeichnest du zwei Kreise mit dem Radius $r$ um beliebige Punkte $P_1$ und $P_2$ auf der Geraden $g$.
    Alle Punkte auf den Kreisen haben jeweils den Abstand $r$ von den jeweiligen Kreismittelpunkten $P_1$ und $P_2$.

    • Dann fällst du jeweils ein Lot durch die Punkte $P_1$ und $P_2$ auf die Gerade $g$.
    • Die Lotgeraden und die Kreise schneiden sich in den Punkten $S_1$ und $S_2$ .
    • Durch die Punkte $S_1$ und $S_2$ zeichnest du eine Gerade $g'$.
    Da man die Parallele im Abstand $r$ konstruieren möchte, nimmt man die Schnittpunkte der Lotgeraden mit den Kreisen. Denn diese Punkte haben den Abstand $r$ zur Geraden und die Verbindung steht senkrecht auf der Geraden.

    • Diese Gerade $g'$ ist parallel zu $g$, denn die beiden Geraden haben überall den gleichen Abstand $r$ zueinander.
  • Bestimme die Konstruktionsbeschreibungen.

    Tipps

    Um eine Parallele im Abstand $r$ zu zeichnen, musst du zuerst Punkte bestimmen, die diesen Abstand von der ursprünglichen Geraden haben.

    Das Lot einer Geraden steht senkrecht auf der Geraden. Ein Lot auf diesem Lot liegt parallel zur Geraden.

    Lösung

    Die verschiedenen Geraden werden so konstruiert:

    Bild $1$ (ganz links): Dieses Bild wird mit der ersten Methode konstruiert. Hier wird nämlich eine Parallele mit Hilfe einer Raute konstruiert.

    Bild $2$: Dieses Bild kannst du mit der vierten Methode konstruieren. Hier wird eine Lotgeraden konstruiert, indem du sich schneidende Kreissegmente um zwei Punkte auf der Geraden zeichnest und die Schnittpunkte durch eine Gerade verbindest.

    Bild $3$: Hier wird die zweite Methode verwendet. Du konstruierst eine Parallele zu einer Geraden $g$ durch einen Punkt $P$ mit Hilfe zweier Lotgeraden.

    Bild $4$ (ganz rechts): Dieses Bild kannst du mit der dritten Methode konstruieren. Dabei wird eine Parallele mit gegebenem Abstand $r$ konstruiert, indem du den Abstand durch Kreise abträgst und das Lot durch die Kreismittelpunkte fällst. Durch die Schnittpunkte verläuft dann die gesuchte Parallele.