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Integration durch Substitution – Aufgabe (5)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Integration durch Substitution – Aufgabe (5)
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Integration durch Substitution – Aufgabe (5)

Willkommen zum fünften Video in der Reihe „ Integration durch Substitution der Integrationsvariablen “. Die Reihe besteht aus insgesamt zehn Videos. Du hast also am Ende des Videos bereits die Hälfte der Reihe durchgearbeitet. Super! Das neue Beispiel wird dich vermutlich nicht wirklich schockieren. Es soll wieder eine e-Funktion integriert werden wie im letzten Video. Gesucht wird dieses Mal das Integral der Funktion f(x) = x^-2 • e-x^-1. Im nächsten Video folgt dann das sechste Beispiel.

Transkript Integration durch Substitution – Aufgabe (5)

Hallo, hier in schön gelb haben wir die Substitutionsregel und eine Funktion. Ein unbestimmtes Integral ist hier zu bestimmen. Und zwar von ?x^-2×e^-x^-1 und das soll funktionieren, indem wir feststellen, dass dieser Term hier, der Funktionsterm, diese Struktur hat. Es geht nämlich um eine verkettete Funktion, die multipliziert wird mit der Ableitung der inneren Funktion. Und diese Struktur hier wieder zu erkennen, das ist eigentlich schon die ganze Kunst dabei. Und wenn man das dann ordentlich aufschreibt, ist man auch sofort fertig. Ich habe jetzt hier drei Mal das Gleiche hingeschrieben, jeweils in anderer Schreibweise. Einfach deshalb, weil die Schreibweise zum einen variieren kann, man kann auf verschiedene Arten das gleiche Ausdrücken. Und manchmal ist es von der Schreibweise abhängig, wie hier glaube ich auch, ob man jetzt diese Struktur erkennt, oder ob man sie nicht erkennt. Nur zur Erläuterung eben, x^-2 bedeutet, also ^- bedeutet ja immer ÷1. Hier das gleiche, e^- irgendetwas bedeutet 1/e^ dieses etwas. Und x^-1 bedeutet wiederum 1/x und das habe ich dann hier dann halt hingeschrieben. Es gilt übrigens die Klammerung derartig hier, man rechnet erst x^-1, was ja eigentlich 1/x ist. Und dann kommt dieses - Zeichen dazu, erst dann spielt es eine Rolle. Ja, das nur zur Information. Man hat sich darauf geeinigt, von oben nach unten zu klammern, quasi. Hier habe ich es noch mal anders aufgeschrieben, also 1/e1/x kann man ja auch schreiben als e^-1/x. Und wenn wir uns jetzt also daran machen wollen, zu verstehen, warum ein solcher Term hier diese Struktur hat, kann man wie so oft, innen anfangen. Man überlegt sich, was könnte denn die innere Funktion sein. Übrigens, wenn es so geschrieben ist wie hier, könnte man darauf kommen 1/x sei die innere Funktion. Kann man auch probieren, man hat dann allerdings zu integrieren 1/e^ innere Funktion. Da sage ich jetzt nichts weiter zu, denn hier habe ich mich entschieden -x^-1 als innere Funktion zu verstehen bzw. -1/x als innere Funktion zu verstehen. Einfach deshalb, weil die Ableitung von -1/x=1/x2 ist. Also, die Ableitung von x^-1 ist ja -x^-2, wenn dann dieses - Zeichen noch dazu kommt, hat man einfach als Ableitung x^-2 bzw. 1/x2. Und zwar haben wir das erreicht, durch die Potenzregel der Ableitung. Und das - Zeichen hier vor, das ist einfach die Faktorregel der Differenzialrechnung, die Faktorregel der Ableitung. Ich hoffe, das ist kein Problem mehr für dich. Nur nebenbei bemerkt, hier kommt es halt darauf an, dass du solche Umformungen, wie negative Exponenten, einfach drauf hast. Dass du diese Umformungen direkt siehst, ohne lange darüber nachzudenken. Und es ist auch wichtig, dass du hier die Ableitungsregeln beherrschst. Damit du in der Lage bist, aus so einem Term zum Beispiel direkt zu sehen, aha, das ist die Ableitung von diesem Ding. Das muss man dann direkt sehen und nicht erst nach langem Nachrechnen darauf kommen. Deshalb werden solche Termumformungen, hier mit negativen Exponenten usw. und auch die Ableitungsregeln, so viel geübt, damit du sie hinterher sicher beherrschen kannst. Und mit solchen Substitutionsregeln gut klarkommst. Da wir jetzt wissen, dass dieser Term, diese Struktur hat, können wir einfach die äußere Funktion, nämlich f integrieren zu F, g von x abschreiben und fertig. Das habe ich hier mal aufgemalt. Du siehst also, die Rechnungen selber sind nicht so umfangreich hier. Das ist häufig bei der Substitutionsregel so, das was man sich überlegt, das ist ein bisschen mehr, zu schreiben hat man oft nicht so viel. Wir haben g(x)=-x^-1 dann ist g'(x)=-(-1)×x^-2, was ja einfach 1/x2 ist. Habe ich ja gerade schon gesagt. Dieses g(x) nenne ich wieder Z, einfach so, damit ich f(Z) gut hinschreiben kann. Die äußere Funktion f besteht aus eZ. Eine Stammfunktion von eZ ist wieder eZ, das bleibt gleich. Hier habe ich noch das Z wieder durch g(x) ersetzt. g(x)=-1/x bzw. =-x^-1, wie immer man das schreiben will. Und das ist auch schon die Lösung dieser ganzen Sache hier. Ich darf hier ein kleines = Zeichen hinschreiben. So, da könnte natürlich noch ein +c dahin + eine Konstante. Alle Funktionen, die auf diese Weise entstehen, sind Stammfunktionen dieser Funktion hier. Ja, und ich glaube, mehr ist dazu nicht zu sagen. Da bin ich auch ruhig, tschüss.

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