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Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Beispiele

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Frank Steiger
Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Beispiele
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Beispiele

Hallo. In diesem Video zeige ich dir an zwei Beispielen, wie du eine Funktion mit zwei Veränderlichen im Raum darstellen kannst. Diese Funktion entspricht einer Fläche im Raum. Zu dieser Fläche gibt es noch verschiedene Ansichten oder Schnitte mit zu den Koordinatenebenen parallelen Ebenen. Bei festgehaltenen Variablen erhält man die Höhenlinien und bei fest gehaltenem Funktionswert die Isoquanten, die auch Höhenlinien sind. Vor allem im zweiten Beispiel, dem sogenannten hyperbolischen Paraboloid, sind diese Darstellungsformen interessant. Ich hoffe, dieses Video hilft dir weiter. Viel Spaß und bis zum nächsten Mal, dein Frank.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Hallo Andre. Hier noch eine Antwort:
    Ich nehme mal das Beispiel aus dem Video x^2-y^2.

    Sei zum Beispiel z=10, dann ist y^2=x^2-10 und y_1=-/(x^2-10) sowie y_2=- -/(x^2-10), natürlich mit der entsprechenden Einschränkung an x, damit die Wurzel definiert ist ('-/' steht auch hier für die Wurzel). Also muss x^2≥10 sein. Somit kann die entsprechende Hyperbel nicht durch den Koordinatenursprung gehen. Du kannst dir die Funktionen y_1 und y_2 von einem Programm zeichnen lassen, dann kannst du die Verläufe erkennen.
    Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen.

    Von Frank Steiger, vor etwa 6 Jahren
  2. Hallo Frank,

    hierzu habe ich auch eine Frage bei 4:13, wenn ich jetzt das Höhenliniendiagramm zeichnen muss nur anhand der Funktion, woher weiß ich den wo ich die Hyperbeln einzeichnen muss? Weil es besteht doch kein Vorfaktor müssten sie dann nicht durch den Koordinatenursprung gehen?

    Von Andre H 87, vor etwa 6 Jahren

Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche der Darstellungen Höhenlinien oder Isoquanten der Funktion $f(x;y)=|x|+|y|$ sind.

    Tipps

    Höhenlinien, bei denen $x=x_0$ konstant ist, entsprechen einem Schnitt parallel zu der y-z-Ebene und bei $y=y_0$ einem Schnitt parallel zur x-z-Ebene.

    Isoquanten entsprechen

    • dem Blick auf die Fläche im Raum von oben oder
    • einem Schnitt parallel zur x-y-Ebene.

    Wenn $x=x_0$ konstant ist, dann ist

    $h(y)=f(x_0;y)=|x_0|+|y|$

    eine Betragsfunktion in $y$.

    Isoquante sind spezielle Höhenlinien.

    Lösung

    Wenn man die Höhenlinien für $x=x_0$ oder $y=y_0$ betrachtet, kann man sich dies als Schnitt durch die Fläche im Raum parallel zur xz- oder yz-Koordinatenebene vorstellen:

    • Sei $x=x_0$ konstant, dann entsteht eine Betragsfunktion im y-z-Koordinatensystem und
    • für $y=y_0$ konstant entsteht eine Betragsfunktion im x-z-Koordinatensystem.
    Die Isoquanten sind Schnitte durch die Fläche im Raum parallel zur x-y-Koordinatenebene. Die Isoquanten sind Quadrate.

  • Beschreibe die Höhenlinien der Funktion $f(x;y)=x^2-y^2$.

    Tipps

    Wenn man $y=y_0$ konstant wählt, bedeutet dies, dass man einen Schnitt parallel zur x-z-Koordinatenebene durchführt.

    Hält man nun $x=x_0$ konstant, bedeutet dies, dass man einen Schnitt parallel zur y-z-Koordinatenebene durchführt.

    Der Graph einer Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ ist eine Parabel:

    • Für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet und
    • für $a<0$ nach unten.
    Lösung

    Wenn man bei der Funktion $f(x;y)=x^2-y^2$ eine der beiden Variablen konstant wählt, erhält man die entsprechenden Höhenlinien.

    Wenn man $y=y_0$ konstant wählt, bedeutet dies, dass man einen Schnitt parallel zur x-z-Koordinatenebene durchführt.

    Bei dem abgebildeten hyperbolischen Paraboloid erhält man so eine nach oben geöffnete Normalparabel.

    Hält man nun $x=x_0$ konstant, bedeutet dies, dass man einen Schnitt parallel zur y-z-Koordinatenebene durchführt.

    Bei dem abgebildeten hyperbolischen Paraboloid erhält man so eine nach unten geöffnete Normalparabel.

  • Entscheide, welche der Darstellungen Isoquanten der Funktion $f(x;y)=x-y$ zeigen.

    Tipps

    Der Funktionswert der Funktion $f(x;y)$ ist die z-Koordinate.

    Die Isoquanten können als Schnitt durch das Paraboloid parallel zur x-y-Ebene verstanden werden.

    Alle geordneten Paare $(x|y)$, die die Gleichung

    $z_0=x-y$

    lösen, bilden Isoquante.

    Zum Beispiel erhältst du für $z_0=0$ die Gleichung $0=x-y$, welche äquivalent ist zu $y=x$.

    Lösung

    Wenn man bei der Gleichung $f(x;y)=x-y$ den Funktionswert $z=z_0$ konstant wählt, erhält man die Isoquanten:

    $z_0=x-y$.

    Addition von $y$ und Subtraktion von $z_0$ führen zu

    $y=x+z_0$.

    Der Graph zu dieser linearen Gleichung ist eine Gerade mit der Steigung $m=1$ und dem y-Achsenabschnitt $z_0$.

    Das bedeutet: Alle Isoquanten sind Geraden, welche parallel zu der Geraden mit $y=x$ verlaufen. Die Gleichung $y=x$ erhält man für $z=0$.

  • Beschreibe die Höhenlinien der Funktion.

    Tipps

    Setze jeweils den bekannten (konstanten) Wert in der Funktionsgleichung ein.

    Der Scheitelpunkt der Funktion

    $f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$

    ist gegeben durch $S(x_s|y_s)$.

    Alle Parabeln werden ausschließlich entlang der z-Achse verschoben.

    Lösung

    Je nachdem, welche Veränderliche konstant gewählt wird, erhält man entweder nach oben oder nach unten geöffnete Normalparabeln.

    Für $x=x_0$ konstant erhält man immer eine nach unten geöffnete Normalparabel: $z=x_0^2-y^2$. Diese Normalparabel ist um $x_0^2$ Einheiten entlang der z-Achse nach oben verschoben. Die y-Koordinate des Scheitelpunktes ist immer $y=0$.

    • Für $x=0$ liegt der Scheitelpunkt in $y=0$ und $z=0$.
    • Für $x=4$ liegt der Scheitelpunkt in $y=0$ und $z=16$.
    Für $y=y_0$ konstant erhält man immer eine nach oben geöffnete Normalparabel: $z=x^2-y_0^2$. Diese Normalparabel ist um $y_0^2$ Einheiten entlang der z-Achse nach unten verschoben. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist immer $x=0$.

    • Für $y=2$ liegt der Scheitelpunkt in $x=0$ und $z=-4$.
    • Für $y=-2$ liegt der Scheitelpunkt in $x=0$ und $z=-4$.
  • Beschreibe, was Isoquanten sind.

    Tipps

    Isoquanten entsprechen einer Sicht von oben auf die Fläche im Raum.

    Du kannst dir Isoquanten auch so vorstellen: Sie sind ein Schnitt durch die Fläche im Raum parallel zur x-y-Ebene.

    Eine Ebene, die zur x-y-Ebene parallel ist, hat eine feste z-Koordinate.

    Lösung

    Auch die Isoquanten sind Höhenlinien.

    Bei den Isoquanten wird weder $x$ noch $y$ konstant gehalten, sondern der Funktionswert $z=z_0$.

    Anschaulich bedeutet dies, dass man von oben auf den Funktionsgraphen schaut.

    Die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=|x|+|y|$ sind Quadrate, deren gemeinsamer Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Dies ist das Paraboloid zu der Funktion $f(x;y)=x^2+2x+1+y^2=(x+1)^2+y^2$.

    Die Isoquanten dieser Funktion sind Kreise mit dem gemeinsamen Mittelpunkt $M(-1|0)$.

    Schaue dir die Funktion $f(x;y)=x^2+y^2$ an mit festem $z_0=4$.

    Dies führt zu der Gleichung $x^2+y^2=4$ oder, äquivalent dazu,

    $\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=2$.

    Dies ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M(0|0)$ und dem Radius $r=2$.

    Du kannst dir die Isoquanten so vorstellen: Du machst einen Schnitt durch diesen Graphen parallel zur x-y-Ebene.

    Lösung

    Die Isoquanten sind diejenigen Kombinationen von $x$ und $y$, für die $f(x;y)=z_0$ gilt. Diese Gleichung kann nach $x$ oder nach $y$ umgeformt werden. Der Graph dieser umgeformten Gleichung wird Isoquant genannt.

    Die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=|x|+|y|$ sind Quadrate. Alle diese Quadrate haben einen gemeinsamen Mittelpunkt, den Koordinatenursprung.

    Die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=|x-1|+|y+2|$ sind ebenfalls Quadrate. Auch diese Quadrate haben einen gemeinsamen Mittelpunkt. Dieser ist um eine Einheit in positiver x-Richtung sowie um zwei Einheiten in negativer y-Richtung verschoben: $M(1|-2)$.

    Die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=x^2+y^2$ sind Kreise. Auch diese haben einen gemeinsamen Mittelpunkt, den Koordinatenursprung $O(0|0)$.

    Die Isoquanten der Fuktion $f(x;y)=x^2+y^2-4y+4=x^2+(y-2)^2$ sind ebenfalls Kreise. Deren gemeinsamer Mittelpunkt ist $M(0|2)$.

    Der Mittelpunkt lässt sich in der Regel leicht bestimmen. Bei quadrierten Termen muss der quadrierte Term $0$ sein, bei Betragsstrichen muss innerhalb der Betragsstriche $0$ stehen.

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