Gebrochenrationale Funktionen – Eigenschaften

Gebrochenrationale Funktionen – Eigenschaften Übung

• Beschreibe, was gebrochenrationale Funktionen sind.

  Tipps

  Stellt ein Bruch ein Produkt oder einen Quotienten dar?

  Die allgemeine Form ganzrationaler Funktionen lautet:

  $a_0 +a_1 x^2 + ... + a_n x^n $.

  Verwendet man das Zähler- oder das Nennerpolynom zur Berechnung der Nullstellen einer Funktion? Denk dir ein Beispiel für gebrochenrationale Funktionen aus und berechne die Nullstellen deiner Funktion. Was fällt dir auf?

  Lösung

  Eine gebrochenrationale Funktion setzt sich aus Polynomen, genauer gesagt aus einem Zählerpolynom und einem Nennerpolynom, zusammen, welche jeweils ganzrationale Funktionen sind.

  Berechnen wir die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion, so setzen wir lediglich das Zählerpolynom $z(x)$ gleich Null, da stets:

  $\begin{align*} f(x) &= 0 \\ 0 &= \frac{z(x)}{n(x)} &|& \cdot n(x) \\ 0 &= z(x) \end{align*}$.

  Mithilfe des Nennerpolynoms $n(x)$ können wir das Verhalten der Funktion, z. B. deren Definitionslücken, bestimmen.

• Gib die Eigenschaften der Funktionen an.

  Tipps

  Durch welche Zahl kann man niemals teilen?

  Die Nullstellen des Nenners sind die Definitionslücken der Funktion. Berechne sie jeweils.

  Haben das Zähler- und Nennerpolynom dieselbe Nullstelle, so nennt man sie hebbare Definitionslücke, andernfalls Polstelle.

  Lösung

  Die Nullstellen des Nenners einer gebrochenrationalen Funktion sind die Definitionslücken der Funktion.

  Wir setzen also den Nenner der Funktion

  $f(x)=\frac{3x^2-7x+1}{x^2+5}$

  gleich Null und berechnen die möglichen Nullstellen:

  $ \begin{align*} x^2+5&= 0 &|& -5 \\ x^2 &= -5 \end{align*} $

  Man kann nicht die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen, daher hat diese Funktion keine Definitionslücken im Gegensatz zu

  $f(x)=\frac{x^3+2x-5}{x-3}$

  mit der Definitionslücke $x=3$.

  Nun betrachten wir die Funktion

  $f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}$.

  Wir berechnen wieder die Nullstellen des Nenners und erhalten zwei Lösungen $x_1=1$ und $x_2=-1$. Wenn der Zähler ebenfalls dieselbe Nullstelle besitzt, so nennt man die Stelle eine hebbare Definitionslücke. Dies ist für $x_1=1$ der Fall. Andernfalls nennt man die Definitionslücke, wie $x_2=-1$, Polstelle.

• Untersuche die Funktion auf Polstellen, hebbare Definitionslücken und Asymptoten.

  Tipps

  Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind Definitionslücken der Funktion.

  Eine hebbare Definitionslücke liegt vor, wenn der Zähler und der Nenner dieselbe Nullstelle haben.

  Senkrechte Asymptoten liegen an Polstellen vor.

  Du kannst die binomischen Formeln zum Umformen der Funktion anwenden.

  Lösung

  Wir bestimmen als Erstes die Nullstellen des Nennerpolynoms:

  $x\cdot (x-2) = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x_{n_1}= 0~,~~x_{n_2}=2$.

  Nun prüfen wir, ob der Zähler ebenfalls eine Nullstelle bei $0$ oder $2$ hat:

  $x^2-4=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x_{z_1}= 2~,~~ x_{z_2}=-2$.

  Da beide Polynome die Nullstelle $2$ besitzen, ist dies eine hebbare Definitionslücke und somit $x_{n_1}= 0$ eine Polstelle mit einer senkrechten Asymptote bei $x=0$.

  Durch Umformung der Funktion $f(x)$ (oder durch eine Polynomdivision) können wir dies ebenfalls feststellen:

  $f(x)=\frac{x^2-4}{x\cdot (x-2)}=\frac{(x+2)\cdot (x-2)}{x\cdot (x-2)}= \frac{(x+2)}{x} = 1 + \frac{2}{x}$

  Außerdem erkennen wir nun, dass für $a(x)=1$ die Funktion eine waagerechte Asymptote hat.

• Bestimme mithilfe von Polynomdivision die Asymptoten der Funktionen.

  Tipps

  Der Grad des Zählers kann kleiner, größer oder auch gleich dem Grad des Nenners sein.

  Es gibt echt gebrochenrationale und unecht gebrochenrationale Funktionen. Was trifft auf diese Aufgabe zu?

  Man erhält die Gleichung der schiefen Asymptote mithilfe der Polynomdivision. Bedenke, dass du den Restterm in deiner Lösung außer Acht lassen kannst.

  Senkrechte Asymptoten existieren stets an Polstellen.

  Lösung

  Der Zähler der Funktion

  $f(x)=\frac{x^2+6x+12}{x+3}$

  hat den Grad $2$, der Nenner den Grad $1$, somit ist $f(x)$ eine unecht gebrochenrationale Funktion und besitzt eine schiefe Asymptote.

  Die Gleichung der schiefen Asymptote berechnen wir mithilfe der Polynomdivision:

  $(x^2+6x+12): (x+3)=x+3+\frac{3}{x+3}$.

  Den Restterm können wir außer Acht lassen (da er gegen Null geht) und erhalten somit als schiefe Asymptote die Gerade

  $y=x+3$.

  Senkrechte Asymptoten sind stets an Polstellen vorhanden.

  Da $x = -3$ nur eine Nullstelle des Nenners und nicht des Zählers ist, hat die Funktion an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote.

• Gib an, welche Aussagen zu den Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen wahr sind.

  Tipps

  Eine Asymptote beschreibt eine Gerade, der sich eine Funktion im Unendlichen annähert.

  Eine Nullstelle, die man kürzen kann, nennt man hebbare Definitionslücke. Die Funktion und ihr Graph verhalten sich an dieser Stelle ganz normal.

  Wenn Grad des Zählerpolynoms größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, kann man eine Polynomdivision durchführen. Das Ergebnis stellt eine lineare Funktion und einen Restterm dar.

  Lösung

  Um die Definitionslücken einer gebrochenrationalen Funktion zu bestimmen, berechnet man die Nullstellen des Nenners der Funktion, da dieser nicht Null werden darf. Man unterscheidet dabei zwischen hebbaren Definitionslücken und Polstellen. Hebbar sind solche, die man durch Termumformungen kürzen kann. Dies ist der Fall, wenn der Zähler die gleiche Nullstelle besitzt wie der Nenner. Sollte dies nicht der Fall sein, so spricht man von Polstellen. An einer Polstelle hat die Funktion dann stets eine senkrechte Asymptote.

  Handelt es sich bei der Funktion um eine echt gebrochenrationale Funktion, so ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad und die Funktion besitzt eine waagerechte Asymptote. Untersucht man eine unecht gebrochenrationale Funktion, deren Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist, so erhält man durch Polynomdivision eine lineare Funktion und einen Restterm. Die Gerade der linearen Funktion stellt eine schiefe Asymptote der gebrochenrationalen Funktion dar.

• Ermittle die Polstellen, die hebbaren Definitionslücken sowie die Asymptoten und die Nullstellen der gegebenen Funktion.

  Tipps

  Eine hebbare Definitionslücke liegt vor, wenn der Zähler und der Nenner dieselbe Nullstelle haben.

  Senkrechte Asymptoten liegen an Polstellen vor.

  Schiefe Asymptoten erhältst du mithilfe der Polynomdivision. Dividiere das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom.

  Setze das Zählerpolynom gleich Null, um die Nullstellen der Funktion zu berechnen.

  Lösung

  Wir formen als erstes die Funktion um, indem wir ein $x$ ausklammern und anschließend kürzen:

  $f(x)=\frac{x^3+2x^2-3x}{x^2+5x}= \frac{x(x^2+2x-3)}{x(x+5)} = \frac{x^2+2x-3}{x+5}$.

  Da wir die Nullstelle $x = 0$ des Nenners kürzen konnten, liegt an dieser Stelle eine hebbare Definitionslücke vor. Lediglich $x = -5$ ist eine Polstelle der Funktion und somit auch eine senkrechte Asymptote.

  Um die schiefe Asymptote zu berechnen, dividieren wir das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom und erhalten:

  $(x^2+2x-3) : (x+5)=x-3+\frac{12}{x+5}$.

  $y=x-3$ ist also unsere schiefe Asymptote, welche die Form einer Geraden hat.

  Als letztes berechnen wir noch die Nullstellen der Funktion, indem wir $f(x) = 0$ setzen. Bei gebrochenrationalen Funktionen kann man die Berechnung der Nullstellen abkürzen, indem man gleich das Zählerpolynom mit Null gleichsetzt und die Nullstellen berechnet.

  Wir verwenden dafür die p-q-Formel:

  $\begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{2}{2}\pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-(-3)} \\ x_1 &=-1+2=1 \\ x_2 &=-1-2=-3 \end{align*}$.

  Da $x_1=1$ und $x_2=-3$ im Definitionsbereich enthalten sind, sind dies die Nullstellen der Funktion.