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Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Übung 07:40 min

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Transkript Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Übung

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um Abstandsberechnungen mit der Hesseschen Normalenform. Zunächst werden wir die Hessesche Normalenform kurz wiederholen und in Erinnerung rufen, wie man sie anwendet. Dann werden wir in einigen Übungen die Formel anwenden und mit ihr Abstände berechnen. Die Hessesche Normalenform ((nx×x+ny×y+nz×z-d)/√((nx)2+(ny)2+(nz)2))=0 ist eine parameterfreie Darstellung einer Ebene. Dabei sind nx, ny und nz die Komponenten eines Normalenvektors, dessen Betrag im Nenner steht und x, y, z die Koordinaten eines beliebigen Ebenenpunktes P. Die Zahl d legt die genaue Lage der Ebene fest, weil es zu jedem Normalenvektor ja unendlich viele parallele Ebenen gibt. Wir können mit der hessischen Normalenform aber auch den Abstand r eines beliebigen Punktes Q von der Ebene berechnen, indem wir die Koordinaten von P durch die von Q ersetzen. Die Abstandsformel lautet: r=I (nx×xQ+ny×yQ+nz×zQ-d)/√((nx)2+(ny)2+(nz)2) I. Der Betrag sorgt dafür, dass r immer größer oder gleich null ist. Den Umgang mit dieser Formel werden wir nun üben. In der ersten Übung haben wir eine Ebene in Koordinatenform gegeben. Die allgemeine Koordinatenform einer Ebene E ist nx×x+ny×y+nz×z=d. Unsere Ebene E1 besitzt die Koordinatenform 2x - 2y + z - 4 = 0. Außerdem haben wir den Punkt Q mit den Koordinaten Q(1I-2I4) gegeben. Gesucht ist der Abstand von Q zur Ebene E1. Wir setzen in unsere Abstandsformel ein: r1=I (2xQ-2yQ+zQ-4)/√(22+(-2)2+12) I. Im Nenner erhalten wir die Zahl 3. Wir setzen also die Koordinaten von Q ein. 1 für xQ, -2 für yQ und 4 für zQ und erhalten r1=I (2×1 - 2×(-2) + 1×4 -4)/3 I=2. Der Abstand zwischen Q und E1 beträgt also 2. Noch eine zweite Übung: Gegeben ist der Punkt A mit den Koordinaten A(0,5I1I4). Dazu die Ebene E1 durch den Punkt P mit den Koordinaten P(1I2I3) und mit dem Normalenvektor n1=(2, 3, 4). Um den Abstand des Punktes A zur Ebene E1 zu berechnen, benötigen wir zunächst eine Koordinatenform dieser Ebene. Haben wir den Ortsvektor xp und einen Normalenvektor n gegeben, lautet sie: [x - xp]×n = 0. Jetzt setzen wir den Ortsvektor von P und den Normalenvektor ein und erhalten: E2 ist gegeben durch [x - (1, 2, 3)]×(2, 3, 4) = 0. Die beiden Skalarprodukte rechnen wir aus und erhalten E2: 2x + 3y + 4y + 4z - 1×2 - 2×3 - 3×4 = 0. 2x + 3y + 4y + 4z - 20 = 0. Wir haben somit die Koordinatenform der Ebene E2. Damit können wir jetzt die Abstandsformel für den Punkt A notieren: r1=I (2xA + 3yA + 4zA - 20)/√(22 + 32 + 42) I. Im Nenner erhalten wir somit √29. In diese Formel setzen wir nun die Koordinaten von A ein. Also 0,5 für x, 1 für y und 4 für z. Damit beträgt der Abstand von A zu E1: r2=I (2×0,5 + 3×1 + 4×4 - 20)/√29 I=I (1+ 3 + 16 - 20)/√29 I = 0. A hat also den Abstand 0 zur Ebene. Das heißt, A liegt in der Ebene. Auch das soll vorkommen. Die Hessesche Normalenform liefert uns also sofort den Abstand eines Punktes von einer Ebene. Ist eine solche Abstandsberechnung gefragt, ist es also auf jeden Fall sinnvoll, eine gegebene Ebene in die Hessesche Normalenform zu überführen. Der Rest geht dann fast von selbst. Tschüss.

1 Kommentar
  1. Klasse Video! Hat mir sehr geholfen. Danke!

    Von Buli Can, vor etwa 5 Jahren

Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Übung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welcher Ausdruck in der Abstandsformel im Nenner steht.

    Tipps

    Mit der oben stehenden Formel kann man den Abstand eines beliebigen Punktes $Q$ zu einer Ebene berechnen.

    Überlege dir, zu welchem Vektor die Komponenten $n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ gehören.

    Was berechnet man mit der Formel $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ?

    Lösung

    $n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ sind die Komponenten des Normalenvektors. Da mit der Formel $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ der Betrag von Vektoren berechnet wird, handelt es sich bei dem Ausdruck $\sqrt{n_{x}^2 + n_{y}^2 + n_{z}^2}$ um den Betrag des Normalenvektors.

  • Vervollständige die Aussagen zur Hesseschen Normalenform.

    Tipps

    Als was kann der Betrag eines Vektors noch interpretiert werden?

    Ebenen können in Parameterform oder in einer parameterfreien Form dargestellt werden. Um welche Darstellungsform handelt es sich bei der Hesseschen Normalenform?

    Lösung

    Die Hessesche Normalenform lautet allgemein:

    $ \frac { n_{x} \cdot x_{Q} + n_{y} \cdot y_{Q} + n_{z} \cdot z_{Q} - d } { \sqrt { n_{x}^2 + n_{y}^2 + n_{z}^2 } } = 0 $ .

    Sie ist eine parameterfreie Darstellungsform für Ebenen.

    $n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ sind die Komponenten des Normalenvektors $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} n_{x} \\ n_{y} \\ n_{z}\end{array}\right)$.

    Unter dem Bruchstrich steht der Betrag des Normalenvektors, also seine Länge.

    Da es unendliche viele parallele Ebenen gibt, die den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Punkt $P(x|y|z)$ enthalten, wird mit Hilfe von $d$ die genaue Lage der Ebene angegeben.

  • Bestimme, in welcher Formel die richtigen Werte in die Hessesche Normalenform eingesetzt wurden.

    Tipps

    Schaue dir noch einmal die allgemeine Abstandsformel an.

    An welchen Stellen stehen in der allgemeinen Formel die Komponenten des Normalenvektors und die Koordinaten des Punktes?

    Überprüfe, in welche der oben stehenden Formeln die Komponenten und Koordinaten richtig eingesetzt wurden.

    Lösung

    Die allgemeine Abstandsformel lautet:

    $ r = \left| \frac { n_{x} \cdot x_{Q} + n_{y} \cdot y_{Q} + n_{z} \cdot z_{Q} - d } { \sqrt { n_{x}^2 + n_{y}^2 + n_{z}^2 } } \right| $.

    Setzt man die Komponenten $n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ sowie $d$ und die Koordinaten des Punktes $Q$ ein, erhält man:

    $ r = \left| \frac {4 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) - 10 } { \sqrt { 4^2 + (-3)^2 + 2^2 } } \right| $.

  • Berechne den Abstand der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$.

    Tipps

    Was weißt du über parallele Ebenen?

    Kannst du das Problem auf ein „Abstand von Punkt und Ebene“-Problem reduzieren?

    Finde einen Punkt, der in einer der beiden Ebenen enthalten ist, und bestimme dessen Abstand von der anderen Ebene.

    Versuche es mit dem Punkt $P(2|1|3)$. Er ist ein Punkt der Ebene $E_{1}$.

    Lösung

    Gehen wir die Lösung dieses Problems schrittweise durch:

    1. Sind zwei Ebenen parallel, so ist ihr Abstand an jeder Stelle gleich groß.
    2. Das heißt, wir können einen beliebigen Punkt einer Ebene nehmen und dessen Abstand zu der anderen Ebene berechnen und erhalten dadurch den Abstand der Ebenen.
    3. Ein möglicher Punkt, der in der Ebene $E_{1}$ liegt, ist $P(2|1|3)$.
    4. Die Abstandsformel für den Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E_{2}$ lautet: $r = \left| \frac{-4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 -5} {\sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 2^2}} \right|$
    5. Damit ergibt sich $r = \frac{9}{\sqrt{24}} \approx 1,84 $ .
    6. Der Abstand $r$ der beiden Ebenen beträgt rund $1,84$ Längeneinheiten.
  • Berechne den Abstand zwischen der Ebene und dem Punkt.

    Tipps

    Forme die Ebenengleichung zuerst in die Koordinatenform um.

    Die Ebene lautet in der Koordinatenform:

    $E: x + 2 \cdot y + 2 \cdot z +1 = 0 $.

    Setze die Kompontenten $n_{x}$, $n_{y}$ und $n_{z}$ sowie $d$ aus der Koordinatenform und die Koordinaten des Punktes $R$ in die Abstandsformel ein.

    Lösung

    Zuerst wird die Ebene in die Koordinatenform gebracht:

    $E:~ x+2y+2z - (1-4+2)=0$

    $E:~x+2y+2z=-1$

    Nun werden die Komponenten $n_x$, $n_y$, $n_z$ und $d$ sowie die Koordinaten des Punktes $R$ in die allgemeine Abstandsformel eingesetzt:

    $r=\left|\frac{n_x\cdot x_R + n_y \cdot y_R + n_z \cdot z_R-d}{\sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}}\right| = \left|\frac{1\cdot 9 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-3)+1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}\right| $.

    Es ergibt sich:

    $r=\left|\frac{9+8-6+1}{\sqrt{1+4+4}}\right| = \left|\frac{12}{3}\right|=4$.

    Die Ebene $E$ und der Punkt $R$ haben also einen Abstand $4$ LE (Längeneinheiten) voneinander.

  • Bestimme die Anzahl aller Punkte $P(x|-2|z)$, die zu der Ebene den Abstand $r = 3$ haben.

    Tipps

    Setze den Punkt $P(x|-2|z)$ in die Abstandsformel ein.

    Kannst du die Aufgabe eindeutig lösen oder kannst du Parameter frei wählen?

    Wenn es freie Parameter gibt, existiert mehr als nur eine Lösung, da du mehrere Werte einsetzen kannst und die Gleichung trotzdem stimmt.

    Lösung

    Setzt du den Punkt $P(x|-2|z)$ in die Abstandsformel ein, so kannst du die Aufgabe nicht eindeutig lösen. In der Gleichung sind zwei frei wählbare Koordinaten. Du kannst beliebig viele Koordinatenpaare für $x$ und $z$ finden, so dass der Punkt $P(x|-2|z)$ den Abstand $r=3$ zu der Ebene $E$ hat.