30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Differentialquotient – geometrische Herleitung

Bewertung

Ø 5.0 / 3 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Differentialquotient – geometrische Herleitung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Differentialquotient – geometrische Herleitung

Der Differentialquotient ist der zentrale Begriff der Differentialrechnung. In diesem Video sehen wir uns an, wie wir anschaulich verstehen können, was der Differentialquotient bedeutet. Geometrisch gesehen geht es darum, die Steigung einer Tangente zu bestimmen, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt. Das Problem dabei ist, dass wir für die Steigungsbestimmung von Geraden - und eine Tangente ist ja eine Gerade - zwei Punkte brauchen, wobei die Tangente aber nur einen einzigen Punkt mit dem Funktionsgraphen gemeinsam hat. Wir lösen das Problem, indem wir uns ansehen, welche Steigungen die Sekanten haben, die sich in der Umgebung des Berührpunktes befinden. Wir stellen dann fest, dass es nur eine einzige Steigung gibt, die keine Sekantensteigung ist: Es ist die Tangentensteigung. Wir bestimmen also die Tangentensteigung, indem wir alle anderen Steigungen ausschließen. Dabei kommen wir sogar ohne den Grenzwertbegriff aus.

0 Kommentare

Differentialquotient – geometrische Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Differentialquotient – geometrische Herleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Differentialquotienten an.

    Tipps

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt.

    Eine Tangente, die die Funktion $f(x)=x^2$ an einer Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $2x$. Welcher Ausdruck liefert für $f(x)=x^2$ ebenfalls $2x$?

    Es sind zwei Formulierungen korrekt.

    Beachte, wogegen das $h$ beim Grenzwert strebt. Der Abstand der Punkte soll kleiner werden.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt.

    Eine Tangente, die die Funktion $f(x)=x^2$ an einer Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $2x$. Die folgenden beiden Differentialquotienten liefern für $f(x)=x^2$ ebenfalls die Steigung $2x$.

    $\begin{array}{lll} \\ \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x+h)}{h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} 2x+h \\ &=& 2x \end{array}$

    $\begin{array}{lll} \\ \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x-h)-f(x)}{-h} &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{(x-h)^2-x^2}{-h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{x^2-2hx+h^2-x^2}{-h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x-h)}{-h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} 2x-h \\ &=& 2x \end{array}$

  • Ergänze die geometrische Herleitung des Differentialquotienten.

    Tipps

    Die Steigung einer Geraden kannst du mit folgender Formel berechnen:

    • $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Die erste und zweite binomische Formel sind wie folgt definiert:

    • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Diesen Quotienten möchten wir nun geometrisch herleiten.

    Sekante durch $(x\vert f(x))$ und $(x+h\vert f(x+h))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=x^2$ folgt also: $~\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=2x+h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer, wenn eine Steigung größer ist als $2x$, haben wir eine Sekante.

    Sekante durch $(x-h\vert f(x-h))$ und $(x\vert f(x))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=x^2$ folgt also: $~\dfrac{x^2-(x-h)^2}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $\dfrac{x^2-(x-h)^2}{h}=\dfrac{x^2-(x^2-2hx+h^2)}{h}=2x-h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer wenn eine Steigung kleiner ist als $2x$, haben wir eine Sekante.

    Tangente an $(x\vert f(x))$

    Daraus können wir Folgendes schließen:

    Jede Tangente, die den Funktionsgraphen von $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $2x$.

    Die erste Ableitung bestätigt uns dies: $~f'(x)=2x$

  • Bestimme jeweils den Differentialquotienten der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.

    Tipps

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$

    Bestimme zunächst den Differentialquotienten von $f(x)=x^2$ ganz allgemein an der Stelle $x$. Setze in diesen dann die entsprechenden $x$-Werte ein.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Wir bestimmen zunächst den Differentialquotienten von $f(x)=x^2$ ganz allgemein an der Stelle $x$. Dann setzen wir in diesen die entsprechenden $x$-Werte ein.

    $\begin{array}{lll} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2hx+h^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}2x+h \\ &=& 2x \end{array}$

    Damit erhalten wir die folgenden Differentialquotienten:

    • Für $x=2$ folgt $2\cdot 2=4$.
    • Für $x=4$ folgt $2\cdot 4=8$.
    • Für $x=6$ folgt $2\cdot 6=12$.
    • Für $x=8$ folgt $2\cdot 8=16$.
  • Leite mit Hilfe des Differentialquotienten die Steigung der Tangente an dem Punkt $(x\vert f(x))$ her.

    Tipps

    Für die Sekante durch $(x\vert f(x))$ und $(x+h\vert f(x+h))$ mit $h>0$ lautet die Steigung allgemein:

    • $~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
    Für die Sekante durch $(x-h\vert f(x-h))$ und $(x\vert f(x))$ mit $h>0$ lautet die Steigung allgemein:

    • $~\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$

    Du kannst im Zähler $h$ ausklammern und kürzen.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Diesen Quotienten möchten wir nun geometrisch herleiten ohne die Grenzwertbildung zu betrachten.

    Sekante durch $(x\vert f(x))$ und $(x+h\vert f(x+h))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=2x^2+1$ folgt also: $~\dfrac{2(x+h)^2+1-(2x^2+1)}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $\dfrac{2(x+h)^2+1-(2x^2+1)}{h}=\dfrac{2x^2+4hx+2h^2+1-(2x^2+1)}{h}=\dfrac{4hx+2h^2}{h}=4x+2h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer wenn die Steigung größer ist als $4x$, haben wir eine Sekante.

    Sekante durch $(x-h\vert f(x-h))$ und $(x\vert f(x))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=2x^2+1$ folgt also: $~\dfrac{2x^2+1-(2(x-h)^2+1)}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $~\dfrac{2x^2+1-(2(x-h)^2+1)}{h}=\dfrac{2x^2+1-(2x^2-4hx+2h^2+1)}{h}=\dfrac{4hx-2h^2}{h}=4x-2h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer wenn die Steigung kleiner ist als $4x$, haben wir eine Sekante.

    Tangente an $(x\vert f(x))$

    Daraus können wir Folgendes schließen:

    Jede Tangente, die den Funktionsgraphen von $f(x)=2x^2+1$ an der Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $4x$.

    Die erste Ableitung bestätigt uns dies: $~f'(x)=2\cdot 2x^{2-1}=4x$

  • Beschreibe, was der Differentialquotient angibt.

    Tipps

    Für eine Funktion $f$ liefert der Differentialquotient an einer Stelle $x$ die erste Ableitung an der Stelle $x$.

    Die erste Ableitung einer Funktion $f$ liefert an einer Stelle $x$ immer die Steigung der Tangente der Stammfunktion bei $(x\vert f(x))$.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er ist wie folgt definiert:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Für eine Funktion $f$ liefert der Differentialquotient an einer Stelle $x$ die erste Ableitung an der Stelle $x$.

  • Ermittle die jeweilige Tangentensteigung $m$ an der Stelle $x$ mit Hilfe des Differentialquotienten.

    Tipps

    Für die erste Steigung musst du folgenden Ausdruck berechnen:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2(2+h)^2+1-(2\cdot 2^2+1)}{h}$

    Du kannst auch alternativ erst den allgemeinen Differentialquotienten bestimmen und dann die $x$-Koordinate einsetzen.

    Lösung

    Beispiel 1: $~f(x)=2x^2+1$

    Die Steigung der Tangente, die den Funktionsgraphen von $f$ an dem Punkt $(2\vert 9)$ berührt, berechnen wir wie folgt:

    $\begin{array}{lll} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2(2+h)^2+1-(2\cdot 2^2+1)}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2(4+4h+h^2)+1-9}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{8+8h+2h^2+1-9}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{8h+2h^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h(8+2h)}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0} 8+2h \\ &=& 8 \end{array}$

    Damit beträgt die Steigung der Tangente $m=8$.

    Beispiel 2: $~g(x)=(x+1)^2$

    Die Steigung der Tangente, die den Funktionsgraphen von $g$ an dem Punkt $(-3\vert 4)$ berührt, bestimmen wir analog:

    $\begin{array}{lll} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(-3+h)-f(-3)}{h} &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(-3+h+1)^2-(-3+1)^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(-2+h)^2-(-2)^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{4-4h+h^2-4}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{-4h+h^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h(-4+h)}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0} -4+h \\ &=& -4 \end{array}$

    Damit beträgt die Steigung der Tangente $m=-4$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.816

Lernvideos

44.211

Übungen

38.854

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden