Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks bestimmen – Standardlösung 14:42 min

Hallo, wir haben einen Würfel, hier aufgemalt, dort im Modell. Der Würfel hat die Kantenlänge 4. Der Punkt A des Würfels, also der hier, ist im Koordinatenursprung, z.B. hat B hier die Koordinaten (4/0/0) und G hat die Koordinaten, das wäre dieser Punkt hier. Der hat die Koordinaten (4/4/4). Einbeschrieben ist ein Dreieck, und zwar verbindet ... es ist ein gleichseitiges Dreieck, dieses gleichseitige Dreieck verbindet die Seitenmitten M1 und M2 mit E. Das Dreieck heißt also M1,M2,E. Die Seitenmitten haben wir hier als Koordinaten gegeben. Die Seitenmitte hier also von AEFB, das ist M1. Die Seitenmitte von ADHE, das ist M2. Hier ist also M2, da ist M1, hier angedeutet durch diese gelben Punkte. Ja, ich dreh das mal ein bisschen, ich weiß nicht, aus welcher Perspektive es für dich das Beste ist. So, Aufgabe ist: Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Ich möchte 2 Lösungen zeigen. Eine ist vielleicht etwas umständlicher, läuft sehr standardmäßig ab. Für dich ist es lehrreich, sie jetzt anzugucken, wenn du wissen möchtest: Welche Standardoperationen muss ich denn können? Die zeige ich dann jetzt hier, also alles, was ich jetzt in dieser etwas umständlicheren Lösung zeige, musst du komplett alles können. In der anderen Lösung, die geht etwas schneller, da muss man aber die Idee haben. So ist das häufig in Abituraufgaben: Man kann die schnell erledigen, wenn man eine richtige Idee hat und wenn man keine hat, geht es auch, man braucht aber etwas länger und muss etwas mehr rechnen. So, das soll jetzt mal gut gewesen sein, mit dem Drehen hier. Ich fange jetzt an zu schreiben, und zwar: Wenn wir den Flächeninhalt bestimmen sollen, eines Dreiecks, dann wissen wir, es geht um 1/2×Grundseite×Höhe, Länge der Grundseite mal Länge der Höhe natürlich. Ich möchte zunächst mal hier die Länge der Höhe ableiten, also hier bestimmen. Die Höhe geht von diesem Punkt aus, von E auf die Seitenmitte von M1M2. Woher weiß ich das? Es ist ein gleichseitiges Dreieck und da ist das so, das darf ich einfach voraussetzen. Das heißt also: Wenn ich also wüsste, welcher Punkt oder welche Koordinaten die Seitenmitte M1M2 hat, dann könnte ich ja sehr einfach die Länge von E zur Seitenmitte bestimmen und ebenso könnte ich die Länge von M1 und M2 bestimmen. Und dann ist die Aufgabe fast erledigt, dann muss ich es nur noch in die Formel einsetzen. Das ist also meine Strategie. Zunächst mal: Wie bekomme ich die Seitenmitte von M1M2? Na, ich muss also die Hälften der Ortsvektoren von M1 und M2 addieren. Und die Summe, die da rauskommt, ist ein Vektor und dieser Vektor ist der Ortsvektor von M3. M3 soll dann die Seitenmitte von M1M2 sein. Das schreibe ich jetzt auf: 1/2×(Ortsvektor von A zu M1). Das ist, das sehen wir hier: Der hat die Koordinaten (2;0;2) und dann müssen wir addieren, und zwar die Hälfte des Ortsvektors also hier: 1/2×(den Ortsvektor zu M2). Der hat die Koordinaten (0;2;2). Das steht hier, das kann ich einfach ablesen. Heraus kommt: Der Ortsvektor zur Seitenmitte von M1 und M2. Also das kann ich jetzt bitte im Kopf: also (1/2×2)+(1/2×0)=1, denn die Hälfte von 2 ist 1. Auch das wird im Abitur abgefragt. Hier steht: 0, 1/2×2 ist wieder 1 und (1/2×2)+(1/2×2) ist 1/2×2=1, 1+1=2. Dann habe ich hier den Ortsvektor zur Seitenmitte, ich nenne den mal AM3. Das ist der Vektor, der ist so definiert. Und da steht er. Als Nächstes möchte ich jetzt die Länge dieser Höhe bestimmen, also die Höhe geht von E1 auf M3. M3 ist hier, das zeichne ich jetzt nicht ein, damit das nicht zu wild wird hier in dieser Zeichnung. Die Länge bestimme ich, indem ich den Differenzvektor bilde und dann die Länge dieses Diefferenzvektors bestimme. Also ich möchte den Differenzvektor haben M3E. Den Vektor suche ich und das ist der Vektor, den ich erhalte, indem ich den Ortsvektor von E, also (0/0/4), das kannst du hier sehen, nicht wahr: Du musst ja nur vom Koordinatenursprung 4 Einheiten nach oben gehen, keine Einheiten in x-Richtung, keine Einheiten in y-Richtung. Minus den Ortsvektor von M3, der steht hier, also (1;1;2) und dann erhalte ich hier den Vektor (-1;-1;2). Das ist also ... Ja ich hoffe du kannst das alles richtig sehen, mit meinem lustigen Modell hier im Weg. Ich zeige es noch mal. M3E, dieser Vektor hat also jetzt die Koordinaten (-1;-1;2). Wenn ich jetzt die Länge dieses Vektors bestimmen möchte, dann muss ich die Wurzel ziehen aus der Summe der Koordinatenquadrate des Vektors. Wir haben ja schon die Länge der Höhe, ich müsste das noch bezeichnen, was das ist. Die werden alle addiert. Das ist also die Summer der Koordinatenquadrate und daraus möchte ich die Wurzel ziehen. Das ist also jetzt die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Ja, und das kann man auch im Kopf: -1²=1; -1²=1; 2²=4; 1+1+4=6. Also steht hier /sqrt6. Das kann man auch nicht schöner schreiben. Aber ich darf noch mal den Taschenrechner werfen. Wenn du diese Rechnungen hier alle mit deinem blöden Taschenrechner machst, dann hast du keine Ahnung, wo du bist und weißt nicht, ob das richtig ist, was du tust. Und deshalb kommt der weg. Auch im Abitur brauchst du keinen Taschenrechner. Zumindest häufig brauchst du den nicht für solche Aufgaben auf jeden Fall gar nicht. Einfach, man kriegt einen besseren Überblick, wenn man es ohne macht. So, ich möchte bestimmen, die Länge der Seite M1M2. Wir haben ja schon die Länge der Höhe, ich müsste das noch bezeichnen, was das ist. Ich mache das mal ganz mittelstufenmäßig hier: Das soll einfach mal h sein, die Höhe im Dreieck. Kümmer ich mich jetzt nicht weiter drum, ob die Bezeichnungen so toll sind oder nicht. Das ist wie im Abitur bei dir auch, da muss man manchmal sagen: Ach das passt jetzt so, nicht? Also: ich möchte bestimmen, wie lang M1M2 ist, und jetzt kann ich das natürlich genauso machen. Die beiden Ortsvektoren voneinander abziehen, dann bekomme ich die Ortsvektoren von M1M2 und davon den Betrag abbilden. Das geht dann so: Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Ich möchte aber auch auf eine andere Sache hinweisen, die man hier vielleicht auch ganz gut sehen kann: Und zwar habe ich ja hier 2 gelbe Punkte in dieser Höhe hier. Das sind ja die beiden Seitenmitten, von den Seiten hier. Und wenn ich jetzt die hier, nach dahin verbinde, dann entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Also so möchte ich die hier verbinden. Das bedeutet: Wenn du das jetzt so machen möchtest, was musst du schreiben? Wir haben hier also die Koordinate, den Punkt mit der Koordinate (0;0;0) wenn wir diesen Punkt mit M1 und M2 verbinden dann entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, und zwar weil es sich hier auf den Hälften der Würfelseiten bewegt. Ich glaube das muss man nicht weiter begründen, dass dann da ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Der Punkt (0;0;2) bildet mit M1 und M2 ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel liegt beim Punkt (0;0;2). Ich denke das reicht als Begründung völlig aus. Und dann kannst du den Satz des Pythagoras verwenden, nämlich. Ach so, das muss ich noch sagen: Diese Seite hier, von hier bis dort, die hat die Länge 2. Ich hoffe, das muss ich nicht weiter begründen. Der Würfel hat die Kantenlänge 4. Wenn man von hier bis zur Hälfte geht, dann hat diese Strecke die Länge 2 und das kannst du auch einfach hinschreiben: Die Strecke (0;0;2), also M1(0;0;2) hat die Länge 2 und es ergibt sich dann als Länge für M1M2, dass ich die beiden Katheten (0;0;2)M1 (0;0;2)M2. Das sind die beiden Katheten. Hier sind sie: da eine Kathete und noch eine Kathete. Diese beiden Katheten muss ich also quadrieren und addieren, daraus die Wurel ziehen und daraus erhalte ich dann die Länge der Hypotenuse. Und das ist also hier: 2²+2²=8. /sqrt8, oder man kann natürlich auch schreiben 2×/sqrt2, unter Anwendung der einschlägigen Wurzelgesetze. Und damit habe ich also die Länge von M1M2 bestimmt.  Das ist jetzt hier kein Vektor, das ist einfach die Strecke, und das ist die Streckenlänge. Das ist so in Ordnung, hoffe ich, sollte zumindest für die meisten Lehrer in Ordnung sein. Ja, und jetzt muss ich das noch in meine Formel eingeben, für die Dreiecksfläche, und zwar haben wir A, das ist die Dreiecksfläche, der Buchstabe Groß-A. Also A-Dreieck ist jetzt 1/2×Grundseite (also hier M1M2 haben wir gesagt, könnte die Grundseite sein) Grundseite ist /sqrt8, schreibe ich mal hin. Ich weiß nicht ob mir das, was bringt, ob ich 2/sqrt2 oder /sqrt8 hinschreibe, ist ja egal. 1/2×Grundseite×Höhe. Höhe ist /sqrt6. Ja und was kommt raus? Dazu brauchst du natürlich auch wieder keinen Taschenrechner. Wenn du das eintippst, könnte es sein, dass du irgendwelche Dezimalzahlen rauskriegst, Näherungswerte, das brauchen wir nicht. Das weißt du bitte so. Du kannst also hier teilweise die Wurzel ziehen. Wenn du die beiden Radikanten zusammenfasst, da steht da also 8×6. und das ist 4×/sqrt3. Also: 8 besteht ja aus 2×2×2 und 6 besteht aus 2×3, das heißt, ich habe 4 Zweien da. Es ist also 1/2×4. 2⁴ ist ja 16, Wurzel aus 16 ist 4 ×/sqrt3 und das ist gleich 2/sqrt3. Das ist jetzt also hier. Hier unten links auf der Folie kannst du sehen: Das ist die Fläche in diesem Dreieck. Na, und was ist der einfachere Weg? Das zeige ich im zweiten Teil, bis dahin viel Spaß, tschüss.