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Exponentielles oder lineares Wachstum – Wertetabelle (1) 07:12 min

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Transkript Exponentielles oder lineares Wachstum – Wertetabelle (1)

Hallo, wenn Du Wachstum und Abnahme behandelst, Wachstum und Zerfall, oder wie immer das auch heißt, kann Dir eine typische Aufgabe entgegenkommen. Und zwar in so einer Wertetabelle. Das hier sind Messwerte zu bestimmten Zeitpunkten oder bestimmten räumlichen Punkten oder bei räumlichen Punkten. Ist egal und diese Werte wurden hier gemessen, deshalb Wertetabelle. Und es ist völlig egal, worauf sich diese Werte beziehen, Du sollst nur beurteilen, rein von der Wertetabelle her, handelt es sich um ein lineares Wachstum oder um eine lineare Abnahme. Bzw. handelt es sich um eine exponentielle Zunahme, ein exponentielles Wachstum oder um eine exponentielle Abnahme. Das was wächst und abnimmt, ist immer hier in der 2. Zeile, bzw. wenn das so ist, ist das von Dir aus gesehen, immer rechts geschrieben. Und das hier, von links nach rechts, nimmt sowieso immer zu. So notiert man das. Wenn das Zeitpunkte sind, notiert man die immer mit fortschreitender Zeit zum Beispiel. Es ist nicht die Frage, ob das hier wächst in der 1. Zeile, sondern was in der 2. Zeile passiert. Ob das exponentiell wächst oder abnimmt. Oder ob es linear wächst oder abnimmt. Nun, als erstes kannst Du Dir überlegen, nimmt das, was hier steht denn zu oder ab? Das darfst Du direkt sehen, diese Zahlen werden kleiner. Damit haben wir eine Abnahme. Ist diese Abnahme nun exponentiell oder linear? Wir wissen, wenn eine Abnahme linear ist, dann haben wir Differenzengleichheit, das heißt, wir könnten zum Beispiel: Wir könnten der Wert bei 4 nehmen und den bei 2 und die voneinander abziehen. Wir könnten auch den Wert bei 5 und bei 3 nehmen und die voneinander abziehen. Übrigens, es müssen keine benachbarten Werte sein. Ich habe jetzt extra hier 2 Werte genommen, die einen Abstand von 2 haben. Denn hier ist ja auch ein Abstand von 2. Und dann kann ich die Werte, die ich hier ausrechne mit einem Abstand von 2, mit den beiden Werten hier auch vergleichen. Die Abstände hier in der ersten Zeile müssen immer gleich sein. Da kann ich Differenzen bilder oder Koeffizienten. Und die kann ich vergleichen. Es würde nicht so viel bringen, wenn ich die Schritte mit dem Abstand 1 berücksichtigen würde. Dann hätte ich hier nämlich ein Problem. Das kann man auch beheben, aber wollte es jetzt zeigen mit zweier Abstand. Ich glaube, wir sind uns einig, das sieht man recht schnell, dass der Unterschied zwischen 1,66666 und 15 viel größer ist, als der zwischen 0,55555 und 5. Das kann keine Differenzengleichheit sein, aber wir können es mit der Quotientengleichheit probieren. Und das kannst Du mit Deinem Taschenrechner nachrechnen, ich möchte es hier für die ersten beiden Werte ohne Taschenrechner zeigen. Ich könnte also rechnen 1,66666÷15. Was bekommen wir da, wenn wir das mit Dezimalzahlen rechnen möchten? Ist ein wenig umständlich, finde ich. Ich weiß aber, 1,66666 das ist 1 2/3, im Ganzen sind das 5/3 Wenn ich also 5/3÷15, das darf man so wissen, das ist 1/9. Ein ganz normaler Doppelbruch, dass muss ich nicht noch mal erklären. Sonst kannst Du, wenn Du Schwierigkeiten hast, noch einmal bei der Bruchrechnung nachschauen. Da kommt schon mal 1/9 raus. Dann gehts gleich weiter mit dem Funktionswert hier, bei 5 und bei 3. Die kann ich auch noch teilen, dann hab ich 0,55555÷5, da sieht man den Wert eigentlich schon, den Quotientenwert. Wenn ich 5÷5=1. Wenn ich das für alle Nachkommastellen mache, kommt überall 1 raus. Das bedeutet also wir haben 0,11111. Das darf man ruhig wissen, das hatten wir oft genug in der Bruchrechnung. 0,11111=1/9. Dann würd ich mal sagen, Donnerwetter, hier kommt 1/9 raus und hier auch. Dann probier ich die beiden noch bei 7 und 5. 0,0617÷0,55555=0,111106. Aber bei 0,111106 bedeutet das, dass ein gerundeter Wert, es kommt ungefähr 1/9 raus. Und daran kann man sehen, dass hier wird auch ein gerundeter Wert gewesen sein, aber in dem Rahmen einer vernünftigen Messgenauigkeit kann man hier sagen, es handelt sich um eine exponentielle Abnahme. Denn wir haben Quotientengleichheit. Wir haben gleiche Abstände hier oben in der Zeile genommen, nämlich immer die Abstände von 2 und haben immer 1/9 rausbekommen. Und daher handelt es sich hier um eine exponentielle Abnahme. Nur als Hinweis nebenbei 1/9 ist kleiner als 1. Daher handelt es sich hier um eine Abnahme. Das es sich um eine Abnahme handelt haben wir sowieso schon gesehen. Aber allgemein gilt ja, wenn der Quotient größer ist als 1 ist es eine Zunahme, wenn der Quotient kleiner ist als 1 ist es eine Abnahme. Und das passt hier wunderbar. Viel Spaß damit, tschüss

1 Kommentar
  1. Default

    Gutes video aber könnten sie vielleicht die Unterschiede in einer Tabelle veranschaulichen

    Von Abdosarah, vor etwa einem Jahr

Exponentielles oder lineares Wachstum – Wertetabelle (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentielles oder lineares Wachstum – Wertetabelle (1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Schildere, warum die Tabelle kein lineares Wachstum beschreibt.

    Tipps

    Ein lineares Wachstum erkennt man an Differenzengleichheit in der Wertetabelle.

    Überprüfe jeweils zwei der unteren Werte. Dabei müssen sie, im Hinblick auf die oberen Werte, immer den gleichen Abstand besitzen!

    Lösung

    Um an einer Wertetabelle erkennen zu können, ob es sich um ein lineares Wachstum handelt, muss man ihre Werte auf Differenzengleichheit überprüfen.

    Dabei muss man die unteren (bei einer senkrecht ausgerichteten Tabelle die rechten) Werte miteinander vergleichen.

    Dazu nehmen wir jeweils zwei Werte. Wichtig ist, dass die jeweils oberen (linken) Partner unserer Werte den gleichen Abstand besitzen.

    Vergleichen wir zum Beispiel

    • $f(2) = 15$ mit $f(4) =1,\overline{6}$ und
    • $f(3)= 5$ mit $f(5)=0,\overline{5}$
    Die ersten (linken/oberen) Werte haben jeweils den Abstand $2$. Wir können sie also vergleichen. Dazu bilden wir die Differenzen der anderen Werte:

    • $ 1,\overline{6} - 15 =-13,\overline{3}$
    • $0,\overline{5} - 5 = -4,\overline{4}$
    Wir sehen, die Differenzen unterscheiden sich, denn $-13,\overline{3} \neq -4,\overline{4}$

    Aufgrund dessen, dass wir keine Differenzengleichheit vorfinden, kann die Wertetabelle kein lineares Wachstum beschreiben.

    Wichtig:

    Die zugeordneten (unteren) Werte in der Tabelle fallen zwar, können aber dennoch ein Wachstum beschreiben. Denn einen Zerfall oder eine Abnahme kann man auch als negatives Wachstum bezeichnen.

    Außerdem muss ein lineares Wachstum nicht immer bei Null beginnen. Es kann auch bei jedem anderen Wert beginnen.

  • Fasse die Merkmale von linearem und exponentiellem Wachstum zusammen.

    Tipps

    Die Ergebnisse einer Überprüfung können größer oder kleiner Eins sein (Wir schreiben $>1$ und $<1$). Davon hängt ab, ob es sich um Wachstum oder Abnahme handelt.

    Differenzengleichheit liegt vor, wenn die Abstände der y-Werte gleich sind.

    Quotientengleichheit liegt vor, wenn der Quotient zweier y-Werte gleich ist.

    Eine weitere Form des Wachstums ist das quadratische.

    Lösung

    Fassen wir wichtige Punkte über Wertetabellen noch einmal zusammen.

    Man kann zu jeder Kurve bzw. Funktion eine Wertetabelle erstellen. Da aber nicht jede dieser Kurven ein bestimmtes Wachstum aufweisen muss, gibt es auch Wertetabellen, die weder ein lineares noch ein exponentielles Wachstum beschreiben.

    Liegt jedoch eines dieser beiden vor, kann man das folgendermaßen überprüfen:

    • Differenzengleichheit bedeutet lineares Wachstum.
    • Quotientengleichheit bedeutet exponentielles Wachstum.
    Dazu suchen wir uns immer zwei untere Werte aus der Tabelle (y-Werte), deren obere Werte (x-Werte) den gleichen Abstand besitzen.

    Die Ergebnisse dieser Rechnung verraten uns zudem noch, ob es sich um ein Wachstum oder einen Zerfall (Abnahme, negatives Wachstum) handelt. Dabei gilt:

    Ist das Ergebnis bei exponentiellem Wachstum ...

    • ... $<1$, handelt es sich um exponentielle Abnahme/Zerfall.
    • ... $>1$, handelt es sich um exponentiellen positiven Wachstum/Zunahme.
  • Zeige auf, dass die Tabelle ein exponentielles Wachstum beschreibt.

    Tipps

    Sind die Differenzen in einer Wertetabelle gleich, liegt ein lineares Wachstum vor.

    Ist die Wachstumsrate einer exponentiellen Funktion $>1$, so spricht man von (positivem) exponentiellem Wachstum.

    Lösung

    Dass eine Wertetabelle vorliegt, die ein exponentielles Wachstum beschreibt, kann man das zeigen, indem man die Tabelle auf Quotientengleichheit überprüft.

    Dazu wählen wir immer zwei Werte der ersten Zeile, die den gleichen Abstand besitzen, aus. Dann nehmen wir deren zugeordnete (untere) Funktionswerten und bilden den Quotienten. Ist dieser immer gleich, beschreibt die Tabelle ein exponentielles Wachstum. Wir nehmen hier immer untere Werte, deren obere Werte den Abstand $2$ besitzen und vergleichen:

    • $1,\overline{6} : 15 = \frac{1}{9}$
    • $0,\overline{5} : 5 = \frac{1}{9}$
    • $0,0617 : 0,\overline{5} \approx \frac{1}{9}$ - Dass hier kein Gleichheitszeichen steht, liegt an dem gerundeten Wert $0,0617$.
    Damit liegt ein exponentielles Wachstum vor. Alle Werte, die wir erhalten haben, sind kleiner als $1$. Somit handelt es sich um ein negatives Wachstum bzw. einen Zerfall oder eine Abnahme.

  • Entscheide, welche y-Werte $a$ und $b$ die Tabelle zu einem exponentiellem Wachstum vervollständigen.

    Tipps

    Gibt die Zahlen entweder als Dezimalzahl oder als gemischten Bruch ein. Dieser kann wie hier zu sehen eingetragen werden.

    Ermittle den Quotientenwert, der allen benachbarten Quotientenpaaren gemein ist.

    Um den gemeinsamen Quotienten zu ermitteln, könntest du diese beiden Werte dividieren.

    Lösung

    Da diese Wertetabelle zu einem exponentiellen Wachstum gehören soll, muss sich ein gemeinsamer Quotient finden. Überprüfen wir die Werte zu $x=4$ und $x=5$ sowie zu $x=5$ und $x=6$:

    • $3\frac{1}{8} : 1\frac{1}{4} = 2,5$
    • $7\frac{13}{16} : 3\frac{1}{8} = 2,5$
    Der Quotient $2,5$ tritt unter den Bedingungen auf, dass die Abstände der x-Werte identisch sind. Er kann uns nun helfen, die übrigen y-Werte zu ermitteln. Wir teilen entsprechend nun den größeren Nachbar von $a$ durch $2,5$:

    • $1\frac{1}{4} : 2,5 = \frac12 = a$
    Ebenso lässt sich auch $b$ ermitteln:

    • $7\frac{13}{16} \cdot 2,5 = 19\frac{17}{32}$
    Zur Probe multiplizieren wir dieses Ergebnis erneut mit dem Faktor $2,5$, um zu sehen, ob wir bei dem richtigen Wert für die letzte Spalte herauskommen:

    • $19\frac{17}{32} \cdot 2,5 = 48\frac{53}{64}$
    Wie du gesehen hast, lässt sich ein gesuchter y-Wert bei exponentiellem Wachstum „von beiden Seite ermitteln“. In diesem Fall können wir den kleineren benachbarten Wert mit $2,5$ multiplizieren oder den größeren benachbarten Wert durch $2,5$ dividieren.

  • Ermittle, welche Tabelle ein lineares Wachstum beschreibt.

    Tipps

    Wenn man auf lineares Wachstum überprüft, müssen die Differenzen gleich sein.

    Berücksichtige den Abstand, den Werte haben müssen, damit du sie vergleichen darfst.

    Lösung

    Überprüfen wir die Tabellen. Wir suchen dabei nach Differenzengleichheit, da die gesuchten Tabellen einem linearen Wachstum zugeordnet sein sollen. Dabei ist es wichtig, dass wir immer den gleichen Abstand beim Überprüfen einhalten.

    Schauen wir uns die erste Tabelle an:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \end{array}$

    Vergleichen wir die unteren Werte, deren obere Werte den Abstand $2$ besitzen:

    • $4-0=4$
    • $9-1=8$
    Wir sehen jetzt schon, dass die Abstände immer größer werden. Damit ist dies keine Tabelle, die ein lineares Wachstum beschreibt.

    Gucken wir uns einmal die zweite Tabelle an:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c} 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline -1 & -3 & -5 & -7 & -9 \end{array}$

    Hier sehen wir schon, dass die unteren Werte (bei entsprechenden Abständen auf der x-Achse) den Abstand $4$ besitzen. Somit sind auch die Differenzen gleich:

    • $-5 - (-1)=-4$
    • $-7 -(-3)=-4$ usw. Das Ergebnis ist immer $-4$. Damit beschreibt diese Tabelle ein negatives lineares Wachstum bzw. einen linearen Zerfall.
    Die dritte Tabelle:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} 0 & 1 &2&3&5 \\ \hline 0&2&4&6&8 \end{array}$

    Auf den ersten Blick sieht es so aus, als hätten wir erneut eine lineare Zuordnung. Doch aufgepasst: Der letzte x-Wert (obere Zeile) weicht von den anderen Tabellen ab. Damit sind die Differenzen ab diesem Punkt nicht mehr gleich, da $8$ bereits für $4$ kommen sollte. Somit liegt keine lineare Zuordnung vor.

    Bei der vierten und fünften Tabelle liegt lineares Wachstum vor.

  • Bestimme, ob das Wachstum linear, exponentiell oder anderer Art ist.

    Tipps

    Bei Tabellen, die wie in dieser Aufgabe angelegt sind, ist dem linken Wert, welcher der x-Wert ist, ein rechter Wert zugeordnet, der y- oder Funktionswert.

    Folgende Merkmale sind entscheidend:

    • Lineares Wachstum siehst du an der Differenzengleichheit.
    • Exponentielles Wachstum siehst du an der Quotientengleichheit.

    Ist die Tabelle weder differenzen- noch quotientengleich, liegt keine der beiden Wachstumsformen vor.

    Lösung

    Beginnen wir mit der Suche nach den beiden Tabellen, denen ein exponentielles Wachstum zugrunde liegt. Exponentielles Wachstum zeigt sich oft dadurch, dass die rechten Werte sehr schnell sehr stark ansteigen.

    Ein klassisches Beispiel dafür wäre diese Tabelle:

    $\begin{array}{c|c} 2 & 2 \\ \hline 4 & 8 \\ \hline 6 & 32 \\ \hline 8 & 128 \\ \hline 10 & 512 \\ \end{array}$

    Wir überprüfen die Qiotientengleichheit:

    • $8 : 2 =4$
    • $32 : 8=4$
    • ...
    Wir können nur dann mit Sicherheit sagen, dass exponentielles Wachstum vorliegt, wenn wir alle benachbarten Werte überprüft haben. Exemplarisch wurde dies hier für zwei Paare durchgeführt. Hier liegt ein starkes, positives exponentielles Wachstum vor.

    Auch diese Tabelle erweckt diesen Eindruck. Sie steigt zwar nicht von Beginn an schnell, doch mit wachsenden Werten links werden auch die Abstände rechts immer größer:

    $\begin{array}{c|c} 2 & 3 \\ \hline 3 & 4,5 \\ \hline 4 & 6,75 \\ \hline 5 & 10,125 \\ \hline 6 & 15,1875 \\ \end{array}$

    Wir rechnen:

    • $4,5 : 3=1,5$
    • $6,75 : 4,5=1,5$
    • $10,125 : 6,75 =1,5$
    • ...
    Auch hier bestätigt sich die Annahme, dass es sich um ein (vergleichsweise schwaches) exponentielles Wachstum handelt.

    Nun suchen wir nach Tabellen, denen ein lineares Wachstum zugrunde liegt. Eine davon könnte diese sein, da die rechte Seite gleichmäßig ansteigt:

    $\begin{array}{c|c} -4 & -8 \\ \hline -3 & -4 \\ \hline -2 & 0 \\ \hline -1 & 4 \\ \hline 0 & 8 \\ \end{array}$

    Wir vergleichen:

    • $8-0=8$
    • $4 - (-4)=8$
    • $0-(-8)=8$
    Hier wurden immer zwei y-Werte verglichen, die nicht direkt nebeneinander liegen. Auch für diese Paare muss Differenzengleichheit gelten, wenn lineares Wachstum vorliegen soll. Am sichersten ist es jedoch, benachbarte Werte zu nehmen. Dies ist zwar sehr viel Aufwand, aber nur auf diese Weise kannst du dir ganz sicher sein, dass lineares Wachstum vorliegt.

    Beim genaueren Hinsehen, könnte dafür auch diese Tabelle in Frage kommen:

    $\begin{array}{c|c} -2 & 13 \\ \hline -1 & 10,5 \\ \hline 0 & 8 \\ \hline 1 & 5,5 \\ \hline 2 & 3 \\ \end{array}$

    Wir bilden die Differenzen:

    • $13-10,5=2,5$
    • $10,5-8=2,5$
    • $8-5,5=2,5$
    • $5,5-3=2,5$
    Hier haben wir ein negatives lineares Wachstum.

    Die beiden übrigen Tabellen zeigen keine der beiden Wachstumsformen. In beiden Fällen handelt es sich um quadratisches Wachstum.