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dreidimensionales Koordinatensystem

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Martin Wabnik
dreidimensionales Koordinatensystem
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung dreidimensionales Koordinatensystem

Das Koordinatensystem ist quasi das Zuhause der Vektoren - dort gehören sie hin. Es geht hier in diesem Video um das dreidimensionale Koordinatensystem. Dies wird zunächst nicht aufgezeichnet, sondern du siehst ein Modell davon. Wie du solch ein Modell selbst aufbaust wird dir gleich zu Beginn erklärt. Wo du welche Achsen findest und wie du Vektoren darin einbauen kannst, wird dir auch ausführlich gezeigt. Im nächsten Teil siehst du, wie man solch ein Koordinatensystem zeichnet. Dabei wird ausführlich erklärt, wie man die x-Achse einzeichnet und wo man die entsprechenden Stellen an der Achse findet. Hierbei wird gezeigt, was der 135° Winkel und der Faktor „1 durch Wurzel(2)“ bedeutet.

Transkript dreidimensionales Koordinatensystem

Hallo, die Vektoren wären quasi nur die Hälfte wert, wenn man sie nicht in ein Koordinatensystem einordnen könnte. Wir wollen hier dreidimensional arbeiten und daher benötigen wir ein dreidimensionales Koordinatensystem. Du kannst eins aufzeichnen, da komm ich gleich noch dazu, wie man das macht, oder du kannst dir eins in real selber bauen. Dazu brauchst du ein paar Schaschlikstäbchen und Knetwachs. Beides nicht teuer. So ein Koordinatensystem hat den Vorteil, dass du es ganz schnell auf-, und wieder abbauen kannst. Der Knetwachs ist immer wieder verwendbar, da kann nichts passieren. Diese Kugel verwende ich schon seit Jahren, sie ist immer noch dieselbe geblieben. Wie macht man das? Du brauchst einen Standfuß. Ich hab mir mal einen Luxusschraubstock gegönnt, der nach allen Seiten schwenkbar ist und einen Saugfuß hat. Das brauchst du so nicht, du kannst einfach eine Kleberolle nehmen und den Knetwachs drauf stecken, einmal andrücken und fertig. Dann kannst Du die Schaschlikstäbchen dort reinstecken. Dann brauchst du für den 0-Punkt auch Knetwachs, noch eine zweite Kugel davon, und kannst dann da einfach so diese Achsen da reinstecken. Ich baue das jetzt so auf, dass du da so ein bisschen schräg drauf guckst von vorne. Ich hoffe, das ist alles in den richtigen Winkeln. Ansonsten, wenn das eben nicht passt: Du kannst sofort die Stäbchen wieder herausnehmen und woanders platzieren. Da ist das Koordinatensystem fertig. Das hier übrigens ist die X1-Achse, das hier ist der positive Teil der X2-Achse. Das hier ist natürlich der positive Teil der X1-Achse. Ich drehe das auch noch mal ein bisschen, auch das geht. Man hat sich darauf geeinigt, dass der positive Teil der X1-Achse immer zu dir hin zeigt. Ich führe das jetzt natürlich umgekehrt vor, sodass das für dich richtig ist. Für mich wäre das selbstverständlich umgekehrt. Hier nach rechts ist also der positive Teil der X2-Achse oder man sagt auch Y-Achse. Hier oben ist der positive Teil der Z-Achse oder X3-Achse. Beide Bezeichnungen sind üblich. Und wenn du jetzt mit Vektoren arbeitest, dann kannst du einfach wieder Knetwachskügelchen nehmen, die irgendwo dran packen, und dann kannst du hier deinen Vektor dazu packen. Du kannst ihn auch noch weiter nach oben aufbauen. Zum Beispiel, wenn du eine Strecke im Koordinatensystem zurücklegen möchtest, dann geht das auch so. Das kann man natürlich nicht ewig weiter basteln: Hier dreht es sich schon etwas. Macht nichts, man kann auch ein Gewicht nach hinten dran tun, dann geht das wieder. Das werde ich hier auch mal machen, nur um mal zu zeigen, das geht eigentlich relativ fix hier. Ich komme mir fast vor wie bei einer Werbeveranstaltung. Jetzt hängt sie sich da ein bisschen ab, aber das macht nichts. Das kann man alles wieder gerade rücken. Und so kannst du dir alle möglichen Vektoren dran bauen und dir alle möglichen Sachen wirklich dreidimensional vorstellen. Und wenn du es abbauen willst: Einfach Stäbchen rausziehen und weglegen.  Dann komme ich dazu, wie kannst du ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnen? Ich hab hier einmal ein zweidimensionales Koordinatensystem vorbereitet. Hier ist normalerweise die X-Achse, da ist die Y-Achse. Das wird sich jetzt ändern. Das hier wird die Y-Achse sein und das die Z-Achse, bzw. das hier ist die X2-Achse und das ist die X3-Achse. Hier wird der positive Teil der X2-Achse sein, hier ist der positive Teil der X3-Achse. Und wo ist die X1-Achse? Dazu kannst du in deinem Buch wahrscheinlich folgende Angabe finden, dass der positive Teil der X1-Achse mit dem positiven Teil der X2-Achse einen 135-Grad-Winkel bildet und die Einheiten auf der X1-Achse gestaucht sind. Und zwar um den Faktor 1 ÷ \sqrt 2, bzw. 1/2 × \sqrt 2, oder so ähnlich. Was bedeutet das? Das ist die etwas verklausulierte Angabe dafür, dass du die X1-Achse oder die X-Achse, wie man auch sagt, einfach durch diese Kästchenecken durchziehen sollst. Du wirst wahrscheinlich ein Papier benutzen, auf dem Rechenkästchen sind. Und dann soll die X1-Achse oder die X-Achse sich hier befinden. Und sie soll durch diese Kästchenecken einfach diagonal durchgezeichnet werden. Wenn man das komplizierter ausdrückt, so wie ich das gerade am Anfang gemacht habe, dann macht man das natürlich, falls man keine Kästchen hat, dann muss man das auch schon so sagen. Hier ist also jetzt der positive Teil der X1-Achse, hier ist der positive Teil der X2-Achse, beziehungsweise X-Achse, Y-Achse. Und hier haben wir einen Winkel von 135 Grad. Und die Stauchung um den Faktor 1 ÷ \sqrt 2 hat Folgendes auf sich: Wenn hier -1 ist und hier ist +1, normalerweise macht man das so. Bei dir im Heft haben die Kanten der Kästchen eine Länge von 0,5 cm, ziemlich genau. Hier ist dann 1 cm, und wenn nichts anderes gesagt wird, zeichnest Du das Koordinatensystem so, dass die Einheit 1 bei 1 cm ist. Hier natürlich genau so, hier ist die 1. Du gehst also 2 Kästchen immer für eine Einheit. Hier ist das anders. Du gehst nicht 2 Diagonalen, um zu einer Einheit zu kommen, sondern die erste Einheit auf der X1-Achse ist schon nach der ersten Diagonalen da und hier ist die 2 schon. Und diese Strecke hier ist ja kürzer, als diese Strecke von 0 zu -1 oder von 0 zu +1. Diese Strecke entsteht, wenn man diese Strecke mit dem Faktor 1 ÷ \sqrt 2 multipliziert. Um irgendwelche Verwirrungen zu vermeiden: diese Angabe: Stauchung um 1 ÷ \sqrt 2hat mehrere Gesichter. Man kann zum einen sagen 1 ÷ \sqrt 2, man kann auch sagen 1/2 × \sqrt 2. Man kann auch sagen, ich hoffe, das kennst du aus der Potenzrechnung und aus der Wurzelrechnung, das sollte dich jetzt nicht durcheinander bringen, dass 1 ÷ \sqrt 2 und 1/2 × \sqrt 2 dasselbe ist. Es ist dieselbe Zahl, derselbe Punkt auf der Zahlengeraden. Dieses kann man natürlich noch anders ausdrücken, man kann auch sagen (\sqrt 2)^-1, das ist zwar eher unüblich, aber wäre auch möglich. Und man kann natürlich sagen 2^-1/2. Da musste ich selber eben überlegen. Man kann zum einen sagen 1 ÷ \sqrt 2, man kann auch sagen 1/2 × \sqrt 2. Eine von den Angaben kannst du also finden, in den Aufgaben, die dich dann erwarten. Übrigens, bei Abituraufgaben ist das oft auch mit angegeben, wie das Koordinatensystem aussehen soll und da steht dann die Sache mit dem 135 Grad Winkel und mit diesem Stauchungsfaktor. Da solltest du wissen, worum es geht, damit Du nicht gleich am Anfang bei der Abituraufgabe dann schon mal durcheinander kommst. Das war es dazu, das sind die Möglichkeiten Koordinatensysteme zu zeichnen oder selbst zu bauen. Weitere Aufgaben folgen. Viel Spaß, tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Vielen Dank :)

    Von Leons, vor fast 2 Jahren
  2. @Leons:
    zur y-Einteilung 2 bzw. zur z-Einteilung 2 gehört die x-Einteilung 2* 1/Wurzel(2).
    Da sich 2 auch schreiben lässt als Wurzel(2²)=W(2*2)=W(2)*W(2), kann 2*1/W(2) geschrieben werden als 2/W(2)=W(2)*W(2) / W(2), sodass man nun W(2) einmal kürzen kann und nur W(2)/1=W(2) als Ergebnis übrig bleibt.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor fast 2 Jahren
  3. Frage zu der Übungsaufgabe 4
    bei der Zuodnung von "Zu der y-Einteilung 2 gehört die z-Einteilung 2 und die x-Einteilung..." verstehe ich nicht ganz:
    Warum ist nochmal 2 durch wurzel 2 gleich 2?

    Von Leons, vor fast 2 Jahren
  4. Gut erklärt

    Von Stahli68, vor etwa 4 Jahren

dreidimensionales Koordinatensystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video dreidimensionales Koordinatensystem kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu dem dreidimensionalen Koordinatensystem.

    Tipps

    Beim dreidimensionalen Koordinatensystem kommt zum zweidimensionalen noch eine Höhe dazu.

    Man bezeichnet dieses auch als Raum, während das zweidimensionale Koordinatensystem eine Ebene ist.

    Die $x$-Achse wird so eingezeichnet, dass ein räumlicher Effekt entsteht.

    Um zum Beispiel beim Schrägbild eines Würfels einen räumlichen, also einen 3-D-, Effekt zu erzielen, werden einige Kanten schräg eingezeichnet.

    Lösung

    Zweidimensionale Koordinatensysteme sind sicher vom Zeichnen von Funktionsgraphen bekannt. Ein zweidimensionales Koordinatensystem ist hier im Bild zu sehen.

    Hier sind die Achsen

    • mit $x$, dies ist die Abszisse, und
    • $y$, dies ist die Ordinate, bezeichnet.
    Die Koordinaten werden auch häufig $x_1$ statt $x$ und $x_2$ statt $y$ genannt.

    Im dreidimensionalen Koordinatensystem kommt noch eine Koordinate dazu: die $z$ oder auch $x_3$ Koordinate.

    Dabei wird die $y$-Achse des zweidimensionalen Koordinatensystems zur $z$-Achse im dreidimensionalen und die $x$-Achse zur $y$-Achse.

    Wie wird die $x$-Achse im dreidimensionalen Koordinatensystem eingezeichnet? Sie verläuft schräg.

  • Beschreibe, was beim Zeichnen eines dreidimensionalen Koordinatensystems zu beachten ist.

    Tipps

    Erinnerst du dich, wie Schrägbilder von Körpern gezeichnet werden?

    Eine Seite des Körpers wird gezeichnet und alle zu dieser Seite senkrechten Kanten werden schräge eingezeichnet sowie verzerrt.

    Dadurch entsteht ein räumlicher Effekt.

    Welche der drei Achsen im dreidimensionalen Koordinatensystem siehst du frontal?

    Lösung

    Um einen räumlichen Effekt zu erzielen, wird im dreidimensionalen Koordinatensystem die Achse, welche nicht parallel zum Blatt verläuft ($x$-Achse) schräg gezeichnet. Die beiden in dem Blatt befindlichen Achsen stehen senkrecht aufeinander. Dies sind die $y$- und die $z$-Achse.

    Was bedeutet das, dass die $x$-Achse schräg gezeichnet wird? Der positive Ast der $x$-Achse wird so gezeichnet, dass er einen Winkel von $135^\circ$ mit dem positiven Ast der $y$-Achse einschließt.

    Da die $x$-Achse in den Raum ragt, wird die Einteilung dieser Achse verzerrt. Bei den beiden anderen Achsen findet keine Verzerrung statt. Der Verzerrfaktor ist $\frac1{\sqrt2}$. Diesen verwendet man zum Beispiel auch beim Anfertigen von Schrägbilder von geometrischen Körpern.

  • Gib den Winkel an, der von dem positiven Ast mit den verschiedenen Ästen der anderen Achsen eingeschlossen wird.

    Tipps

    Wenn du einen eingeschlossenen Winkel kennst, kannst du die übrigen erschließen.

    Weißt du noch, in welchem Winkel die schrägen Kanten eines Schrägbildes häufig gezeichnet werden?

    Lösung

    Die $x$-Achse des dreidimensionalen Koordinatensystems ragt in den Raum. Um einen räumlichen Effekt zu erzielen, wird diese Achse schräg eingezeichnet.

    Der positive Ast der $x$-Achse schließt

    • mit dem positiven Ast der $y$-Achse einen Winkel von $135^\circ$,
    • mit dem negativen Ast der $y$-Achse einen Winkel von $45^\circ$,
    • mit dem positiven Ast der $z$-Achse einen Winkel von $135^\circ$ und
    • mit dem negativen Ast der $y$-Achse einen Winkel von $45^\circ$ ein.

  • Berechne die Einheiten für die Beschriftung der übrigen Achsen.

    Tipps

    Der Verzerrfaktor ist $\large{\frac{1}{\sqrt2}}$.

    Die Beschriftung von $y$- und $z$-Achse ist identisch.

    Auf der $x$-Achse wird verzerrt.

    Lösung

    Die Einteilung auf der $y$- und $z$-Koordinate ist identisch. Auf der $x$-Achse wird mit dem Faktor $\frac1{\sqrt2}$ verzerrt.

    Wenn also

    • die $y$-Einheit bekannt ist, so ist die $z$-Einheit identische. Die $x$-Einheit ergibt sich durch Multiplikation mit dem Verzerrfaktor.
    • die $z$-Einheit gegeben ist, liegt es ähnlich wie in dem ersten Fall und
    • wenn die $x$-Einheit gegeben ist, berechnet sich die $y$- sowie $z$-Einheit durch Multiplikation mit $\sqrt2$.

    • Zu der $y$-Einteilung $2$ gehört die $z$-Einteilung $2$ und die $x$-Einteilung $\frac2{\sqrt2}=\sqrt2\approx1,41$.
    • Zu der $z$-Einteilung $1$ gehört die $y$-Einteilung $1$ und die $x$-Einteilung $\frac1{\sqrt2}\approx 0,71$.
    • Zu der $x$-Einteilung $2$ gehört die $y$- sowie $z$-Einteilung $2\cdot\sqrt2\approx 2,83$.
    • Zu der $y$-Einteilung $1,5$ gehört die $z$-Einteilung $1,5$ sowie die $x$-Einteilung $\frac{1,5}{\sqrt2}\approx1,06$.
  • Beschrifte das Koordinatensystem.

    Tipps

    Behalte dir, dass in Aufgabenstellungen und auch in der Beschriftung der Achsen gilt

    • $x\hat=x_1$,
    • $y\hat=x_2$ und
    • $z\hat=x_3$.

    Bei Abituraufgaben werden die Koordinatensysteme oft als Vorlage mitgegeben. Es ist trotzdem gut, wenn du dir die Beschriftung einprägst, da bei verschiedenen Beschriftungen räumliche Objekte durchaus verschieden aussehen können.

    Beschrifte jede Achse jeweils mit beiden Möglichkeiten.

    Lösung

    Die Lösung ist hier in dem Bild zu sehen:

    • die schräge, in den Raum ragende, Achse ist die $x$- oder $x_1$-Achse,
    • die waagerechte Achse ist die $y$- oder $x_2$-Achse und
    • die senkrechte Achse ist die $z$- oder $x_3$-Achse.
    Auch wenn hier jetzt jeweils beide Möglichkeiten an den Achsen stehen, so ist wichtig zu beachten, dass entweder mit $x$, $y$ und $z$ oder mit $x_1$, $x_2$ und $x_3$ beschriftet wird. Es wird nicht zwischen den beiden Beschriftungen gemischt.

  • Erkläre, wie man einen Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem zeichnen kann.

    Tipps

    Im zweidimensionalen Koordinatensystem wird ein Punkt wie folgt gezeichnet:

    • Man zeichnet parallel zur $y$-Achse eine Gerade durch die $x$-Koordinate des Punktes und
    • parallel zur $x$-Achse eine Gerade durch die $y$-Koordinate des Punktes.
    Dort wo die Geraden sich schneiden, befindet sich der Punkt.

    Beim Zeichnen eines Punktes im zweidimensionalen entsteht ein Koordinaten-Rechteck.

    Vier Aussagen sind korrekt.

    Lösung

    Analog zum Zeichnen eines Punktes im zweidimensionalen Koordinatensystem kann ein Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem gezeichnet werden.

    Zur Wiederholung: Wie wird ein Punkt im zweidimensionalen Koordinatensystem gezeichnet?

    • Man zeichnet parallel zur $y$-Achse eine Gerade durch die $x$-Koordinate des Punktes und
    • parallel zur $x$-Achse eine Gerade durch die $y$-Koordinate des Punktes.
    Dort, wo die Geraden sich schneiden, befindet sich der Punkt. Hierdurch entsteht ein Koordinatenrechteck.

    Die Analogie dazu ist ein Koordinatenquader im dreidimensionalen Koordinatensystem, welches in dem Bild zu sehen ist. Der Punkt liegt in diesem Quader räumlich diagonal zum Koordinatenursprung.

    Im Folgenden geht man jeweils in negativer (positiver) Richtung bei negativer (positiver) Koordinate:

    • Man geht die $x$-Koordinate entlang der $x$-Achse,
    • dann parallel zur $y$-Achse die $y$-Koordinate und
    • parallel zur $z$-Achse die $z$-Koordinate.
    Dies kann man sich an dem Punkt $P(1|1|1)$ klarmachen:
    • eine Einheit in positiver $x$-Richtung,
    • von dort parallel zur $y$-Achse eine Einheit in positiver Richtung und
    • von dort aus parallel zur $z$-Achse eine Einheit in positiver Richtung.

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