Gebrochenrationale Funktionen - Nullstellen

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Grundlagen zum Thema Gebrochenrationale Funktionen - Nullstellen
Damit eine gebrochen-rationale Funktion eine Nullstelle hat, muss der Zähler an einer solchen Stelle gleich 0 sein, an dem der Nenner nicht gleich 0 ist. Das bedeutet für das praktische Verfahren: 1) Wir bestimmen die Nullstellen des Zählers, 2) wir bestimmen die Nullstellen des Nenners und wenn sich die Nullstellen unterscheiden, sind die Nullstellen des Zählers die Nullstellen der Funktion. Im Video wird dieser Verfahren an einem Beispiel vorgerechnet.
Gebrochenrationale Funktionen - Nullstellen Übung
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Zeige auf, wie du bei der Berechnung von Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen vorgehst.
TippsFür Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen gilt:
$f(x)=0\Leftrightarrow\begin{cases} \text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hler} =0\\ \\ \text{Nenner} \neq 0 \end{cases}$
Die $pq$-Formel sieht für $x^2+px+q=0$ folgendermaßen aus:
$x_{1,2}=-\frac{p}2\pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$
Beginne mit dem Zähler und überprüfe den Nenner.
Erst, wenn du sicher bist, dass die Nullstellen des Zählers keine Nullstellen des Nenners sind, kannst du die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion angeben.
LösungFür gebrochenrationale Funktionen gilt: Die Nullstellen der Funktion sind die Nullstellen des Zählers, sofern diese nicht auch Nullstellen des Nenners sind. Es reicht also, wenn du die Nullstellen des Zählers bestimmst und danach überprüfst, ob es sich um Nullstellen des Nenners handelt. Nullstellen des Nenners kommen nicht als Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion infrage, weil die Funktion an diesen Stellen nicht definiert ist.
$1.$ Zuerst berechnest du die Nullstellen des Zählers.
$2.$ Dazu löst du die Gleichung $x^2+2x-4=0$.
$3.$ Zur Berechnung nutzt du die $pq$-Formel für die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$:
$\quad x_{1,2}=-\frac{p}2\pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$
$4.$ Eingesetzt erhältst du also:
$\begin{array}{lrl} & x_{1,2}&=-\frac{2}2\pm \sqrt{\left(\frac{2}2\right)^2-(-4)}\\ & x_{1,2}&=-1\pm \sqrt{1^2+4}\\ \\ & x_{1}&=-1+ \sqrt{5} \\ & x_{2}&=-1- \sqrt{5} \\ \end{array}$
$5.$ Du setzt nun noch die $x$-Werte in den Nenner ein und überprüfst, dass dieser nicht $0$ ist.
$6.$ Da sowohl $-1+ \sqrt{5}-2\neq 0$ als auch $-1- \sqrt{5}-2\neq 0$, sind $x_1$ und $x_2$ Nullstellen von $f(x)$.
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Berechne die Nullstellen des Zählers der gebrochenrationalen Funktion.
TippsBeim Lösen von quadratischen Gleichungen hilft die $pq$-Formel. Diese lautet für die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ wie folgt:
- $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$
Beachte bei der Anwendung der $pq$-Formel unbedingt die Vorzeichen. Das Absolutglied $q$ ist in dieser Aufgabe negativ.
LösungFür gebrochenrationale Funktionen gilt: Die Nullstellen der Funktion sind die Nullstellen des Zählers, sofern diese nicht auch Nullstellen des Nenners sind.Zunächst bestimmst du also die Nullstellen des Zählers. Dazu löst du folgende Gleichung:
- $x^2+2x-4=0$
- $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$
$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{2}2\pm \sqrt{(\frac{2}2)^2-(-4)}\\ x_{1,2}&=&-1\pm \sqrt{1^2+4}\\ x_{1}&=&-1+ \sqrt{5} \\ x_{2}&=&-1- \sqrt{5} \\ \end{array}$
Danach musst du die $x$-Werte noch in den Nenner einsetzen und überprüfen, dass dieser nicht $0$ ist.
Da sowohl $-1+ \sqrt{5}-2=-3 +\sqrt{5}\neq 0$ als auch $-1- \sqrt{5}-2=-3-\sqrt{5}\neq 0$, sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen von $f(x)$.
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Bestimme die Nullstellen.
TippsHast du eine Gleichung der Form $4x^2+2x=0$ gegeben, brauchst du nicht die $pq$-Formel anzuwenden. Du kannst einfach ein $x$ ausklammern und erhältst:
- $x\cdot(4x+2)=0$
- $x_1=0$
- $4x_2+2=0$
Die Wurzel aus $2,25$ ist $1,5$.
LösungFür gebrochenrationale Funktionen gilt: Die Nullstellen der Funktion sind die Nullstellen des Zählers, sofern diese nicht auch Nullstellen des Nenners sind. Es reicht also, wenn du die Nullstellen des Zählers bestimmst.
Für $f(x)=\frac{x^2-8+x}{x+1}$ erhältst du:
- $x^2-8+x=0$
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{(\frac{1}2)^2-(-8)}\\ x_{1,2} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{\frac14+8}\\ x_{1} &=& -\frac{1}2+ \sqrt{8,25} \\ x_{2} &=& -\frac{1}2- \sqrt{8,25} \\ \end{array}$
Danach musst du die $x$-Werte noch in den Nenner einsetzen und überprüfen, dass dieser nicht $0$ ist.
Da sowohl $-\frac{1}2+ \sqrt{8,25}+1=\frac{1}2+ \sqrt{8,25}=\neq 0$ als auch $-\frac{1}2- \sqrt{8,25}+1=\frac{1}2- \sqrt{8,25}=\neq 0$, sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen von $f(x)$.
Analog folgt für $g(x)=\frac{x^2-2+x}{x+1}$:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{(\frac{1}2)^2-(-2)}\\ x_{1,2} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{\frac14+2}\\ x_{1,2} &=& -0,5\pm \sqrt{2,25}\\ x_{1} &=& -0,5+ 1,5 =1\\ x_{2} &=& -0,5-1,5=-2\\ \end{array}$
Da $1+1=2\neq0$ und $1-2=-1\neq0$ gilt, sind $x_1$ und $x_2$ Nullstellen der Funktion $g$.
Für $h(x)=\frac{4-2x^2+2x}{3x+2}$ musst du den Zähler erst in die normale Form für die $pq$-Formel bringen. Es folgt:
$\begin{array}{llll} 4-2x^2+2x &=& 0 & \vert :(-2) \\ x^2-x-2 &=& 0 & \end{array}$
Die Lösung der Gleichung lautet:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& -\frac{-1}2\pm \sqrt{(\frac{-1}2)^2-(-2)}\\ x_{1,2} &=& -\frac{-1}2\pm \sqrt{\frac14+2}\\ x_{1,2} &=& 0,5\pm \sqrt{2,25}\\ x_{1} &=& 0,5+ 1,5 =2\\ x_{2} &=& 0,5-1,5=-1\\ \end{array}$
Da $3\cdot 2+2=8\neq0$ und $3\cdot (-1)+2=-1\neq0$ gilt, sind $x_1$ und $x_2$ Nullstellen der Funktion $h$.
Ebenso gilt für $j(x)=\frac{x^2+x}{x+2}$:
$x^2+x=0$
Wir klammern $x$ aus:
$x\cdot(x+1)=0$
Also ist $x_1=0$ und aus $x+1=0$ folgt $x_2=-1$ als Nullstelle.
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Entscheide, ob die Nullstellen korrekt sind.
TippsFindest du einen $x$-Wert, für den der Zähler und Nenner gleich Null sind, ist dieser keine Nullstelle, da die Funktion nicht definiert ist, wenn der Nenner Null ist.
Betrachte die Funktion $f$ mit:
$f(x)=\dfrac{2x^2-5+6x}{2-3x}$
Setzt du $x=0$ in die Funktion ein, erkennst du, dass dieser keine Nullstelle von $f$ ist, da $2\cdot 0^2-5+6\cdot 0=-5\neq0$.
LösungFür $f(x)=\frac{x^2-2+x}{x-1}$ berechnen wir zunächst die Nullstellen des Zählers:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{1}2\pm \sqrt{(\frac{1}2)^2-(-2)}\\ x_{1,2}&=&-\frac{1}2\pm \sqrt{\frac14+2}\\ x_{1,2}&=&-0,5\pm \sqrt{2,25}\\ x_{1}&=&-0,5+ 1,5 =1\\ x_{2}&=&-0,5-1,5=-2\\ \end{array}$
Da $1-1=0$ gilt, ist die Funktion $f(x)$ für $x=1$ nicht definiert, aber es gilt $-2-1=-3\neq0$, somit ist $x=-2$ eine Nullstelle.
Du kannst natürlich auch die vorgegebenen Nullstellen einsetzen und überprüfen, dabei stellst du für $x=0$ fest:
$0^2-2+0=-2\neq0$
Für $g(x)=\frac{x^2-4+3x}{x+4}$ gilt:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{3}2\pm \sqrt{(\frac{3}2)^2-(-4)}\\ x_{1,2}&=&-\frac{3}2\pm \sqrt{\frac94+4}\\ x_{1,2}&=&-1,5\pm \sqrt{6,25}\\ x_{1}&=&-1,5+ 2,5 = 1\\ x_{2}&=&-1,5- 2,5 =-4 \\ \end{array}$
Da $-4+4=0$ gilt, ist $x_2=-4$ keine Nullstelle.
Mit $1+4=5$ gilt $x_1=1$ als Nullstelle der Funktion $g$.
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Gib wieder, welche Bedingungen die Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen erfüllen müssen.
Tipps$f(x)=\frac{x^2+2x-4}{x-2}$
Das ist ein Beispiel für eine gebrochenrationale Funktion.
Für einen Bruch gilt: $\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$.
$f(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{x-2}$
Eine der Nullstellen dieser Funktion ist $x=3$, denn:
$f(x)=\dfrac{3^2-2\cdot 3-3}{3-2}=0$
Die Division durch die $0$ ist nicht definiert. Das heißt, dass du niemals durch $0$ teilen darfst.
LösungFür jede Funktion gilt: Eine Nullstelle ist ein $x$-Wert, für den der Funktionswert Null ist. Wenn die Nullstellen einer Funktion $f$ gesucht sind, sind also immer die Lösungen der Gleichung $f(x)=0$ zu ermitteln.
Für gebrochenrationale Funktionen gilt: Die Nullstellen der Funktion sind die Nullstellen des Zählers, sofern diese nicht auch Nullstellen des Nenners sind.
- Wird nämlich der Nenner $0$, so dividierst du durch $0$ und das ist nicht definiert. Damit hat die Funktion an dieser Stelle keine Lösung und ist insbesondere nicht gleich $0$.
- Wird der Zähler $0$, so teilst du $0$ durch eine beliebige Zahl und das ist immer $0$.
$f(x)=0\Leftrightarrow\begin{cases} \text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hler} =0\\ \\ \text{Nenner} \neq 0 \end{cases}$
Es kann natürlich sein, dass $x=0$ eine Nullstelle ist, dies ist aber nicht immer der Fall.
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Ermittle die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktionen.
TippsIst in jedem Summanden ein $x$ enthalten, kannst du dies Ausklammern. Damit hast du direkt die erste Nullstelle gefunden.
Bedenke, dass du immer zuerst die Nullstellen des Zählers berechnest. Dann überprüfst du, ob der Nenner für diese $x$-Werte ungleich Null ist. Nur dann sind diese Stellen Nullstellen der Funktion.
LösungFür $g(x)=\frac{x^3-2x+x^2}{x+1}$ gilt:
- $x^3-2x+x^2=0$
- $x\cdot (x^2+x-2)=0$
$\begin{array}{rcl} x_{2,3} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{(\frac{1}2)^2-(-2)}\\ x_{2,3} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{\frac14+2}\\ x_{2,3} &=& -0,5\pm \sqrt{2,25}\\ x_{2} &=& -0,5+ 1,5 =1\\ x_{3} &=& -0,5-1,5=-2\\ \end{array}$
Für den Nenner gilt:
- $1+1=2\neq0$
- $1-2=-1\neq0$
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& -\frac{2}2\pm \sqrt{(\frac{2}2)^2-(-8)}\\ x_{1,2} &=& -1\pm \sqrt{1+8}\\ x_{1,2} &=& -1\pm \sqrt{9}\\ x_{1} &=& -1+ 3 =2\\ x_{2} &=& -1-3=-4\\ \end{array}$
Da $3\cdot2-6=0$ gilt, ist $2$ keine Nullstelle. Mit $3\cdot(-4)-1=-13\neq0$ hat die Funktion eine Nullstelle bei $x=-4$.
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