Gebrochenrationale Funktionen - Nullstellen

Gebrochenrationale Funktionen - Nullstellen Übung

• Zeige auf, wie du bei der Berechnung von Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen vorgehst.

  Tipps

  Für Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen gilt:

  $f(x)=0\Leftrightarrow\begin{cases} \text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hler} =0\\ \\ \text{Nenner} \neq 0 \end{cases}$

  Die $pq$-Formel sieht für $x^2+px+q=0$ folgendermaßen aus:

  $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$

  Beginne mit dem Zähler und überprüfe den Nenner.

  Erst, wenn du sicher bist, dass die Nullstellen des Zählers keine Nullstellen des Nenners sind, kannst du die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion angeben.

  Lösung

  Für gebrochenrationale Funktionen gilt: Die Nullstellen der Funktion sind die Nullstellen des Zählers, sofern diese nicht auch Nullstellen des Nenners sind. Es reicht also, wenn du die Nullstellen des Zählers bestimmst und danach überprüfst, ob es sich um Nullstellen des Nenners handelt. Nullstellen des Nenners kommen nicht als Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion infrage, weil die Funktion an diesen Stellen nicht definiert ist.

  $1.$ Zuerst berechnest du die Nullstellen des Zählers.

  $2.$ Dazu löst du die Gleichung $x^2+2x-4=0$.

  $3.$ Zur Berechnung nutzt du die $pq$-Formel für die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$:

  $\quad x_{1,2}=-\frac{p}2\pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$

  $4.$ Eingesetzt erhältst du also:

  $\begin{array}{lrl} & x_{1,2}&=-\frac{2}2\pm \sqrt{\left(\frac{2}2\right)^2-(-4)}\\ & x_{1,2}&=-1\pm \sqrt{1^2+4}\\ \\ & x_{1}&=-1+ \sqrt{5} \\ & x_{2}&=-1- \sqrt{5} \\ \end{array}$

  $5.$ Du setzt nun noch die $x$-Werte in den Nenner ein und überprüfst, dass dieser nicht $0$ ist.

  $6.$ Da sowohl $-1+ \sqrt{5}-2\neq 0$ als auch $-1- \sqrt{5}-2\neq 0$, sind $x_1$ und $x_2$ Nullstellen von $f(x)$.

• Berechne die Nullstellen des Zählers der gebrochenrationalen Funktion.

  Tipps

  Beim Lösen von quadratischen Gleichungen hilft die $pq$-Formel. Diese lautet für die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ wie folgt:

  • $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$

  Beachte bei der Anwendung der $pq$-Formel unbedingt die Vorzeichen. Das Absolutglied $q$ ist in dieser Aufgabe negativ.

  Lösung

  Für gebrochenrationale Funktionen gilt: Die Nullstellen der Funktion sind die Nullstellen des Zählers, sofern diese nicht auch Nullstellen des Nenners sind.Zunächst bestimmst du also die Nullstellen des Zählers. Dazu löst du folgende Gleichung:

  • $x^2+2x-4=0$

  Zur Berechnung nutzt du die $pq-$Formel. Diese lautet für die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ wie folgt:

  • $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$

  Es gilt also:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{2}2\pm \sqrt{(\frac{2}2)^2-(-4)}\\ x_{1,2}&=&-1\pm \sqrt{1^2+4}\\ x_{1}&=&-1+ \sqrt{5} \\ x_{2}&=&-1- \sqrt{5} \\ \end{array}$

  Danach musst du die $x$-Werte noch in den Nenner einsetzen und überprüfen, dass dieser nicht $0$ ist.

  Da sowohl $-1+ \sqrt{5}-2=-3 +\sqrt{5}\neq 0$ als auch $-1- \sqrt{5}-2=-3-\sqrt{5}\neq 0$, sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen von $f(x)$.

• Bestimme die Nullstellen.

  Tipps

  Hast du eine Gleichung der Form $4x^2+2x=0$ gegeben, brauchst du nicht die $pq$-Formel anzuwenden. Du kannst einfach ein $x$ ausklammern und erhältst:

  • $x\cdot(4x+2)=0$

  Da ein Produkt genau dann $0$ ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, kannst du einfach schreiben:

  • $x_1=0$
  • $4x_2+2=0$

  Wenn wir die zweite Gleichung nach $x$ umstellen, erhalten wir $x_2=-\frac12$.

  Die Wurzel aus $2,25$ ist $1,5$.

  Lösung

  Für gebrochenrationale Funktionen gilt: Die Nullstellen der Funktion sind die Nullstellen des Zählers, sofern diese nicht auch Nullstellen des Nenners sind. Es reicht also, wenn du die Nullstellen des Zählers bestimmst.

  Für $f(x)=\frac{x^2-8+x}{x+1}$ erhältst du:

  • $x^2-8+x=0$

  Zur Berechnung nutzt du die $pq$-Formel. Es gilt also:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{(\frac{1}2)^2-(-8)}\\ x_{1,2} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{\frac14+8}\\ x_{1} &=& -\frac{1}2+ \sqrt{8,25} \\ x_{2} &=& -\frac{1}2- \sqrt{8,25} \\ \end{array}$

  Danach musst du die $x$-Werte noch in den Nenner einsetzen und überprüfen, dass dieser nicht $0$ ist.

  Da sowohl $-\frac{1}2+ \sqrt{8,25}+1=\frac{1}2+ \sqrt{8,25}=\neq 0$ als auch $-\frac{1}2- \sqrt{8,25}+1=\frac{1}2- \sqrt{8,25}=\neq 0$, sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen von $f(x)$.

  Analog folgt für $g(x)=\frac{x^2-2+x}{x+1}$:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{(\frac{1}2)^2-(-2)}\\ x_{1,2} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{\frac14+2}\\ x_{1,2} &=& -0,5\pm \sqrt{2,25}\\ x_{1} &=& -0,5+ 1,5 =1\\ x_{2} &=& -0,5-1,5=-2\\ \end{array}$

  Da $1+1=2\neq0$ und $1-2=-1\neq0$ gilt, sind $x_1$ und $x_2$ Nullstellen der Funktion $g$.

  Für $h(x)=\frac{4-2x^2+2x}{3x+2}$ musst du den Zähler erst in die normale Form für die $pq$-Formel bringen. Es folgt:

  $\begin{array}{llll} 4-2x^2+2x &=& 0 & \vert :(-2) \\ x^2-x-2 &=& 0 & \end{array}$

  Die Lösung der Gleichung lautet:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& -\frac{-1}2\pm \sqrt{(\frac{-1}2)^2-(-2)}\\ x_{1,2} &=& -\frac{-1}2\pm \sqrt{\frac14+2}\\ x_{1,2} &=& 0,5\pm \sqrt{2,25}\\ x_{1} &=& 0,5+ 1,5 =2\\ x_{2} &=& 0,5-1,5=-1\\ \end{array}$

  Da $3\cdot 2+2=8\neq0$ und $3\cdot (-1)+2=-1\neq0$ gilt, sind $x_1$ und $x_2$ Nullstellen der Funktion $h$.

  Ebenso gilt für $j(x)=\frac{x^2+x}{x+2}$:

  $x^2+x=0$

  Wir klammern $x$ aus:

  $x\cdot(x+1)=0$

  Also ist $x_1=0$ und aus $x+1=0$ folgt $x_2=-1$ als Nullstelle.

• Entscheide, ob die Nullstellen korrekt sind.

  Tipps

  Findest du einen $x$-Wert, für den der Zähler und Nenner gleich Null sind, ist dieser keine Nullstelle, da die Funktion nicht definiert ist, wenn der Nenner Null ist.

  Betrachte die Funktion $f$ mit:

  $f(x)=\dfrac{2x^2-5+6x}{2-3x}$

  Setzt du $x=0$ in die Funktion ein, erkennst du, dass dieser keine Nullstelle von $f$ ist, da $2\cdot 0^2-5+6\cdot 0=-5\neq0$.

  Lösung

  Für $f(x)=\frac{x^2-2+x}{x-1}$ berechnen wir zunächst die Nullstellen des Zählers:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{1}2\pm \sqrt{(\frac{1}2)^2-(-2)}\\ x_{1,2}&=&-\frac{1}2\pm \sqrt{\frac14+2}\\ x_{1,2}&=&-0,5\pm \sqrt{2,25}\\ x_{1}&=&-0,5+ 1,5 =1\\ x_{2}&=&-0,5-1,5=-2\\ \end{array}$

  Da $1-1=0$ gilt, ist die Funktion $f(x)$ für $x=1$ nicht definiert, aber es gilt $-2-1=-3\neq0$, somit ist $x=-2$ eine Nullstelle.

  Du kannst natürlich auch die vorgegebenen Nullstellen einsetzen und überprüfen, dabei stellst du für $x=0$ fest:

  $0^2-2+0=-2\neq0$

  Für $g(x)=\frac{x^2-4+3x}{x+4}$ gilt:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{3}2\pm \sqrt{(\frac{3}2)^2-(-4)}\\ x_{1,2}&=&-\frac{3}2\pm \sqrt{\frac94+4}\\ x_{1,2}&=&-1,5\pm \sqrt{6,25}\\ x_{1}&=&-1,5+ 2,5 = 1\\ x_{2}&=&-1,5- 2,5 =-4 \\ \end{array}$

  Da $-4+4=0$ gilt, ist $x_2=-4$ keine Nullstelle.

  Mit $1+4=5$ gilt $x_1=1$ als Nullstelle der Funktion $g$.

• Gib wieder, welche Bedingungen die Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen erfüllen müssen.

  Tipps

  $f(x)=\frac{x^2+2x-4}{x-2}$

  Das ist ein Beispiel für eine gebrochenrationale Funktion.

  Für einen Bruch gilt: $\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$.

  $f(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{x-2}$

  Eine der Nullstellen dieser Funktion ist $x=3$, denn:

  $f(x)=\dfrac{3^2-2\cdot 3-3}{3-2}=0$

  Die Division durch die $0$ ist nicht definiert. Das heißt, dass du niemals durch $0$ teilen darfst.

  Lösung

  Für jede Funktion gilt: Eine Nullstelle ist ein $x$-Wert, für den der Funktionswert Null ist. Wenn die Nullstellen einer Funktion $f$ gesucht sind, sind also immer die Lösungen der Gleichung $f(x)=0$ zu ermitteln.

  Für gebrochenrationale Funktionen gilt: Die Nullstellen der Funktion sind die Nullstellen des Zählers, sofern diese nicht auch Nullstellen des Nenners sind.

  • Wird nämlich der Nenner $0$, so dividierst du durch $0$ und das ist nicht definiert. Damit hat die Funktion an dieser Stelle keine Lösung und ist insbesondere nicht gleich $0$.
  • Wird der Zähler $0$, so teilst du $0$ durch eine beliebige Zahl und das ist immer $0$.

  Es gilt also:

  $f(x)=0\Leftrightarrow\begin{cases} \text{Z}\ddot{\text{a}}\text{hler} =0\\ \\ \text{Nenner} \neq 0 \end{cases}$

  Es kann natürlich sein, dass $x=0$ eine Nullstelle ist, dies ist aber nicht immer der Fall.

• Ermittle die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktionen.

  Tipps

  Ist in jedem Summanden ein $x$ enthalten, kannst du dies Ausklammern. Damit hast du direkt die erste Nullstelle gefunden.

  Bedenke, dass du immer zuerst die Nullstellen des Zählers berechnest. Dann überprüfst du, ob der Nenner für diese $x$-Werte ungleich Null ist. Nur dann sind diese Stellen Nullstellen der Funktion.

  Lösung

  Für $g(x)=\frac{x^3-2x+x^2}{x+1}$ gilt:

  • $x^3-2x+x^2=0$

  Wir klammern $x$ aus:

  • $x\cdot (x^2+x-2)=0$

  Für $x=0$ ist der Nenner $1+0=1\neq 0$. Damit ist $x_1=0$ schon mal eine Nullstelle. Die Gleichung $x^2+x-2$ lösen wir mit der $pq$-Formel:

  $\begin{array}{rcl} x_{2,3} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{(\frac{1}2)^2-(-2)}\\ x_{2,3} &=& -\frac{1}2\pm \sqrt{\frac14+2}\\ x_{2,3} &=& -0,5\pm \sqrt{2,25}\\ x_{2} &=& -0,5+ 1,5 =1\\ x_{3} &=& -0,5-1,5=-2\\ \end{array}$

  Für den Nenner gilt:

  • $1+1=2\neq0$
  • $1-2=-1\neq0$

  Für $f(x)=\frac{x^2+2x-8}{3x-1}$ gilt:

  $\begin{array}{rcl} x_{1,2} &=& -\frac{2}2\pm \sqrt{(\frac{2}2)^2-(-8)}\\ x_{1,2} &=& -1\pm \sqrt{1+8}\\ x_{1,2} &=& -1\pm \sqrt{9}\\ x_{1} &=& -1+ 3 =2\\ x_{2} &=& -1-3=-4\\ \end{array}$

  Da $3\cdot2-6=0$ gilt, ist $2$ keine Nullstelle. Mit $3\cdot(-4)-1=-13\neq0$ hat die Funktion eine Nullstelle bei $x=-4$.