Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Übung
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Grundlagen zum Thema Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Übung
Hallo und herzlich willkommen zur Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform. Wie berechnet man den Abstand eines Punktes von einer Ebene? Mit genau dieser Frage befassen wir uns in diesem Lehrvideo. Zuvor solltest du jedoch sicherstellen, dass du ein paar grundlegende Kenntnisse bereits hast. Bevor wir uns gemeinsam an die Übungsaufgaben zur Abstandsberechnung wagen, wiederholen wir den Begriff der Hesseschen Normalenform sowie die Formel zu Abstandsberechnung. Nutze die Gelegenheit und verbessere deine Fähigkeiten im Umgang mit der Hesseschen Normalenform! Viel Spaß!
Transkript Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Übung
Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um Abstandsberechnungen mit der Hesseschen Normalenform. Zunächst werden wir die Hessesche Normalenform kurz wiederholen und in Erinnerung rufen, wie man sie anwendet. Dann werden wir in einigen Übungen die Formel anwenden und mit ihr Abstände berechnen. Die Hessesche Normalenform ((nx×x+ny×y+nz×z-d)/√((nx)2+(ny)2+(nz)2))=0 ist eine parameterfreie Darstellung einer Ebene. Dabei sind nx, ny und nz die Komponenten eines Normalenvektors, dessen Betrag im Nenner steht und x, y, z die Koordinaten eines beliebigen Ebenenpunktes P. Die Zahl d legt die genaue Lage der Ebene fest, weil es zu jedem Normalenvektor ja unendlich viele parallele Ebenen gibt. Wir können mit der hessischen Normalenform aber auch den Abstand r eines beliebigen Punktes Q von der Ebene berechnen, indem wir die Koordinaten von P durch die von Q ersetzen. Die Abstandsformel lautet: r=I (nx×xQ+ny×yQ+nz×zQ-d)/√((nx)2+(ny)2+(nz)2) I. Der Betrag sorgt dafür, dass r immer größer oder gleich null ist. Den Umgang mit dieser Formel werden wir nun üben. In der ersten Übung haben wir eine Ebene in Koordinatenform gegeben. Die allgemeine Koordinatenform einer Ebene E ist nx×x+ny×y+nz×z=d. Unsere Ebene E1 besitzt die Koordinatenform 2x - 2y + z - 4 = 0. Außerdem haben wir den Punkt Q mit den Koordinaten Q(1I-2I4) gegeben. Gesucht ist der Abstand von Q zur Ebene E1. Wir setzen in unsere Abstandsformel ein: r1=I (2xQ-2yQ+zQ-4)/√(22+(-2)2+12) I. Im Nenner erhalten wir die Zahl 3. Wir setzen also die Koordinaten von Q ein. 1 für xQ, -2 für yQ und 4 für zQ und erhalten r1=I (2×1 - 2×(-2) + 1×4 -4)/3 I=2. Der Abstand zwischen Q und E1 beträgt also 2. Noch eine zweite Übung: Gegeben ist der Punkt A mit den Koordinaten A(0,5I1I4). Dazu die Ebene E1 durch den Punkt P mit den Koordinaten P(1I2I3) und mit dem Normalenvektor n1=(2, 3, 4). Um den Abstand des Punktes A zur Ebene E1 zu berechnen, benötigen wir zunächst eine Koordinatenform dieser Ebene. Haben wir den Ortsvektor xp und einen Normalenvektor n gegeben, lautet sie: [x - xp]×n = 0. Jetzt setzen wir den Ortsvektor von P und den Normalenvektor ein und erhalten: E2 ist gegeben durch [x - (1, 2, 3)]×(2, 3, 4) = 0. Die beiden Skalarprodukte rechnen wir aus und erhalten E2: 2x + 3y + 4y + 4z - 1×2 - 2×3 - 3×4 = 0. 2x + 3y + 4y + 4z - 20 = 0. Wir haben somit die Koordinatenform der Ebene E2. Damit können wir jetzt die Abstandsformel für den Punkt A notieren: r1=I (2xA + 3yA + 4zA - 20)/√(22 + 32 + 42) I. Im Nenner erhalten wir somit √29. In diese Formel setzen wir nun die Koordinaten von A ein. Also 0,5 für x, 1 für y und 4 für z. Damit beträgt der Abstand von A zu E1: r2=I (2×0,5 + 3×1 + 4×4 - 20)/√29 I=I (1+ 3 + 16 - 20)/√29 I = 0. A hat also den Abstand 0 zur Ebene. Das heißt, A liegt in der Ebene. Auch das soll vorkommen. Die Hessesche Normalenform liefert uns also sofort den Abstand eines Punktes von einer Ebene. Ist eine solche Abstandsberechnung gefragt, ist es also auf jeden Fall sinnvoll, eine gegebene Ebene in die Hessesche Normalenform zu überführen. Der Rest geht dann fast von selbst. Tschüss.
Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Übung Übung
-
Gib an, welcher Ausdruck in der Abstandsformel im Nenner steht.
TippsMit der oben stehenden Formel kann man den Abstand eines beliebigen Punktes $Q$ zu einer Ebene berechnen.
Überlege dir, zu welchem Vektor die Komponenten $n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ gehören.
Was berechnet man mit der Formel $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ?
Lösung$n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ sind die Komponenten des Normalenvektors. Da mit der Formel $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ der Betrag von Vektoren berechnet wird, handelt es sich bei dem Ausdruck $\sqrt{n_{x}^2 + n_{y}^2 + n_{z}^2}$ um den Betrag des Normalenvektors.
-
Bestimme, in welcher Formel die richtigen Werte in die Hessesche Normalenform eingesetzt wurden.
TippsSchaue dir noch einmal die allgemeine Abstandsformel an.
An welchen Stellen stehen in der allgemeinen Formel die Komponenten des Normalenvektors und die Koordinaten des Punktes?
Überprüfe, in welche der oben stehenden Formeln die Komponenten und Koordinaten richtig eingesetzt wurden.
LösungDie allgemeine Abstandsformel lautet:
$ r = \left| \frac { n_{x} \cdot x_{Q} + n_{y} \cdot y_{Q} + n_{z} \cdot z_{Q} - d } { \sqrt { n_{x}^2 + n_{y}^2 + n_{z}^2 } } \right| $.
Setzt man die Komponenten $n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ sowie $d$ und die Koordinaten des Punktes $Q$ ein, erhält man:
$ r = \left| \frac {4 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) - 10 } { \sqrt { 4^2 + (-3)^2 + 2^2 } } \right| $.
-
Berechne den Abstand zwischen der Ebene und dem Punkt.
TippsForme die Ebenengleichung zuerst in die Koordinatenform um.
Die Ebene lautet in der Koordinatenform:
$E: x + 2 \cdot y + 2 \cdot z +1 = 0 $.
Setze die Kompontenten $n_{x}$, $n_{y}$ und $n_{z}$ sowie $d$ aus der Koordinatenform und die Koordinaten des Punktes $R$ in die Abstandsformel ein.
LösungZuerst wird die Ebene in die Koordinatenform gebracht:
$E:~ x+2y+2z - (1-4+2)=0$
$E:~x+2y+2z=-1$
Nun werden die Komponenten $n_x$, $n_y$, $n_z$ und $d$ sowie die Koordinaten des Punktes $R$ in die allgemeine Abstandsformel eingesetzt:
$r=\left|\frac{n_x\cdot x_R + n_y \cdot y_R + n_z \cdot z_R-d}{\sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}}\right| = \left|\frac{1\cdot 9 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-3)+1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}\right| $.
Es ergibt sich:
$r=\left|\frac{9+8-6+1}{\sqrt{1+4+4}}\right| = \left|\frac{12}{3}\right|=4$.
Die Ebene $E$ und der Punkt $R$ haben also einen Abstand $4$ LE (Längeneinheiten) voneinander.
-
Bestimme die Anzahl aller Punkte $P(x|-2|z)$, die zu der Ebene den Abstand $r = 3$ haben.
TippsSetze den Punkt $P(x|-2|z)$ in die Abstandsformel ein.
Kannst du die Aufgabe eindeutig lösen oder kannst du Parameter frei wählen?
Wenn es freie Parameter gibt, existiert mehr als nur eine Lösung, da du mehrere Werte einsetzen kannst und die Gleichung trotzdem stimmt.
LösungSetzt du den Punkt $P(x|-2|z)$ in die Abstandsformel ein, so kannst du die Aufgabe nicht eindeutig lösen. In der Gleichung sind zwei frei wählbare Koordinaten. Du kannst beliebig viele Koordinatenpaare für $x$ und $z$ finden, so dass der Punkt $P(x|-2|z)$ den Abstand $r=3$ zu der Ebene $E$ hat.
-
Vervollständige die Aussagen zur Hesseschen Normalenform.
TippsAls was kann der Betrag eines Vektors noch interpretiert werden?
Ebenen können in Parameterform oder in einer parameterfreien Form dargestellt werden. Um welche Darstellungsform handelt es sich bei der Hesseschen Normalenform?
LösungDie Hessesche Normalenform lautet allgemein:
$ \frac { n_{x} \cdot x_{Q} + n_{y} \cdot y_{Q} + n_{z} \cdot z_{Q} - d } { \sqrt { n_{x}^2 + n_{y}^2 + n_{z}^2 } } = 0 $ .
Sie ist eine parameterfreie Darstellungsform für Ebenen.
$n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ sind die Komponenten des Normalenvektors $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} n_{x} \\ n_{y} \\ n_{z}\end{array}\right)$.
Unter dem Bruchstrich steht der Betrag des Normalenvektors, also seine Länge.
Da es unendliche viele parallele Ebenen gibt, die den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Punkt $P(x|y|z)$ enthalten, wird mit Hilfe von $d$ die genaue Lage der Ebene angegeben.
-
Berechne den Abstand der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$.
TippsWas weißt du über parallele Ebenen?
Kannst du das Problem auf ein „Abstand von Punkt und Ebene“-Problem reduzieren?
Finde einen Punkt, der in einer der beiden Ebenen enthalten ist, und bestimme dessen Abstand von der anderen Ebene.
Versuche es mit dem Punkt $P(2|1|3)$. Er ist ein Punkt der Ebene $E_{1}$.
LösungGehen wir die Lösung dieses Problems schrittweise durch:
- Sind zwei Ebenen parallel, so ist ihr Abstand an jeder Stelle gleich groß.
- Das heißt, wir können einen beliebigen Punkt einer Ebene nehmen und dessen Abstand zu der anderen Ebene berechnen und erhalten dadurch den Abstand der Ebenen.
- Ein möglicher Punkt, der in der Ebene $E_{1}$ liegt, ist $P(2|1|3)$.
- Die Abstandsformel für den Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E_{2}$ lautet: $r = \left| \frac{-4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 -5} {\sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 2^2}} \right|$
- Damit ergibt sich $r = \frac{9}{\sqrt{24}} \approx 1,84 $.
- Der Abstand $r$ der beiden Ebenen beträgt rund $1,84$ Längeneinheiten.
8.807
sofaheld-Level
6.601
vorgefertigte
Vokabeln
7.860
Lernvideos
37.810
Übungen
33.936
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften
Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Satz Des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen In Worten Schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich Multiplizieren
- Brüche gleichnamig machen
- Brüche Multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen Berechnen
- Brüche Addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Exponentialfunktion Beispiel
Hallo luli, du hast Recht. Allerdings ist d in diesem fall gleich 4 und nicht gleich -4. Da es in der Koordinatenform der Ebene erst noch auf die andere Seite gebracht werden muss. Liebe Grüße aus der Redaktion!
in -d ,-4 eingesetzt wird doch +4 oder nicht ?
Bitte nicht vergessen dass der Abstand nicht einfach 2 sondern 2 LE (=Längeneinheiten) ist. Das kann wichtig sein falls man die LE im späteren Verlauf in eine andere Einheit umwandeln muss.
Klasse Video! Hat mir sehr geholfen. Danke!