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Grenzwerte von Funktionen für x → xₒ – Testeinsetzung 10:09 min

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Transkript Grenzwerte von Funktionen für x → xₒ – Testeinsetzung

Hallo. Ich bin Guiliano. Und ich möchte dir heute zeigen, wie du mit Hilfe der Testeinsetzung die Grenzwerte von Funktionen für x gegen x0 berechnest. Als erstes werden wir uns ansehen, was ist überhaupt x0? Dann werden wir uns ein Beispiel ansehen, wo wir die Testeinsetzung einmal üben werden. Und als letztes schauen wir uns noch ein zweites Beispiel an, wo wir die Testeinsetzung üben. Kommen wir jetzt also konkret zu dem x0. Wir schauen uns das an einem konkreten Beispiel an. Und zwar nehmen wir die Funktion f(x) = (x² - 1)/(x - 2). Das x0 ist eine sogenannte Definitionslücke. Um die Definitionslücke angeben zu können, müssen wir erst mal den Definitionsbereich beziehungsweise die Definitionsmenge angeben. In diesem Falle ist das R{2}. Weil sonst der Nenner eben null wird. Das heißt, in dem Falle ist x0 = 2. Wir haben hier also eine Definitionslücke. Und wir wollen jetzt eben herausfinden, wie ist denn, wie verhält sich diese Funktion in dem Bereich dieser Definitionslücke? Und da existieren entweder Grenzwerte oder nicht. Und da gibt es eigentlich zwei Möglichkeiten. Und zwar haben wir einmal den sogenannten linksseitigen Grenzwert. Beziehungsweise linksseitigen Limes. Den schreibt man so: Limes x gegen x0. Das ist in diesem Falle 2. Und x < 2, das heißt, ich nähere mich mit den x Werten links, im Koordinatensystem gesehen, an diese Definitionslücke an. Oder ich nehme den sogenannten rechtsseitigen Limes. Der wird so geschrieben: x Limes x gegen 2. Und x > 2. Ja. Und hier kommen dann jeweils die Funktionen rein. Also Limes von f(x). Das kann man auch noch anders schreiben. Das möchte ich jetzt hier oben einmal ergänzen. Also hier machen wir uns ein Kreuz hin. Das möchte ich hier noch mal hinschreiben. Man kann auch, oder du findest das auch unter folgender Schreibweise. Also der linksseitige Limes wird auch mit einem Pfeil gekennzeichnet. Das bedeutet Limes x gegen zwei in dem Falle. Ja, oder wenn wir das hier allgemein sagen, x gegen x0. x < x0. Und dann x mit einem Pfeil zur 2. Beziehungsweise zum x0. Und dementsprechend beim rechtsseitigen Limes geht der Pfeil nicht von links unten nach rechts oben, sondern von links oben nach rechts unten. Da diese beiden Formen aber sehr ähnlich sind und an sich eigentlich schwierig zu unterscheiden, nehme ich diese Form, weil die schöner, beziehungsweise einfacher zu unterscheiden ist, als diese beiden hier. Weil hier ganz klar definiert, dass x < 2, also links an diese Definitionslücke und hier einmal rechts heran. Und jetzt, wie machen wir das jetzt? Wie kommen wir jetzt an diesen Grenzwert heran? Und zwar geht das durch Tabellen. Ja? Das heißt, wir machen eine Tabelle mit den x Werten, die kleiner als zwei sind. Aber ganz nah an 2 herangehen. Das siehst du jetzt einmal hier. Die erste Spalte enthält die x Werte und die zweite Spalte die Funktionswerte. Und jetzt gehen wir mit x immer näher an x0, beziehungsweise die 2 heran. Das heißt, wir beginnen zum Beispiel mit 1,5. Und gehen dann immer näher ran. Mit 1,9. 1,99. 1,999. Und so weiter. Und das setzen wir dann in diese Funktion ein. Und schauen uns an, was da eben herauskommt. In diesem Falle haben wir für diese Funktion (x² - 1)/(x - 2) für den linksseitigen Limes anhand dieser Tabelle kann man ablesen, dass die Funktionswerte, so, dass die Funktionswerte immer niedriger werden. Das bedeutet eben, das strebt gegen -∞. Das ist aber kein richtiger Grenzwert, weil es eben keine reelle Zahl ist. Sondern es-, deswegen schreibe ich das in Anführungsstrichen, es ist ein uneigentlicher Grenzwert. Im zweiten Falle machen wir jetzt das Gleiche. Das heißt, wir nähern uns mit unseren x Werten rechts an die 2 heran. Wir nehmen also etwas größere Werte als 2. Und werden immer feiner in der, ja, mit den x Werten. Das siehst du hier auch einmal daneben in einer Tabelle. Wenn wir jetzt also von rechts rangehen, fangen wir zwar schon mit 2,5 an. Und werden dann immer feiner. Bis zu 2,0001 oder andere kleinere Zahlen die näher an 2 sind. Wenn man das eingibt, ergeben das eben sehr große Zahlen. Bis, in Anführungsstrichen, zum Grenzwert ∞, das wieder kein echter Grenzwert ist, sondern ein uneigentlicher Grenzwert. Jetzt haben wir also gesehen, dass der linksseitige Grenzwert -∞ und der rechtsseitige +∞ ist. Und in so einem Fall nennt man diese Stelle x0 Polstelle. Ja. Also x0 = 2 ist Polstelle. Weil die Funktion an dieser Stelle in zwei komplett andere Richtungen geht. Ja? Und zwar in dem Falle ist das hier links gegen -∞. Und rechts gegen +∞. Ja? Das heißt, das sieht so aus. Andersrum ist das auch eine Polstelle. Dann sieht das aber so aus. Ja, das heißt, die Funktion geht links gegen +∞ und rechts gegen -∞. Das ist eigentlich egal. Aber so sind Polstellen halt quasi definiert. Dieses Verfahren wollen wir uns jetzt einmal schrittweise noch mal hier aufschreiben: Also, es geht um die Testeinsetzung. So. Testeinsetzung. Und zwar erstens haben wir die Funktion in dem Definitionsbereich, beziehungsweise Definitionsmenge, angegeben von der Funktion. Und dadurch x0 bestimmt. Das können auch mehrere Definitionslücken sein. Dann haben wir als Zweites die beiden Grenzwerte aufgestellt. Also einmal den linksseitigen Grenzwert, Limes x gegen x0. Für x < x0. Und Limes x gegen x0, x > x0. Den rechtsseitigen Limes. Dann haben wir im dritten Schritt die Tabelle erstellt, beziehungsweise Testeinsetzungen gemacht. Und als Viertes kann man dann eben gegebenenfalls den Grenzwert, den ich mit GW abkürze, angeben. In diesem Falle war es ja ein uneigentlicher Grenzwert. Im zweiten Beispiel gucken wir uns mal wirklich ein Grenzwertbeispiel an. Schauen wir uns jetzt ein weiteres Beispiel an. g(x) = (x² - 1)/(x + 1). Als erstes, wie es hier vorne auch steht, wollen wir den Definitionsbereich, beziehungsweise die Definitionsmenge bestimmen. Diese ist die Menge der reellen Zahlen. Bis auf -1. Weil, wenn ich minus eins einsetze, wird der Nenner Null. Das heißt eben, x0 = -1. Jetzt wollen wir also den linksseitigen Limes, Limes x gegen -1, x < -1 von g(x) berechnen. Dazu setzen wir wieder Werte, die links von -1 sind, in eine Tabelle ein. Die siehst du hier. Und was man da sehr schön sieht ist, diese Werte nähern sich folgendem Wert an und zwar -2. Das Gleiche machen wir auch für den rechtsseitigen Limes. Das heißt, Limes x gegen -1 für x > -1. Machen wir uns wieder eine Tabelle und gehen von rechts an die -1 ran. Das heißt zum Beispiel minus 0,999 wäre eine Zahl, die ganz nah an diesen Grenzwert heran rückt. Das heißt, wenn ich das in diese Funktion einsetze, sieht man auch anhand der Tabelle, dass der Grenzwert minus zwei zu vermuten ist. In diesem Falle haben wir eine sogenannte hebbare Definitionslücke. Ja, das heißt also viertens, wir haben einen Grenzwert gefunden für den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert, sogar denselben Grenzwert. Das heißt x0 = -1 ist eine sogenannte hebbare Definitionslücke. Ich kürze Definition mit Def. ab. Hebbare Definitionslücke. Jetzt möchte ich noch einmal mit dir wiederholen, was wir heute gelernt haben: Zu Beginn habe ich dir an einem Beispiel gezeigt, f(x), wie man mit Hilfe der Testeinsetzung den Grenzwert von einer Funktion für x gegen x0 berechnen kann. x0 ist dabei die sogenannten Definitionslücke. Das heißt, wir mussten im ersten Schritt erst mal den Definitionsbereich ermitteln. Und um x0 zu bestimmen. Dann haben wir den links- und rechtsseitigen Limes kennen gelernt. Und mit Hilfe der Tabelle, beziehungsweise Testeinsetzung haben wir geguckt, was denn wirklich der Grenzwert, der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert an der Stelle x0 ist. Und dann im vierten Falle gegebenenfalls angegeben. Im ersten Fall hatten wir für x = 0 eine Polstelle. Und im zweiten Fall eine hebbare Definitionslücke. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Tschüss und bis zum nächsten Mal. Dein Guiliano.

8 Kommentare
  1. danke

    Von Mergimi1, vor 7 Monaten
  2. Endlich mal ein richtig geiles Video auf Sofatutor!
    Bei dir schlafe ich NICHT fast ein und verstehe alles sehr gut :-)!

    Von Saphimal, vor 9 Monaten
  3. 7. Klasse sry

    Von Jeannette Peters1978, vor mehr als einem Jahr
  4. Bin erst 7 aber trotzdem verstanden :)
    ps: Vielen Danke! :d

    Von Jeannette Peters1978, vor mehr als einem Jahr
  5. Sehr schön erklärt! Endlich versteht man sowas mal als "normaler" Mensch. Vielen, vielen Dank! :)
    Großes Lob an Euch!

    Von Jan Ehlig, vor fast 3 Jahren
  1. @Elizabeth: Da hast du Recht ... die Tabellen im zweiten Beispiel müssen eigentlich vertauscht sein.

    Von Martin B., vor fast 4 Jahren
  2. sind beim 2. Beispiel die Tabellen vertauscht?

    Von Elizabeth, vor fast 4 Jahren
  3. super erklärt! dankeschön, jetzt hab ichs endlich verstanden

    Von Celineheffels, vor mehr als 4 Jahren
Mehr Kommentare

Grenzwerte von Funktionen für x → xₒ – Testeinsetzung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grenzwerte von Funktionen für x → xₒ – Testeinsetzung kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur Berechnung von Grenzwerten von Funktionen für $x\rightarrow x_0$.

    Tipps

    Eine Definitionslücke ist ein x-Wert, für den die Funktion nicht definiert ist.

    Das Teilen durch 0 ist nicht erlaubt. Also ist jede Nullstelle des Nenners eine Definitionslücke.

    Lösung

    Bei der Grenzwertbetrachtung $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ geht es um eine Stelle, an welcher die Funktion, deren Grenzwert betrachtet werden soll, nicht definiert ist. Hier liegt also eine Lücke im Definitionsbereich vor, eine Definitionslücke.

    Bei gebrochen rationalen Funktionen, wie zum Beispiel $f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}$, sind dies die Nennernullstellen.

    Wie verhält sich nun eine Funktion an einer solchen Stelle. Es gibt zwei Möglichkeiten:

    1. Es existiert ein endlicher Grenzwert. Dann ist die Definitionslücke hebbar.
    2. Es existiert kein endlicher Grenzwert. Dann liegt eine Polstelle vor. An dieser gehen die Funktionswerte gegen $\pm \infty$. Man spricht dann auch von uneigentlichen Grenzwerten.

  • Gib an, welche Schritte bei der Grenzwertbestimmung durch Testeinsetzung durchgeführt werden müssen.

    Tipps

    Welche Bedeutung hat das $x_0$ bei der Grenzwertbetrachtung $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$?

    Beim „Testeinsetzen“ wird eine Vermutungen über den Grenzwert angestellt.

    Was wird eingesetzt?

    Es gibt zwei Möglichkeiten bei der Grenzwertbetrachtung:

    1. Es existiert ein endlicher Grenzwert, dann stimmen der links- und der rechtsseitige Grenzwert überein. Die Definitionslücke ist hebbar.
    2. Es existiert kein endlicher Grenzwert. An der Definitionslücke liegt dann eine Polstelle vor.

    Lösung

    Bei der Grenzwertbetrachtung $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ geht es um Stellen, an welchen die Funktion, deren Grenzwert betrachtet werden soll, nicht definiert ist. Solche Stellen heißen Definitionslücken.

    Es gibt verschiedene Verfahren, wie ein Grenzwert an einer solcher Definitionslücke berechnet werden kann:

    • das Testeinsetzen,
    • die Termumformung und
    • die h-Methode.
    Hier lernst du das Testeinsetzen kennen. Eingesetzt werden darf die Definitionslücke nicht, da die Funktion an der entsprechenden Stelle nicht definiert ist.

    Beim Testeinsetzen werden zur Bestimmung des links- und rechtsseitigen Grenzwertes Wertetabellen angefertigt. Dabei wird $x$ so gewählt, dass dieses sich immer mehr von links bzw. und von rechts eben dieser Definitionslücke annähert. Das Verhalten der zugehörigen Funktionswerte wird dann untersucht. Stimmen der links- und der rechtsseitige Grenzwert überein, so hat die Funktion einen Grenzwert an der Definitionslücke. Diese ist dann hebbar. Andernfalls liegt eine Polstelle vor; das heißt die Funktionswerte gehen von links bzw. von rechts gegen $-\infty$ oder $+\infty$.

  • Nenne die Definitionslücken, die Art der Definitonslücke und gegenfalls die Grenzwerte.

    Tipps

    Wann sind die betrachteten Funktionen nicht definiert?

    Es handelt sich jeweils um gebrochene rationale Funktionen.

    Fertige jeweils eine Tabelle an und wähle die $x$-Werte immer näher an der Definitionslücke

    • von links, das heißt $x<x_0$, und
    • von rechts, das heißt $x>x_0$.
    Schaue dir die zugehörigen Funktionswerte an. Was kannst du erkennen?

    Bei einer hebbaren Definitionslücke ist der Grenzwert endlich.

    Beim Testeinsetzen wählst du $x$-Werte, die zum Beispiel gegen $-1$ gehen:

    • $x=-0,5$, $x=-0,75$, $x=-0,9$ ... um den Grenzwert von rechts gegen $-1$ zu untersuchen und
    • $x=-1,5$, $x=-1,25$, $x=-1,1$ ... um den Grenzwert von links gegen $-1$ zu untersuchen.

    Lösung

    Zunächst wird bei beiden Funktionen der Definitionsbereich bestimmt. Da beide Funktionen gebrochen rational sind, ist der Definitionsbereich gegeben als $\mathbb{R}$, ausgeschlossen der Nennernullstellen.

    Der Nenner der Funktion $f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}$ ist $x-2$. Die zugehörige Nullstelle ist $x_0=2$. Dies ist die gesuchte Definitionslücke. Setzt man diese Definitionslücke in den Zähler ein, so kann man erkennen, dass dieser $2^2-1=3\neq 0$ ist. Somit liegt auf jeden Fall eine Polstelle vor. An einer Polstelle können folgende Fälle auftreten:

    • Von links wie von rechts gehen die Funktionswerte gegen $\infty$,
    • von links wie von rechts gehen die Funktionswerte gegen $-\infty$,
    • von links gehen die Funktionswerte gegen $\infty$ und von rechts gegen $-\infty$ oder
    • von links gehen die Funktionswerte gegen $-\infty$ und von rechts gegen $\infty$.
    Da der Zählergrenzwert $3$ ist, interessiert nur das Vorzeichen des Nenners und man erhält:
    • $\lim\limits_{x\to x_0,~ x<x_0}=„-\infty“$ und
    • $\lim\limits_{x\to x_0,~ x>x_0}=„\infty“$.
    Diese Grenzwerte nennt man auch uneigentlich.

    Zu der Funktion $g(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$: Diese hat eine Definitionslücke bei $x_0=-1$. Da diese Definitionslücke im Zähler eingesetzt ebenfalls $(-1)^1-1=0$ ergibt, ist diese hebbar, das heißt, der links- und rechtsseitige Grenzwert stimmen überein. Diesen erhält man durch Einsetzen von $x$-Werten, welche sich an die Definitionslücke annähern. In diesem Fall zum Beispiel

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & -0,5 & -0,75 & -0,9 & -0,99 \\ \hline g(x) &-1,5 & -1,75 & -1,9&-1,99 \end{array}$

    sowie

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & -1,5 & -1,25 & -1,1 & -1,01 \\ \hline g(x) &-2,5 & -2,25 & -2,1&-2,01 \end{array} $

    Der Grenzwert ist also $-2$.

  • Untersuche das Grenzwertverhalten der Funktion an der Definitionslücke.

    Tipps

    Die Definitionslücke ist ein Stelle, an welcher die Funktion nicht definiert ist.

    Erstelle eine Tabelle für den linksseitigen und eine für den rechtsseitigen Grenzwert. Die beiden Grenzwerte müssen hier übereinstimmen.

    Lösung

    Da in dieser Funktion ein Wurzelterm vorkommt, ist der Definitionsbereich bereits eingeschränkt auf die positiven reellen Zahlen. Die gesuchte Definitionslücke liegt bei $x_0=4$, da hier der Nenner 0 wird.

    Es gilt $\sqrt 4 -2=0$. Also ist der Zähler an der Definitionslücke ebenfalls 0.

    Zur Berechnung des links- sowie des rechtsseitigen Grenzwertes kann man Tabellen anfertigen. Dort nähern wir uns immer weiter der Definitionslücke von links bzw. von rechts an:

    $\begin{array}{l|c|c|c} x & 3,9 &3,99&3,999 \\ \hline f(x) & 0,252 & 0,25&0,25 \\ \end{array}$

    sowie

    $\begin{array}{l|c|c|c} x & 4,1 &4,01&4,001 \\ \hline f(x) & 0,248 & 0,25&0,25 \\ \end{array}$

    Bei beiden Tabellen ist der links- sowie rechtsseitige Grenzwert 0,25 zu erkennen.

  • Untersuche die Funktionen auf Definitionslücken und Hebbarkeit.

    Tipps

    Die Definitionslücke ist jeweils eine Nennernullstelle.

    Setze diese in den Zähler ein. Was fällt dir auf?

    Wenn beim Testeinsetzen links- und rechtsseitige Grenzwerte herauskommen, die übereinstimmen, so ist die Definitionslücke hebbar. Andernfalls liegt eine Polstelle vor.

    Lösung

    Die Definitionslücke $x_0$ ist hier eine Nennernullstelle, denn Teilen durch Null ist nicht erlaubt. Ist $x_0$ auch Nullstelle des Zählers, so kann auch der Zähler entsprechend faktorisiert werden. Das heißt, der Term $x-x_0$ kann gekürzt werden. Die Definitionslücke kann also „behoben“ werden. Sie heißt in der Mathematik hebbar.

    $\mathbf{f(x)=\frac{x^2-4}{x-2},~x_0=2}$: Einsetzen der Nennernullstelle im Zähler führt zu $2^2-4=0$. Eine Tabelle mit $x$-Werten kleiner als 2 und größer als 2, die sich der 2 annähern, zeigt Funktionswerte, die den Grenzwert 4 haben.

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & 1,9 & 1,99 & 1,999 & 1,9999 \\ \hline f(x) &3,9 & 3,99 & 3,999&3,9999 \end{array}$

    sowie

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & 2,1 & 2,01 & 2,001 & 2,0001 \\ \hline f(x) &4,1 & 4,01 & 4,001&4,0001 \end{array}$

    $\mathbf{g(x)=\frac{x^2+4x+4}{x+2},~x_0=-2}$: Testeinsetzen liefert hier den Grenzwert 0. Das heißt, die Definitionslücke ist hebbar.

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & -2,1 & -2,01 & -2,001 & -2,0001 \\ \hline g(x) &-0,1 & -0,01 & -0,001&-0,0001 \end{array} $

    sowie

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & -1,9 & -1,99 & -1,999 & -1,9999 \\ \hline g(x) &0,1 & 0,01 & 0,001&0,0001 \end{array}$

    $\mathbf{h(x)=\frac{x^2-9}{x-2},~x_0=2}$. Der Zähler ist für $x_0=2:~2^2-9=-5$ also ungleich 0. Diese Definitionslücke ist eine Polstelle.

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & 1,9 & 1,99 & 1,999 & 1,9999 \\ \hline h(x) &53,9 & 503,99 & 5003,999&50003,9999 \end{array}$

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & 2,1 & 2,01 & 2,001 & 2,0001\\ \hline h(x) &-45,9 & -495,99 & -4995,999&-49995,9999 \end{array}$

    $\mathbf{k(x)=\frac{x^2-4x+4}{x+2},~x_0=-2}$. Der Zähler ist $(-2)^2-4\cdot (-2)+4=16\neq 0$. Also ist die Definitionslücke eine Polstelle.

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & -2,1 & -2,01 & -2,001 & -2,0001 \\ \hline k(x) &-168,1 & -1608,01,2 & -16008,001&-160008,0001 \end{array}$

    und

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & -1,9 & -1,99 & -1,999 & -1,9999 \\ \hline k(x) &152,1 & 1592,01 & 15992,001&159992,0001 \end{array}$

    $\mathbf{l(x)=\frac{x^2-9}{x+3},~x_0=-3}$. Der Zähler ist $(-3)^2-9=0$ an der Definitionslücke. Diese ist also hebbar und der Grenzwert ist -6.

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & -3,1 & -3,01 & -3,001 & -3,0001 \\ \hline l(x) &-6,1 & -6,01 & -6,001&-6,0001 \end{array} $

    sowie

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|l} x & -2,9 & -2,99 & -2,999 & -2,9999 \\ \hline l(x) &-5,9 & -5,99 & -5,999&-5,9999 \end{array}$

  • Ermittle die Grenzwerte der Funktionen an ihren Definitionslücken.

    Tipps

    Definitionslücken sind Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist.

    Erstelle zu den Funktionen Tabellen zur Bestimmung des links- sowie rechtsseitigen Grenzwertes.

    Lösung

    Um den Grenzwert durch Testeinsetzen zu erhalten, kann man zu jeder Funktion für den links- und rechtsseitigen Grenzwert eine Tabelle erstellen.

    Exemplarisch sei dies für die Funktion $f(x)=\frac{x^3-1}{x-1}$ hier vorgeführt. Definitionslücken sind Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Hier ist also $x_0=1$:

    $\begin{array}{l|c|c|c} x & 0,9 &0,99&0,999 \\ \hline f(x) & 2,71 & 2,97&2,997 \\ \end{array}$

    und

    $\begin{array}{l|c|c|c} x & 1,1 &1,01&1,001 \\ \hline f(x) & 3,31 & 3,03&3,003 \\ \end{array}$

    Der Grenzwert 3 kann aus diesen Tabellen abgelesen werden.

    Ebenso können die anderen Definitionslücken und Grenzwerte bestimmt werden:

    • Es ist $x_0=-3$ und $\lim\limits_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x+3}=-6$.
    • Es ist $x_0=-5$ und$\lim\limits_{x\to -5}\frac{x^2+10x+25}{x+5}=0$.
    • Es ist $x_0=-2$ und $\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^3+3x^2+x-2}{x+2}=1$.