Gegenseitige Lage Punkt-Ebene

Gegenseitige Lage Punkt-Ebene Übung

• Gib die Koordinatengleichung der Ebene $E_{ABC}$ an.

  Tipps

  Eine Parametergleichung heißt so, weil in ihr Parameter verwendet werden.

  In der Normalengleichung ist das Skalarprodukt eines Verbindungsvektors mit dem Normalenvektor $0$.

  In die Koordinatengleichung kann ein Punkt koordinatenweise eingegeben werden.

  Lösung

  Gegeben sind die drei Punkte $A(4|3|0)$, $B(5|5|-1)$ und $C(2|2|3)$. Diese liegen in einer Ebene.

  Zunächst kann man die Ebene in einer Parametergleichung aufstellen: Der Ortsvektor von einem der drei Punkte ist der Stützvektor und die Verbindungsvektoren sind von diesem Punkt ausgehend zu den beiden übrigen Punkten die Richtungsvektoren:

  \begin{align*} E_{ABC}:\vec x& =\vec a+r\vec{AB}+s\vec{AC} \\ &=\begin{pmatrix}4 \\3 \\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1 \\2 \\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2 \\-1 \\3\end{pmatrix} \end{align*}

  Nun wird das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren gebildet, um den Normalenvektor $\vec n$ zu erhalten, welcher senkrecht auf der Ebene steht:

  $\begin{pmatrix}1 \\2 \\-1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\-1 \\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \cdot 3-(-1)\cdot (-1)\\-1 \cdot (-2)-1\cdot3\\1\cdot(-1)-2\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1 \\3\end{pmatrix}$

  Also lautet die Normalengleichung:

  $E_{ABC}:\left(\vec x-\begin{pmatrix}4 \\3 \\0\end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}5\\-1 \\3\end{pmatrix}=0$

  Wenn man diese ausmultipliziert, erhält man:

  $E_{ABC}:5x-y+3z=17$,

  die Koordinatengleichung. Dabei ist

  $17=\begin{pmatrix}4 \\3 \\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\-1 \\3\end{pmatrix}$.

• Bestimme, welcher der beiden Punkte in der Ebene liegt und welcher nicht.

  Tipps

  Setze die Koordinaten des jeweiligen Punktes in die Koordinatengleichung ein.

  Ist die Koordinatengleichung erfüllt, liegt der Punkte auf der Ebene, ansonsten nicht.

  Lösung

  Die Ebene ist als Koordinatengleichung gegeben:

  $E_{ABC}=5x-y+3z=17$.

  Um zu überprüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, wird die $x$-Koordinate des Punktes für $x$ eingesetzt, die $y$-Koordinate für $y$ und die $z$-Koordinate für $z$.

  Dies wird nun für die beiden Punkte $P(1|0|4)$ und $Q(-1|-5|5)$ gemacht:

  Für Punkt $P$ gilt:

  $5\cdot 1-0+3\cdot 4=5+12=17$.

  Das bedeutet, dass die Koordinatengleichung erfüllt ist. Somit liegt $P$ in der Ebene.

  Für Punkt $Q$ gilt:

  $5\cdot (-1)-(-5)+3\cdot 5=-5+5+15=15 \neq 17$.

  Das bedeutet, dass die Koordinatengleichung nicht erfüllt ist. Somit liegt $Q$ nicht in der Ebene.

• Untersuche, welche der angegebenen Punkte in der Ebene liegen.

  Tipps

  Setze jeden der Punkte koordinatenweise in die Koordinatengleichung ein.

  Wenn die Koordinatengleichung erfüllt ist, liegt der Punkt in der Ebene, ansonsten nicht.

  Drei der fünf Punkte liegen in der Ebene.

  Lösung

  Wenn eine Ebene in der Koordinatengleichung gegeben ist, so kann ein Punkt koordinatenweise in diese Gleichung eingesetzt werden. Wenn die Koordinatengleichung erfüllt ist, liegt der Punkt in der Ebene, ansonsten nicht.

  Die Ebene ist in der Koordinatengleichung $E:2x+y-2z=9$ gegeben.

  $P(2|9|2)$: $2\cdot 2+9-2\cdot 2=4+9-4=9$. $P$ liegt in $E$.

  $Q(1|1|-3)$: $2\cdot 1+1-2\cdot (-3)=2+1+6=9$. $Q$ liegt in $E$.

  $R(2|1|-2)$: $2\cdot 2+1-2\cdot (-2)=4+1+4=9$. $R$ liegt in $E$.

  $S(1|1|7)$: $2\cdot 1+1-2\cdot 7=2+1-14=-11$. $S$ liegt nicht in $E$.

  $T(1|4|4)$: $2\cdot 1+4-2\cdot 4=2+4-8=-2$. $T$ liegt nicht in $E$.

• Prüfe, für welchen Parameter $a$ ein Punkt der Punkteschar $P_a(a|a|-2)$ auf der Ebene liegt.

  Tipps

  Wie überprüfst du, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, welche als Koordinatengleichung gegeben ist?

  Wenn die Koordinatengleichung nach Einsetzen eines Punktes erfüllt ist, so liegt der Punkt in der Ebene, ansonsten nicht.

  Da jeder Punkt der Punkteschar von $a$ abhängt, wird das Einsetzen zu einer Gleichung in $a$ führen.

  Lösung

  Gegeben ist die Ebene in der Koordinatenform $E:-3x+2y-z=4$ sowie die Punkteschar $P_a(a|a|-2)$. Um zu prüfen, ob und wenn ja, für welches $a$ einer der Punkte auf der Ebene liegt,

  • wird zunächst der Punkt koordinatenweise in die Koordinatengleichung eingesetzt.
  • Man erhält eine lineare Gleichung in $a$, welche nach $a$ aufgelöst wird.

  Es gilt:

  $-3a+2a-(-2)=4~\Leftrightarrow~-a+2=4$. Diese Gleichung kann nach $a$ umgeformt werden:

  \begin{align*} -a+2&=4&|&+a\\ 2&=4+a&|&-4\\ -2&=a. \end{align*}

  Das bedeutet für $a=-2$ liegt ein Punkt der Punkteschar $P_a$ auf der Ebene, dieser ist $P_{-2}(-2|-2|-2)$.

• Nenne das allgemeine Vorgehen zur Überprüfung, ob ein Punkt in einer Ebene liegt oder nicht.

  Tipps

  Die Parametergleichung einer Ebene lautet:

  $E:\vec x=\vec a+r\vec u+s\vec v$.

  Dabei ist

  • $\vec a$ der Stützvektor der Ebene, der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene und
  • $\vec u$ sowie $\vec v$ sind die Richtungsvektoren der Ebene.

  Die Normalengleichung einer Ebene lautet:

  $E:\left(\vec x-\vec a\right)\vec n=0$.

  Dabei ist

  • $\vec a$ der Stützvektor der Ebene, der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene und
  • $\vec n$ der Normalenvektor der Ebene. Dieser steht senkrecht auf der Ebene.

  Die Koordinatengleichung einer Ebene lautet:

  $E:n_1x+n_2y+n_3z=d$.

  Dabei ist

  $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ der Normalenvektor der Ebene und $d=\vec a \cdot \vec n$.

  Lösung

  Die Parametergleichung einer Ebene lautet:

  $E:\vec x=\vec a+r\vec u+s\vec v$.

  Dabei ist

  • $\vec a$ der Stützvektor der Ebene, der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene und
  • $\vec u$ sowie $\vec v$ sind die Richtungsvektoren der Ebene.

  Durch das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren erhält man einen Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht, den Normalenvektor $\vec n$. Somit ist die Normalengleichung einer Ebene gegeben durch:

  $E:\left(\vec x-\vec a\right)\vec n=0$.

  Die Koordinatengleichung einer Ebene lässt sich durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung herleiten.

  Wird nun die Lage eines Punktes zu einer Ebene untersucht, so kann jede dieser Darstellungen gewählt werden:

  • Der Ortsvektor des Punktes $P$ wird für $\vec x$ in der Parametergleichung eingesetzt. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem, welches recht aufwändig zu lösen ist.
  • Der Ortsvektor des Punktes $P$ kann auch für $\vec x$ in der Normalengleichung eingesetzt werden. Dann wird diese ausmultipliziert.
  • Am schnellsten erfolgt die Überprüfung mit der Koordinatengleichung. Hier werden die Koordinaten des Punktes für $x$, $y$ und $z$ eingesetzt. Ist die Gleichung erfüllt, liegt der Punkt in der Ebene, ansonsten nicht.

• Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene.

  Tipps

  Die Gerade ist als Parametergleichung angegeben. Du kannst jeden beliebigen Punkt, oder den Ortsvektor dieses Punktes, koordinatenweise schreiben.

  Die $x$-Koordinate des Ortsvektors eines beliebigen Punktes lautet $x=4+r$.

  Setze die entsprechenden Koordinaten des Ortsvektors in die Koordinatengleichung ein. Du erhältst eine lineare Gleichung in $r$.

  Die Koordinaten des Schnittpunktes sind alle ganzzahlig.

  Lösung

  Zunächst kann man die Gerade auch wie folgt schreiben:

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}4 \\3 \\1\end{pmatrix}+r \begin{pmatrix}1\\-1 \\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4+r \\ 3-r\\ 1-2r \end{pmatrix}$.

  Nun kann jede dieser Koordinaten in der Ebenengleichung eingesetzt werden:

  \begin{align*} 3(4+r)-2(3-r)+(1-2r)&=4\\ 12+3r-6+2r+1-2r&=4\\ 7+3r&=4&|&-7\\ 3r&=-3&|&:3\\ r&=-1. \end{align*}

  Dieses $r$ wird in der Geradengleichung eingesetzt und man erhält somit den gesuchten Schnittpunkt $S(3|4|3)$.