Gebrochen rationale Funktion – Pol und Definitionslücke

Gebrochen rationale Funktion – Pol und Definitionslücke Übung

• Zeige auf, um was für eine Polstelle es sich jeweils handelt.

  Tipps

  Um zu entscheiden, ob es sich um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt, näherst du dich der Polstelle einmal von links und einmal von rechts an und betrachtest die jeweiligen Funktionswerte.

  Gehen die Werte aus der einen Richtung gegen $+\infty$ und aus der anderen gegen $-\infty$, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

  Lösung

  Ein Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion ist ein Bruch, bei dem im Zähler und Nenner jeweils ein Polynom zu finden ist.

  Eine Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion ist eine Stelle auf der $x$-Achse, bei der der Zähler ungleich $0$ und der Nenner gleich $0$ ist. Da der Nenner $0$ ist und wir nicht durch $0$ teilen dürfen, ist die Funktion an dieser Stelle nicht definiert. Wir können aber sehr wohl etwas über das Verhalten des Graphen sagen.

  Um zu entscheiden, ob es sich um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt, näherst du dich der Polstelle einmal von links und einmal von rechts. Gehen die Werte jeweils gegen $+\infty$ oder $-\infty$ ist es eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Gehen die Werte aus der einen Richtung gegen $+\infty$ und aus der anderen gegen $-\infty$, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

  Somit erhalten wir

  Bild 1

  links: $+\infty$, rechts: $+\infty$ $\Rightarrow$ Polstelle ohne VZ-Wechsel

  Bild 2

  links: $+\infty$, rechts: $-\infty$ $\Rightarrow$ Polstelle mit VZ-Wechsel

  Bild 3

  links: $-\infty$, rechts: $-\infty$ $\Rightarrow$ Polstelle ohne VZ-Wechsel

  Bild 4

  links: $-\infty$, rechts: $+\infty$ $\Rightarrow$ Polstelle mit VZ-Wechsel

• Gib an, ob die Funktion an der angegebenen Stelle eine Polstelle hat.

  Tipps

  Ein Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion ist ein Bruch, bei dem im Zähler und Nenner jeweils ein Polynom zu finden ist. Für die Polstellen müssen beide Polynome auf Nullstellen untersucht werden.

  Für eine Polstelle muss zu einem gegebenen $x$ der Zähler ungleich $0$ sein.

  $\dfrac{x^2-9}{x-1}~$ hat keine Polstelle bei $x=3$, da für den Nenner $3-1=2\neq0$ gilt.

  Lösung

  Ein Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion ist ein Bruch, bei dem im Zähler und Nenner jeweils ein Polynom zu finden ist.

  Eine Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion ist eine Stelle auf der $x$-Achse, bei der der Zähler ungleich $0$ und der Nenner gleich $0$ ist.

  Damit sind die folgenden Aussagen richtig:

  • $\dfrac{22x^2+10x}{x-5}~$ hat eine Polstelle bei $x=5$

  Denn für den Zähler gilt $22\cdot 5^2+10 \cdot 5 = 600\neq0$ und für den Nenner $5-5=0$.

  • $\dfrac{x^2+2x-4}{x-2}~$ hat eine Polstelle bei $x=2$

  Denn für den Zähler gilt $2^2+2\cdot 2-4 = 4\neq0$ und für den Nenner $2-2=0$.

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • $\dfrac{x^2+2x-4}{x-2}~$ hat eine Polstelle bei $x=0$

  Der Nenner ist ungleich $0$, da $0-2=-2\neq0$ gilt.

  • $\dfrac{22x^2+10x}{x-5}~$ hat eine Polstelle bei $x=0$

  Der Nenner ist ungleich $0$, da $0-5=-5\neq0$ gilt.

  • $\dfrac{x^2-4}{x-2}~$ hat eine Polstelle bei $x=2$

  Der Nenner ist bei $x=2$ zwar gleich $0$, aber auch der Zähler ist gleich $0$, da $2^2-4=4-4=0$ gilt. Damit ist $x=2$ keine Polstelle.

• Ermittle die Polstellen.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Nullstellen des Nenners. Sind diese nicht gleichzeitig Nullstellen des Zählers, handelt es sich um Polstellen.

  Die Funktion $f(x)=3x^2+3x$ hat $x=0$ als Nullstelle, da du das $x$ ausklammern kannst. Für die zweite Nullstelle betrachtest du den übrigen Funktionsterm.

  $\begin{array} 3x^2-3x &= 0 &|~x~\text{ausklammern}\\ x\cdot(3x-3)&=0 \end{array}$

  Eine Nullstelle bei $x_1=0$.

  $\begin{array} 3x-3&=0&|+3\\ 3x&=3&|:3\\ x&=1\\ \end{array}$

  Zweite Nullstelle bei $x_2=1$.

  Lösung

  Erster Funktionsterm: $\dfrac{3x^2+10x}{x^2-16}$

  Finde die Nullstellen von $x^2-16$:

  $\begin{array}{rll} x^2-16 &= 0 &|+16\\ x^2&=16 &|\sqrt{~}\\ x&=\pm 4 \end{array}$

  Überprüfe, ob diese Nullstellen des Zählers sind:

  • $3\cdot 4^2+10\cdot 4 = 48+40=98\neq0$
  • $3\cdot (-4)^2+10\cdot (-4) = 48-40=8\neq0$

  Damit sind $x_1=4$ und $x_2=-4$ Polstellen.

  Zweiter Funktionsterm: $\dfrac{x^2+10x-11}{3x+27}$

  Finde die Nullstellen von $3x+27$:

  $\begin{array}{rll} 3x+27&= 0 &|-27\\ 3x&=-27 &|:3\\ x&=-9 \end{array}$

  Überprüfe, ob $x=-9$ eine Nullstelle des Zählers ist:

  • $(-9)^2+10\cdot(-9)-11 = 81-90-11=-20\neq0$

  Damit ist $x=-9$ eine Polstelle.

  Dritter Funktionsterm: $\dfrac{13x^4+3}{2x^2-2x}$

  Finde die Nullstellen von $2x^2-2x$:

  $\begin{array}{rll} 2x^2-2x &= 0 &|~x~\text{ausklammern}\\ x\cdot(2x-2)&=0 \end{array}$

  Eine Nullstelle bei $x_1=0$.

  $\begin{array}{rll} 2x-2&=0&|+2\\ 2x&=2&|:2\\ x&=1\\ \end{array}$

  Überprüfe, ob $x_1=0$ und $x_2=1$ Nullstellen des Zählers sind:

  • $13\cdot 0^4+3 = 0+3=3\neq0$
  • $13\cdot 1^4+3 = 13+3=16\neq0$

  Damit sind $x_1=0$ und $x_2=1$ Polstellen.

• Bestimme die Polstellen.

  Tipps

  Du kannst die Aufgabe zeichnerisch lösen, indem du die Graphen aufzeichnest. Oder du berechnest die Polstellen und betrachtest dann ihr Verhalten für $x$ gegen die Polstelle.

  Geht $x$ in beiden Richtungen gegen $+\infty$ oder $-\infty$, ist es eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Geht $x$ aber in einer Richtung gegen $+\infty$ und in der anderen gegen $-\infty$, ist es eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

  Lösung

  Zunächst die dritte Funktion: $~f_3 (x)=\dfrac{2x^2-x-4}{x^2-9}$

  Das Bild zeigt die graphische Lösung. Wir finden zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei $x_1=3$ und $x_2=-3$.

  Erste Funktion: $~f_1 (x)=\dfrac{2x^2+5x-1}{4x-12}$

  Finde Nullstelle des Nenners ($4x-12$):

  $\begin{array}{rll} 4x-12&= 0 &|+12\\ 4x&=12 &|:4\\ x&=3 \\ \end{array}$

  Überprüfe, ob es keine Nullstelle des Zählers ist:

  • $2\cdot 3^2+5\cdot 3-1 = 18+15-1=32\neq0$

  Nun wollen wir uns der $3$ von rechts annähern, also $x\rightarrow 3$ und $x>3$:

  Zähler: $~\overbrace{2x^2}^{>18}+\overbrace{5x-1}^{>14}$

  Nenner: $~\overbrace{4x-12}^{>0}$

  Daraus folgt: $~\dfrac{2x^2+5x-1}{4x-12} ~\Rightarrow ~\dfrac{\rightarrow + 32}{\rightarrow >0} \rightarrow +\infty $

  Nun wollen wir uns der $3$ von links annähern, also $x\rightarrow 3$ und $x<3$:

  Zähler: $~\overbrace{2x^2}^{>0}+\overbrace{5x-1}^{> 0 ~\text{für x nahe}~3}$

  Nenner: $~\overbrace{4x-12}^{<0}$

  Daraus folgt: $~\dfrac{2x^2+5x-1}{4x-12} ~ \Rightarrow ~ \dfrac{\rightarrow >0}{\rightarrow <0} \rightarrow -\infty $

  Es handelt sich also um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

  Zweite Funktion: $~f_2 (x)=\dfrac{3x^2+x-5}{x^2}$

  Doppelte Polstelle bei $x=0$, da:

  • Nenner: $0^2=0$
  • Zähler: $3\cdot 0^2+0-5=-5\neq0$

  Nun wollen wir uns der $0$ von rechts annähern, also $x\rightarrow 0$ und $x>0$:

  Zähler: $~\overbrace{3x^2+x-5}^{<0~\text{für x nahe } 0}$

  Nenner: $~\overbrace{x^2}^{>0}$

  Daraus folgt: $~\dfrac{3x^2+x-5}{x^2} ~ \Rightarrow ~ \dfrac{\rightarrow <0}{\rightarrow >0} \rightarrow -\infty $

  Nun wollen wir uns der $0$ von links annähern, also $x\rightarrow 0$ und $x<0$:

  Zähler: $~\overbrace{3x^2+x-5}^{<0~\text{für x nahe } 0}$

  Nenner: $~\overbrace{x^2}^{>0}$

  Daraus folgt: $~\dfrac{3x^2+x-5}{x^2} ~ \Rightarrow ~ \dfrac{\rightarrow <0}{\rightarrow >0} \rightarrow -\infty $

  Es handelt sich also um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

• Vervollständige die Definitionen.

  Tipps

  Eine gebrochenrationale Funktion sieht zum Beispiel so aus: $\dfrac{22x^2+10x}{x-5}$.

  $\dfrac{22x^2+10x}{x-5}~ $ hat bei $x=5$ eine Definitionslücke.

  $\dfrac{22x^2+10x}{x-5}~$ hat bei $x=0$ eine Nullstelle.

  Lösung

  • Ein Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion ist ein Bruch, bei dem im Zähler und Nenner jeweils ein Polynom zu finden ist.

  Eine gebrochenrationale Funktion sieht zum Beispiel so aus: $\dfrac{22x^2+10x}{x-5}$

  • Bei einer Nullstelle des Nennerpolynoms ist die gebrochenrationale Funktion nicht definiert, da nie durch $0$ geteilt werden darf.

  Somit ist $\dfrac{22x^2+10x}{x-5}$ bei $x=5$ nicht definiert.

  • Eine Polstelle einer gebrochenrationalen Funktion ist eine Stelle auf der $x$-Achse, bei der der Zähler des Funktionsterms ungleich $0$ und der Nenner gleich $0$ ist.

  Das heißt $\dfrac{22x^2+10x}{x-5}$ hat bei $x=5$ eine Polstelle, denn es gilt für den Zähler $22\cdot 5^2+10\cdot 5=600\neq 0$ und für den Nenner $5-5=0$.

  • Eine Nullstelle einer gebrochenrationalen Funktion ist eine Stelle auf der $x$-Achse, bei der der Nenner des Funktionsterms ungleich $0$ und der Zähler gleich $0$ ist.

  Das heißt $\dfrac{22x^2+10x}{x-5}$ hat bei $x=0$ eine Nullstelle, denn es gilt für den Zähler $22\cdot 0^2+10\cdot 0=0$ und für den Nenner $0-5\neq0$.

• Ordne den Funktionen ihre Graphen zu.

  Tipps

  Um Graphen zu analysieren, solltest du zunächst die Nullstellen und Polstellen bestimmen.

  Betrachte dann die Polstellen und das Verhalten des Graphen, wenn $x$ gegen die Polstelle geht.

  Lösung

  Erste Funktionsgleichung: $~f(x)=\dfrac{x-3}{5x+5}$

  Nullstellen der Funktion entsprechen den Nullstellen des Zählers, die keine Nullstellen des Nenners sind:

  Nullstelle:

  $\begin{array}{rll} x-3&=0&|+3\\ x&=3\\ \end{array}$

  und: $~5\cdot 3+5 =20 \neq 0$.

  Polstelle:

  $\begin{array}{rll} 5x+5&=0&|-5\\ 5x&=-5&|:5\\ x&=-1\\ \end{array}$

  und $~ -1-3=-4$.

  Da es zwei Graphen mit diesen Pol- und Nullstellen gibt, müssen wir das Verhalten für $x\rightarrow -1$ für $x<-1$ untersuchen.

  Zähler: $~\overbrace{x-3}^{<0}$

  Nenner: $~\overbrace{5x+5}^{<0}$

  Damit gilt: $~\dfrac{x-3}{5x+5}\rightarrow \frac{<0}{<0} \rightarrow +\infty$

  Für das Verhalten von $x\rightarrow -1$ für $x>-1$ gilt:

  Zähler: $~\overbrace{x-3}^{<0 ~\text{für } x \text{ nahe } -1}$

  Nenner: $~\overbrace{5x+5}^{>0}$

  Damit gilt: $~\dfrac{x-3}{5x+5}\rightarrow \frac{<0}{>0} \rightarrow -\infty$

  $\Rightarrow$ Vorzeichenwechsel: von links geht es gegen $+\infty$ und von rechts gegen $-\infty$

  Damit gehört der grüne Graph dazu.

  Zweite Funktionsgleichung: $~g(x)=\dfrac{3x-1}{(x+1)^2}$

  Nullstelle: $~3x-1=0 \rightarrow x=\frac13$

  Doppelte Polstelle bei:

  $\begin{array}{rrl} (x+1)^2&=0 &|\sqrt{~}\\ \pm (x+1) &= 0 \\ \end{array}$

  $x_1+1=0 \Rightarrow x_1=-1$

  $-x_2-1=0 \Rightarrow x_2=-1$

  Damit gehört der blaue Graph dazu.

  Dritte Funktionsgleichung: $~h(x)=\dfrac{3-x}{5x+5}$

  Nullstelle: $~x=3$

  Polstelle: $~x=-1$

  $\Rightarrow$ Vorzeichenwechsel: von links geht es gegen $-\infty$ und von rechts gegen $+\infty$

  Damit gehört der gelbe Graph dazu.

  Vierte Funktionsgleichung: $~i(x)=\dfrac1{x^2}$

  Nullstelle: keine, da der Zähler von $ i(x)$ niemals $0$ ist.

  Polstelle: $~x=0$

  Damit gehört der rote Graph dazu.