Kombinatorik – Übungsaufgabe (5) 06:00 min

Hallo! Es kommt noch eine Übungsaufgabe hier zu dieser Liste, hier zu dieser Tabelle, wie auch immer man das sagen will. Es geht um eine Klasse mit 30 Schülern. Und es geht um eine kleine Festivität, die diese Schüler veranstalten. Wie das so ist, müssen hinterher Leute aufräumen. Sagen wir mal, 5 Leute müssen aufräumen und putzen am Tag danach. Wie wahrscheinlich ist es jetzt, wenn ich in dieser Klasse bin, dass ich putzen muss? Das ist die erste Frage. Die zweite Frage ist: Angenommen, wir haben 3 unzertrennliche Freundinnen in der Klasse. Unzertrennlich, bis der nächste Typ mit einem Waschbrettbauch kommt. Aber egal, da wollte ich jetzt nicht drüber reden. Das sind Lara, Tara und Sarah. Und die fragen sich jetzt: Wie wahrscheinlich ist es, dass, wenn eine von uns gewählt wird, dass wir dann mit einer zusammen von uns noch putzen können. Im Klartext also: dass 2 von diesen in der Putztruppe sind. Wie kann man das ausrechnen? Wir suchen eine Wahrscheinlichkeit. Wie in diesem Zusammenhang üblich können wir uns vielleicht als Erstes fragen: Ist es ein Laplace-Versuch. Also der Zufallsversuch selber besteht ja aus der Auswahl von 5 Leuten aus 30. Das ist ein Zufallsversuch. Sind alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich? Ich würde sagen, ja. Je nachdem, wie man den nun gestaltet, aber wir gehen einmal davon aus, dass natürlich keiner da bevorteiligt oder benachteiligt behandelt wird. Dann müssen wir uns nur überlegen: Wie viele Ergebnisse gehören denn zu dem Ereignis "ich muss putzen"? Wenn wir nämlich wissen, wie viele Ergebnisse dazugehören, können wir die Laplaceregel anwenden und einfach Anzahl der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören geteilt durch Anzahl aller Ergebnisse rechnen. Und dann haben wir die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis. Wie viele Ergebnisse gehören zum Ereignis "ich muss putzen"? Nun, wenn ich in dieser Gruppe von 5 bin, dann können noch 4 der 29 anderen Schüler mit drin sein. Alle diese Möglichkeiten, alle diese Ergebnisse gehören zu dem Ereignis "ich muss putzen". Ich bin also eine Person. Einmal: 29 über 4. Warum 29 über 4? Es ist diese Möglichkeit hier. Wenn Leute ausgesucht werden zum Putzen, dann wird keiner zweimal ausgesucht. Das wäre unsinnig. Zum einen das. Das ist also Ziehen ohne Zurücklegen. Zweiter Punkt: Es ist nicht wichtig, an welcher Stelle jemand ausgewählt wurde. Für die meisten ist es nur wichtig, dass sie putzen müssen, beziehungsweise ob sie nicht putzen müssen. An welcher Stelle ist egal, also ziehen wir hier ohne Reihenfolge. Also ist die Möglichkeit die richtige, die wir hier anwenden müssen. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt? Wir ziehen 5 Leute aus 30 ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge, also 5 über 30. Was kommt daraus? 1/6. Woher weiß ich das? Wenn wir 30 Laute in der Klasse haben und 5 müssen putzen, dann ist es 1/6 aller. Man kann sich die Sache auch so vorstellen, dass jetzt ein Korb mit Losen rumgeht, da steht fünfmal "putzen" drauf und bei den anderen Losen steht nichts. Das sind insgesamt 3 lose. Dass ich da jetzt reingreife und eins der 5 "Putzen"-Lose ergreife, die Wahrscheinlichkeit ist 1/6. Das hätte man auch einfacher haben können, aber ich wollte nur zeigen: So geht es auch. Diese Denkweise ist auch hier richtig. Nächste Frage ist: Wie ist das mit Lara, Tara und Sarah? Wie wahrscheinlich ist es, dass genau 2 von ihnen in dieser Putztruppe sind. Da nehme ich einfach mal ein neues Blatt. Da können wir uns als erstes fragen: Wie viele Möglichkeiten gibt es denn, aus diesen Dreien 2 auszuwählen, aus Lara, Tara und Sarah? Es gibt 3 über 2 Möglichkeiten. Dann, da ja 5 Leute putzen müssen, haben wir noch 3 weitere Stellen zu vergeben, die sich jetzt aber aus den verbliebenen 27 rekrutieren. Alle diese Ergebnisse gehören zu dem Ereignis "2 von Lara, Tara, Sarah müssen putzen". Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, müssen wir wieder durch die Anzahl aller Möglichkeiten teilen, und das ist 30 über 5. Das ist gleich 25/406. Ich lasse es als Bruch stehen. Das ist die Wahrscheinlichkeit. Viel Spaß damit, tschüss.