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Gegenseitige Lage Punkt-Ebene 06:21 min

Textversion des Videos

Transkript Gegenseitige Lage Punkt-Ebene

Hallo. Ich bin Giuliano und ich möchte mit Dir zusammen heute untersuchen, wie ein Punkt zu einer Ebene liegen kann. Wir wollen folgende Aufgabe lösen: Die Punkte A, B und C liegen in der Ebene EABC. Die Punkte haben die folgenden Koordinaten: A(4I3I0), B(5I5I-1) und C(2I2I3). Und wir wollen jetzt untersuchen, ob die Punkte P und Q in dieser Ebene liegen. Die Punkte P und Q haben die Koordinaten P(1I0I4) und Q(-1I-5I5). Es gibt generell natürlich nur zwei Möglichkeiten, wie ein Punkt zu einer Ebene liegen kann. Das siehst Du hier einmal in der Grafik. Entweder der Punkt ist in der Ebene oder er ist eben nicht in der Ebene. Und wir wollen jetzt erst einmal an diesem Beispiel erklären, wie man diese Aufgabe lösen kann. Zuerst brauchen wir natürlich die Ebenengleichung. Und es gibt generell drei Stück: Die Parametergleichung, die Normalengleichung und die Koordinatengleichung. Und ich werde jetzt erst einmal alle drei aufstellen. Wir beginnen mit der Parametergleichung. Also wir haben die Ebene EABC und ich nehme als Parametergleichung folgende: Als Stützvektor wähle ich den Ortsvektor von A, also (4, 3, 0) plus t mal den Verbindungsvektor zwischen A und B, also 5-4=1, 5-3=2, -1-0=-1 plus s mal den Verbindungsvektor von A und C. Das heißt 2-4=-2, 2-3=-1 und 3-0=3. Jetzt möchte ich diese Parametergleichung gern in eine Normalengleichung überführen, das heißt, ich werde jetzt erst einmal den Normalenektor brauchen. Und den bilde ich, indem ich das Vektorprodukt zwischen den beiden Spannvektoren ausrechne. Das mache ich jetzt hier einmal nicht vor, sondern ich gebe Euch nur das Ergebnis vor und Ihr könnt das zu Hause einmal nachrechnen. Wenn ich also das Vektorprodukt zwischen den beiden bilde, erhalte ich den Normalvektor (5, -1, 3). Jetzt kann ich die Normalengleichung der Ebene aufstellen. Die sieht dann so aus: EABC: Vektor(x) minus einen beliebigen Stützvektor der Geraden, beziehungsweise des beliebigen Punkt der Ebene. Das heißt, ich nehme jetzt hier einfach (4, 3, 0). Im Skalarprodukt mit dem Normalenvektor (5, -1, 3) ist gleich 0. Wenn ich das Ganze auflöse, erhalte ich schließlich auch die Koordinatengleichung, die dann wie folgt lautet: Wenn ich Vektor(x) x, y oder z als Koordinaten nehme, Ihr könnt alternativ auch x1, x2 und x3 wählen, erhalte ich 5x - y + 3z = 17. Die 17 erhalte ich, indem ich das Skalarprodukt zwischen (4, 3, 0) und (5, -1, 3) bilde. 5×4 = 20, -3 ist dann 17, +0 ist dann -17 auf der linken Seite, wenn ich das rüberhole, erhalte ich +17. Und jetzt wollen wir eben die Frage beantworten, ob die Punkte P und Q in dieser Ebene hier liegen. Ich schreibe die Punkte nochmal hier ab, mit den Koordinaten P(1I0I4) und den Punkt mit den Koordinaten Q(-1I-5I5). So. Und wenn ich das Ganze jetzt hier in der Parametergleichung überprüfen möchte, dauert das sehr lange, ja. Weil ich hier ein lineares Gleichungssystem nach t und s lösen möchte. Das dauert mir aber jetzt viel zu lange. Das möchte ich gar nicht machen. Ich kann das Ganze vereinfachen, indem ich sozusagen die Stützvektoren der Punkte hier einsetze und hier die Skalarprodukte ausrechne. Das dauert mir aber auch zu lange. Ja, also hier könnte man einsetzen und die Skalarprodukte benutzen. Aber die allerschnellste Methode, um herauszufinden, ob ein Punkt in der Ebene liegt, geht eben über die Koordinatengleichung. Das heißt, ich kann hier ja einfach die Koordinaten einsetzen, x, y und z. Und erhalte hier eine Gleichung. Wenn sie stimmt, ist der Punkt in der Ebene, wenn sie nicht stimmt, ist der Punkt nicht in der Ebene. Also ganz einfach. Das wollen wir jetzt einmal vorführen für die beiden Punkte. Das heißt, hier erhalten wir 5×1, wenn ich die Koordinaten vom Punkt P einsetze, -0, ich mach da einen Strich hin, so, +3×4. Und 5+12 ist offensichtlich 17. Das heißt, hier erhalte ich eine wahre Aussage: Das heißt, der Punkt P liegt in der Ebene EABC. Das Gleiche kann ich jetzt natürlich auch für den Punkt Q machen und gucken, ob dieser Punkt Q auch in dieser Ebene ist. Also 5×(-1)-(-5)+3×5. -5-(-5) ist +5 ist 0, +15=15 und das ist offensichtlich nicht gleich 17. Und dadurch haben wir jetzt herausgefunden, dass der Punkt P in der Ebene liegt und der Punkt Q eben nicht. Das können wir hier mal in dem Schaubild sehen. Der Punkt P ist in der Ebene und der Punkt Q ist eben nicht in der Ebene. Jetzt möchte ich noch einmal zusammenfassen, wie Du vorgehst: Du berechnest zuerst, falls es nicht vorgegeben ist, die Koordinatengleichung einer Ebene, indem Du erst den Normalenvektor bestimmst und dann die Normalengleichung umformst. Und dann setzt Du ganz einfach die Koordinaten der Punkte in diese Koordinatengleichung und guckst, ob sie stimmt. Wenn sie stimmt, ist der Punkt in der Ebene, wenn sie nicht stimmt, diese Gleichung, dann ist der Punkt eben nicht in der Ebene. Ich hoffe, dass Du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal. Dein Giuliano.

1 Kommentar
  1. echt klasse gemacht, danke

    Von Tara Hmaria, vor fast 5 Jahren

Gegenseitige Lage Punkt-Ebene Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gegenseitige Lage Punkt-Ebene kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne das allgemeine Vorgehen zur Überprüfung, ob ein Punkt in einer Ebene liegt oder nicht.

    Tipps

    Die Parametergleichung einer Ebene lautet:

    $E:\vec x=\vec a+r\vec u+s\vec v$.

    Dabei ist

    • $\vec a$ der Stützvektor der Ebene, der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene und
    • $\vec u$ sowie $\vec v$ sind die Richtungsvektoren der Ebene.

    Die Normalengleichung einer Ebene lautet:

    $E:\left(\vec x-\vec a\right)\vec n=0$.

    Dabei ist

    • $\vec a$ der Stützvektor der Ebene, der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene und
    • $\vec n$ der Normalenvektor der Ebene. Dieser steht senkrecht auf der Ebene.

    Die Koordinatengleichung einer Ebene lautet:

    $E:n_1x+n_2y+n_3z=d$.

    Dabei ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ der Normalenvektor der Ebene und $d=\vec a \cdot \vec n$.

    Lösung

    Die Parametergleichung einer Ebene lautet:

    $E:\vec x=\vec a+r\vec u+s\vec v$.

    Dabei ist

    • $\vec a$ der Stützvektor der Ebene, der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene und
    • $\vec u$ sowie $\vec v$ sind die Richtungsvektoren der Ebene.
    Durch das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren erhält man einen Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht, den Normalenvektor $\vec n$. Somit ist die Normalengleichung einer Ebene gegeben durch:

    $E:\left(\vec x-\vec a\right)\vec n=0$.

    Die Koordinatengleichung einer Ebene lässt sich durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung herleiten.

    Wird nun die Lage eines Punktes zu einer Ebene untersucht, so kann jede dieser Darstellungen gewählt werden:

    • Der Ortsvektor des Punktes $P$ wird für $\vec x$ in der Parametergleichung eingesetzt. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem, welches recht aufwändig zu lösen ist.
    • Der Ortsvektor des Punktes $P$ kann auch für $\vec x$ in der Normalengleichung eingesetzt werden. Dann wird diese ausmultipliziert.
    • Am schnellsten erfolgt die Überprüfung mit der Koordinatengleichung. Hier werden die Koordinaten des Punktes für $x$, $y$ und $z$ eingesetzt. Ist die Gleichung erfüllt, liegt der Punkt in der Ebene, ansonsten nicht.

  • Gib die Koordinatengleichung der Ebene $E_{ABC}$ an.

    Tipps

    Eine Parametergleichung heißt so, weil in ihr Parameter verwendet werden.

    In der Normalengleichung ist das Skalarprodukt eines Verbindungsvektors mit dem Normalenvektor $0$.

    In die Koordinatengleichung kann ein Punkt koordinatenweise eingegeben werden.

    Lösung

    Gegeben sind die drei Punkte $A(4|3|0)$, $B(5|5|-1)$ und $C(2|2|3)$. Diese liegen in einer Ebene.

    Zunächst kann man die Ebene in einer Parametergleichung aufstellen: Der Ortsvektor von einem der drei Punkte ist der Stützvektor und die Verbindungsvektoren sind von diesem Punkt ausgehend zu den beiden übrigen Punkten die Richtungsvektoren:

    $\begin{align*} E_{ABC}:\vec x& =\vec a+r\vec{AB}+s\vec{AC} \\ &=\begin{pmatrix}4 \\3 \\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1 \\2 \\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2 \\-1 \\3\end{pmatrix} \end{align*}$

    Nun wird das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren gebildet, um den Normalenvektor $\vec n$ zu erhalten, welcher senkrecht auf der Ebene steht:

    $\begin{pmatrix}1 \\2 \\-1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\-1 \\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \cdot 3-(-1)\cdot (-1)\\-1 \cdot (-2)-1\cdot3\\1\cdot(-1)-2\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1 \\3\end{pmatrix}$

    Also lautet die Normalengleichung:

    $E_{ABC}:\left(\vec x-\begin{pmatrix}4 \\3 \\0\end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}5\\-1 \\3\end{pmatrix}=0$

    Wenn man diese ausmultipliziert, erhält man:

    $E_{ABC}:5x-y+3z=17$,

    die Koordinatengleichung. Dabei ist

    $17=\begin{pmatrix}4 \\3 \\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\-1 \\3\end{pmatrix}$.

  • Bestimme, welcher der beiden Punkte in der Ebene liegt und welcher nicht.

    Tipps

    Setze die Koordinaten des jeweiligen Punktes in die Koordinatengleichung ein.

    Ist die Koordinatengleichung erfüllt, liegt der Punkte auf der Ebene, ansonsten nicht.

    Lösung

    Die Ebene ist als Koordinatengleichung gegeben:

    $E_{ABC}=5x-y+3z=17$.

    Um zu überprüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, wird die $x$-Koordinate des Punktes für $x$ eingesetzt, die $y$-Koordinate für $y$ und die $z$-Koordinate für $z$.

    Dies wird nun für die beiden Punkte $P(1|0|4)$ und $Q(-1|-5|5)$ gemacht:

    Für Punkt $P$ gilt:

    $5\cdot 1-0+3\cdot 4=5+12=17$.

    Das bedeutet, dass die Koordinatengleichung erfüllt ist. Somit liegt $P$ in der Ebene.

    Für Punkt $Q$ gilt:

    $5\cdot (-1)-(-5)+3\cdot 5=-5+5+15=15 \neq 17$.

    Das bedeutet, dass die Koordinatengleichung nicht erfüllt ist. Somit liegt $Q$ nicht in der Ebene.

  • Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene.

    Tipps

    Die Gerade ist als Parametergleichung angegeben. Du kannst jeden beliebigen Punkt, oder den Ortsvektor dieses Punktes, koordinatenweise schreiben.

    Die $x$-Koordinate des Ortsvektors eines beliebigen Punktes lautet $x=4+r$.

    Setze die entsprechenden Koordinaten des Ortsvektors in die Koordinatengleichung ein. Du erhältst eine lineare Gleichung in $r$.

    Die Koordinaten des Schnittpunktes sind alle ganzzahlig.

    Lösung

    Zunächst kann man die Gerade auch wie folgt schreiben:

    $g:\vec x=\begin{pmatrix}4 \\3 \\1\end{pmatrix}+r \begin{pmatrix}1\\-1 \\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4+r \\ 3-r\\ 1-2r \end{pmatrix} $.

    Nun kann jede dieser Koordinaten in der Ebenengleichung eingesetzt werden:

    $\begin{align*} 3(4+r)-2(3-r)+(1-2r)&=4\\ 12+3r-6+2r+1-2r&=4\\ 7+3r&=4&|&-7\\ 3r&=-3&|&:3\\ r&=-1. \end{align*}$

    Dieses $r$ wird in der Geradengleichung eingesetzt und man erhält somit den gesuchten Schnittpunkt $S(3|4|3)$.

  • Untersuche, welche der angegebenen Punkte in der Ebene liegen.

    Tipps

    Setze jeden der Punkte koordinatenweise in die Koordinatengleichung ein.

    Wenn die Koordinatengleichung erfüllt ist, liegt der Punkt in der Ebene, ansonsten nicht.

    Drei der fünf Punkte liegen in der Ebene.

    Lösung

    Wenn eine Ebene in der Koordinatengleichung gegeben ist, so kann ein Punkt koordinatenweise in diese Gleichung eingesetzt werden. Wenn die Koordinatengleichung erfüllt ist, liegt der Punkt in der Ebene, ansonsten nicht.

    Die Ebene ist in der Koordinatengleichung $E:2x+y-2z=9$ gegeben.

    $P(2|9|2)$: $2\cdot 2+9-2\cdot 2=4+9-4=9$. $P$ liegt in $E$.

    $Q(1|1|-3)$: $2\cdot 1+1-2\cdot (-3)=2+1+6=9$. $Q$ liegt in $E$.

    $R(2|1|-2)$: $2\cdot 2+1-2\cdot (-2)=4+1+4=9$. $R$ liegt in $E$.

    $S(1|1|7)$: $2\cdot 1+1-2\cdot 7=2+1-14=-11$. $S$ liegt nicht in $E$.

    $T(1|4|4)$: $2\cdot 1+4-2\cdot 4=2+4-8=-2$. $T$ liegt nicht in $E$.

  • Prüfe, für welchen Parameter $a$ ein Punkt der Punkteschar $P_a(a|a|-2)$ auf der Ebene liegt.

    Tipps

    Wie überprüfst du, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, welche als Koordinatengleichung gegeben ist?

    Wenn die Koordinatengleichung nach Einsetzen eines Punktes erfüllt ist, so liegt der Punkt in der Ebene, ansonsten nicht.

    Da jeder Punkt der Punkteschar von $a$ abhängt, wird das Einsetzen zu einer Gleichung in $a$ führen.

    Lösung

    Gegeben ist die Ebene in der Koordinatenform $E:-3x+2y-z=4$ sowie die Punkteschar $P_a(a|a|-2)$. Um zu prüfen, ob und wenn ja, für welches $a$ einer der Punkte auf der Ebene liegt,

    • wird zunächst der Punkt koordinatenweise in die Koordinatengleichung eingesetzt.
    • Man erhält eine lineare Gleichung in $a$, welche nach $a$ aufgelöst wird.
    Es gilt:

    $-3a+2a-(-2)=4~\Leftrightarrow~-a+2=4$. Diese Gleichung kann nach $a$ umgeformt werden:

    $\begin{align*} -a+2&=4&|&+a\\ 2&=4+a&|&-4\\ -2&=a. \end{align*}$

    Das bedeutet für $a=-2$ liegt ein Punkt der Punkteschar $P_a$ auf der Ebene, dieser ist $P_{-2}(-2|-2|-2)$.