Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken
Drachenvierecke sind Vierecke mit benachbarten gleich langen Seiten und sind achsensymmetrisch entlang einer Diagonale. Du erfährst mehr über spezielle Drachenvierecke wie Rhomben und Quadrate. Ebenso lernst du, wie man Umfang und Flächeninhalt von Drachenvierecken, Rhomben und Quadraten berechnet. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
- Drachenviereck – Definition
- Flächeninhalt und Umfang von Drachenvierecken
- Flächeninhalt und Umfang von Rauten
- Flächeninhalt und Umfang von Quadraten
- Zusammenfassung – Umfang und Flächeninhalt von Drachenvierecken, Rauten und Quadraten
- Bildergalerie zum Thema: Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken
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Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken Übung
-
Beschreibe die Eigenschaften der Vierecke.
TippsDie Symmetrieachse dieses Drachenvierecks verläuft entlang der Diagonalen f.
Du siehst hier einen Rhombus. Wie nennt man diese geometrische Form noch?
LösungWeil jede Raute und jedes Quadrat spezielle Drachenvierecke sind, treffen alle Eigenschaften eines Drachenvierecks auch auf jede Raute und jedes Quadrat zu. Ein Quadrat ist zudem eine spezielle Raute, sodass es ebenso auch alle Eigenschaften der Raute erfüllt.
Ein Drachenviereck
- besitzt je zwei benachbarte, gleich lange Seiten.
- ist achsensymmetrisch und die Symmetrieachse verläuft entlang einer der beiden Diagonalen. Die andere Diagonale wird von dieser genau halbiert. Beide Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
- besitzt somit auch zwei gleich große gegenüberliegende Winkel.
- erfüllt alle Eigenschaften eines Drachenvierecks.
- besitzt außerdem vier gleich lange Seiten und zwei Symmetrieachsen, die entlang der beiden Diagonalen verlaufen.
- besitzt zwei Diagonalen, die sich jeweils gegenseitig halbieren.
- erfüllt alle Eigenschaften einer Raute und somit auch eines Drachenvierecks.
- besitzt zusätzlich vier rechte Winkel.
- besitzt zusätzlich zwei gleich lange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren.
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Gib die passenden Formeln an und berechne die gesuchten Größen.
TippsDu kannst das Drachenviereck an der Symmetrieachse in zwei gleich große Dreiecke zerlegen. Ein solches Dreieck hat den folgenden Flächeninhalt:
- $A_{\text{Dreieck}}=\frac 12\cdot f\cdot \frac e2=\frac 14\cdot f\cdot e$
Der Umfang ist die Länge der Begrenzungslinie einer Figur, also die Summe aller Seitenlängen.
Die Fläche von Drachenviereck und Raute berechnest du mit derselben Formel.
LösungDer Umfang ist die Länge der Begrenzungslinie einer Figur, also die Summe aller Seitenlängen. Für das Drachenviereck erhalten wir also:
- $U_{\text{Drachenviereck}}=a+a+b+b=2\cdot a+2\cdot b$
- $U_{\text{Raute}}=a+a+a+a=4\cdot a$
- $A_{\text{Dreieck}}=\frac 12\cdot f\cdot \frac e2=\frac 14\cdot f\cdot e$
- $A=2\cdot \frac 14\cdot f\cdot e=\frac 12\cdot f\cdot e$
Drachenviereck
$U=2\cdot 2,6\ \text{cm}+2\cdot 7,4\ \text{cm}=5,2\ \text{cm}+14,8\ \text{cm}=20\ \text{cm}$
$A=\frac 12\cdot 8\ \text{cm}\cdot 4,8\ \text{cm}=19,2\ \text{cm}^2$
Raute
$U=4\cdot 5,1\ \text{cm}=20,4\ \text{cm}$
$A=\frac 12\cdot 9\ \text{cm}\cdot 4,8\ \text{cm}=21,6\ \text{cm}^2$
-
Bestimme jeweils den Flächeninhalt der Vierecke.
TippsDer Flächeninhalt entspricht der Hälfte des Produkts der beiden Diagonalen.
Bei einem Quadrat sind beide Diagonalen gleich lang.
LösungDen Flächeninhalt berechnen wir mit der Formel:
$A=\frac 12\cdot e\cdot f$
Da bei dem Quadrat $f=e$ gilt, vereinfacht sich die Formel für das Quadrat zu:
$A=\frac 12\cdot e^2$
Damit erhalten wir die folgenden Berechnungen:
Beispiel 1
Gegeben ist eine Raute mit $e=4\ \text{cm}$ und $f=12\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:
$A=\frac 12\cdot 4\ \text{cm}\cdot 12\ \text{cm}=24\ \text{cm}^2$
Beispiel 2
Gegeben ist ein Drachenviereck mit $e=4\ \text{cm}$ und $f=8\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:
$A=\frac 12\cdot 4\ \text{cm}\cdot 8\ \text{cm}=16\ \text{cm}^2$
Beispiel 3
Gegeben ist eine Raute mit $e=6\ \text{cm}$ und $f=4\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:
$A=\frac 12\cdot 6\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm}=12\ \text{cm}^2$
Beispiel 4
Gegeben ist ein Quadrat mit $e=6\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:
$A=\frac 12\cdot (6\ \text{cm})^2=18\ \text{cm}^2$
-
Ermittle jeweils den Umfang und den Flächeninhalt der Vierecke.
TippsDer Umfang entspricht der Länge der Begrenzungslinie einer ebenen Figur.
Eine Raute besitzt vier gleich lange Seiten. Ein Drachenviereck besitzt je zwei benachbarte gleich lange Seiten.
LösungDer Umfang einer ebenen Figur entspricht der Länge ihrer Begrenzungslinie. Hierzu addieren wir also alle Seitenlängen der ebenen Figur. Damit gilt:
- Drachenviereck: $~U=a+a+b+b=2\cdot a+2\cdot b$
- Raute: $~U=a+a+a+a=4\cdot a$
- $A=\frac 12\cdot e\cdot f$
Beispiel 1
Gegeben ist eine Raute mit $a=5\ \text{cm}$, $e=8\ \text{cm}$ und $f=6\ \text{cm}$. Damit folgt:
- $U=4\cdot 5\ \text{cm}=20\ \text{cm}$
- $A=\frac 12 \cdot 8\ \text{cm}\cdot 6\ \text{cm}=24\ \text{cm}^2$
Gegeben ist ein Drachenviereck mit $a=4,2\ \text{cm}$, $b=5\ \text{cm}$, $e=6\ \text{cm}$ und $f=7\ \text{cm}$. Damit folgt:
- $U=2\cdot 4,2\ \text{cm}+2\cdot 5\ \text{cm}=18,4\ \text{cm}$
- $A=\frac 12 \cdot 6\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}=21\ \text{cm}^2$
Gegeben ist eine Raute mit $a=8,6\ \text{cm}$, $e=14\ \text{cm}$ und $f=10\ \text{cm}$. Damit folgt:
- $U=4\cdot 8,6\ \text{cm}=34,4\ \text{cm}$
- $A=\frac 12 \cdot 14\ \text{cm}\cdot 10\ \text{cm}=70\ \text{cm}^2$
-
Berechne den Flächeninhalt des Quadrats mithilfe der Diagonalen.
TippsDu kannst das Quadrat wie dargestellt zerlegen. Den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks erhältst du, indem du das Produkt aus Grundseite und Höhe halbierst.
Zwei dieser Dreiecksflächen ergeben den Flächeninhalt des Quadrats.
Es gilt $e\cdot e=e^2$.
LösungSind die Seiten $a$ eines Quadrats gegeben, so können wir den Flächeninhalt eines Quadrats wie folgt berechnen:
- $A=a^2$
- $A_{\text{Dreieck}}=\frac 12 \cdot e\cdot \frac e2=\frac 14\cdot e^2$
- $A_{\text{Quadrat}}=2\cdot\frac 14\cdot e^2=\frac 12\cdot e^2$
- $A_{\text{Quadrat}}=\frac 12\cdot (8\ \text{cm})^2=\frac 12\cdot 64\ \text{cm}^2=32\ \text{cm}^2$
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Erschließe die minimale und maximale Zaunlänge.
TippsEin Drachenviereck hat zwei Paar gleich lange Seiten. Die gleich langen Seiten liegen sich nicht gegenüber.
An welchen beiden Seiten müsste man den Zaun anbringen, damit er am kürzesten ist?
Für welche zwei Seiten erhältst du den längsten Zaun?
Mithilfe des Umfangs und einer gegebenen Seitenlänge kannst du die anderen Seitenlängen des Drachenvierecks ausrechnen.
LösungDa ein Drachenviereck zwei Paar gleich lange, benachbarte Seiten hat, können wir direkt annehmen, dass die beiden kürzeren Seiten des Drachenvierecks je $6\ \text{m}$ lang sind. Wir können nun diese beiden Seiten vom Umfang abziehen und die Differenz durch zwei teilen. So erhalten wir die Länge der beiden längeren Seiten des Drachenvierecks:
$(38\ \text{m} - 2\cdot 6\ \text{m}):2 = 13\ \text{m}$
Für die beiden längeren Seiten erhalten wir somit je $13\ \text{m}$. Damit folgt für die minimale und maximale Zaunlänge:
$L_{\text{min}}=2\cdot 6\ \text{m}=12\ \text{m}$
$L_{\text{max}}=2\cdot 13\ \text{m}=26\ \text{m}$
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