sofatutor 30 Tage kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Differentialquotient - geometrische Herleitung 07:58 min

Differentialquotient - geometrische Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Differentialquotient - geometrische Herleitung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib den Differentialquotienten an.

    Tipps

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt.

    Eine Tangente, die die Funktion $f(x)=x^2$ an einer Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $2x$. Welcher Ausdruck liefert für $f(x)=x^2$ ebenfalls $2x$?

    Es sind zwei Formulierungen korrekt.

    Beachte, wogegen das $h$ beim Grenzwert strebt. Der Abstand der Punkte soll kleiner werden.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt.

    Eine Tangente, die die Funktion $f(x)=x^2$ an einer Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $2x$. Die folgenden beiden Differentialquotienten liefern für $f(x)=x^2$ ebenfalls die Steigung $2x$.

    $\begin{array}{lll} \\ \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x+h)}{h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} 2x+h \\ &=& 2x \end{array}$

    $\begin{array}{lll} \\ \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(x-h)-f(x)}{-h} &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{(x-h)^2-x^2}{-h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{x^2-2hx+h^2-x^2}{-h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x-h)}{-h} \\ &=& \lim \limits_{h \to 0} 2x-h \\ &=& 2x \end{array}$

  • Ergänze die geometrische Herleitung des Differentialquotienten.

    Tipps

    Die Steigung einer Geraden kannst du mit folgender Formel berechnen:

    • $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Die erste und zweite binomische Formel sind wie folgt definiert:

    • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Diesen Quotienten möchten wir nun geometrisch herleiten.

    Sekante durch $(x\vert f(x))$ und $(x+h\vert f(x+h))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=x^2$ folgt also: $~\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}=2x+h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer wenn eine Steigung größer ist als $2x$, haben wir eine Sekante.

    Sekante durch $(x-h\vert f(x-h))$ und $(x\vert f(x))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=x^2$ folgt also: $~\dfrac{x^2-(x-h)^2}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $\dfrac{x^2-(x-h)^2}{h}=\dfrac{x^2-(x^2-2hx+h^2)}{h}=2x-h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer wenn eine Steigung kleiner ist als $2x$, haben wir eine Sekante.

    Tangente an $(x\vert f(x))$

    Daraus können wir Folgendes schließen:

    Jede Tangente, die den Funktionsgraphen von $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $2x$.

    Die erste Ableitung bestätigt uns dies: $~f'(x)=2x$

  • Bestimme jeweils den Differentialquotienten der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.

    Tipps

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$

    Bestimme zunächst den Differentialquotienten von $f(x)=x^2$ ganz allgemein an der Stelle $x$. Setze in diesen dann die entsprechenden $x$-Werte ein.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Wir bestimmen zunächst den Differentialquotienten von $f(x)=x^2$ ganz allgemein an der Stelle $x$. Dann setzen wir in diesen die entsprechenden $x$-Werte ein.

    $\begin{array}{lll} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2hx+h^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}2x+h \\ &=& 2x \end{array}$

    Damit erhalten wir die folgenden Differentialquotienten:

    • Für $x=2$ folgt $2\cdot 2=4$.
    • Für $x=4$ folgt $2\cdot 4=8$.
    • Für $x=6$ folgt $2\cdot 6=12$.
    • Für $x=8$ folgt $2\cdot 8=16$.
  • Leite mit Hilfe des Differentialquotienten die Steigung der Tangente an dem Punkt $(x\vert f(x))$ her.

    Tipps

    Für die Sekante durch $(x\vert f(x))$ und $(x+h\vert f(x+h))$ mit $h>0$ lautet die Steigung allgemein:

    • $~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
    Für die Sekante durch $(x-h\vert f(x-h))$ und $(x\vert f(x))$ mit $h>0$ lautet die Steigung allgemein:

    • $~\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$

    Du kannst im Zähler $h$ ausklammern und kürzen.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er lautet:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Diesen Quotienten möchten wir nun geometrisch herleiten ohne die Grenzwertbildung zu betrachten.

    Sekante durch $(x\vert f(x))$ und $(x+h\vert f(x+h))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=2x^2+1$ folgt also: $~\dfrac{2(x+h)^2+1-(2x^2+1)}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $\dfrac{2(x+h)^2+1-(2x^2+1)}{h}=\dfrac{2x^2+4hx+2h^2+1-(2x^2+1)}{h}=\dfrac{4hx+2h^2}{h}=4x+2h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer wenn die Steigung größer ist als $4x$, haben wir eine Sekante.

    Sekante durch $(x-h\vert f(x-h))$ und $(x\vert f(x))$

    Für $h>0$ lautet die Steigung dieser Sekante allgemein: $~\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$

    Für die Funktion $f(x)=2x^2+1$ folgt also: $~\dfrac{2x^2+1-(2(x-h)^2+1)}{h}$

    Durch Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung des Terms kann die Steigung wie folgt angegeben werden:

    $~\dfrac{2x^2+1-(2(x-h)^2+1)}{h}=\dfrac{2x^2+1-(2x^2-4hx+2h^2+1)}{h}=\dfrac{4hx-2h^2}{h}=4x-2h$

    Wir sehen, dass für $h>0$ Folgendes gilt: Immer wenn die Steigung kleiner ist als $4x$, haben wir eine Sekante.

    Tangente an $(x\vert f(x))$

    Daraus können wir Folgendes schließen:

    Jede Tangente, die den Funktionsgraphen von $f(x)=2x^2+1$ an der Stelle $x$ berührt, hat die Steigung $4x$.

    Die erste Ableitung bestätigt uns dies: $~f'(x)=2\cdot 2x^{2-1}=4x$

  • Beschreibe, was der Differentialquotient angibt.

    Tipps

    Für eine Funktion $f$ liefert der Differentialquotient an einer Stelle $x$ die erste Ableitung an der Stelle $x$.

    Die erste Ableitung einer Funktion $f$ liefert an einer Stelle $x$ immer die Steigung der Tangente der Stammfunktion bei $(x\vert f(x))$.

    Lösung

    Der Differentialquotient gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt berührt. Er ist wie folgt definiert:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x\pm h)-f(x)}{\pm h}$
    Für eine Funktion $f$ liefert der Differentialquotient an einer Stelle $x$ die erste Ableitung an der Stelle $x$.

  • Ermittle die jeweilige Tangentensteigung $m$ an der Stelle $x$ mit Hilfe des Differentialquotienten.

    Tipps

    Für die erste Steigung musst du folgenden Ausdruck berechnen:

    • $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2(2+h)^2+1-(2\cdot 2^2+1)}{h}$

    Du kannst auch alternativ erst den allgemeinen Differentialquotienten bestimmen und dann die $x$-Koordinate einsetzen.

    Lösung

    Beispiel 1: $~f(x)=2x^2+1$

    Die Steigung der Tangente, die den Funktionsgraphen von $f$ an dem Punkt $(2\vert 9)$ berührt, berechnen wir wie folgt:

    $\begin{array}{lll} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2(2+h)^2+1-(2\cdot 2^2+1)}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{2(4+4h+h^2)+1-9}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{8+8h+2h^2+1-9}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{8h+2h^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h(8+2h)}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0} 8+2h \\ &=& 8 \end{array}$

    Damit beträgt die Steigung der Tangente $m=8$.

    Beispiel 2: $~g(x)=(x+1)^2$

    Die Steigung der Tangente, die den Funktionsgraphen von $g$ an dem Punkt $(-3\vert 4)$ berührt, bestimmen wir analog:

    $\begin{array}{lll} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(-3+h)-f(-3)}{h} &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(-3+h+1)^2-(-3+1)^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(-2+h)^2-(-2)^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{4-4h+h^2-4}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{-4h+h^2}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h(-4+h)}{h} \\ &=& \lim\limits_{h\to 0} -4+h \\ &=& -4 \end{array}$

    Damit beträgt die Steigung der Tangente $m=-4$.