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Dezimalbrüche runden und überschlagen – Übung

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Thekla Haemmerling
Dezimalbrüche runden und überschlagen – Übung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Dezimalbrüche runden und überschlagen – Übung

Ob im Restaurant, beim Einkaufen oder beim Kuchenverkauf in der Schule - Runden und Überschlagen von Zahlen und Messdaten kann das Rechnen im Alltag sehr vereinfachen. In diesem Video lernst du, wie du Dezimalzahlen aufrundest oder abrundest und wie du mithilfe von Überschlagsrechnungen Näherungswerte berechnest. Der Aufbau einer Dezimalzahl wird hier ebenfalls wiederholt, um dir das System des Rundens zu verdeutlichen.

Transkript Dezimalbrüche runden und überschlagen – Übung

Hallo! Mein Name ist Thekla. Manchmal kann es sehr wichtig sein, bestimmte Messdaten ganz genau anzugeben.

Schau dir zum Beispiel mal die olympischen Spiele an: Ob beim Kugelstoßen, beim 1000 m Lauf oder beim Schwimmen - manchmal kann es ziemlich knapp zwischen den Ergebnissen der Teilnehmer ausgehen. Beim Einkaufen oder bei der Rechnung in einem Restaurant schauen wir eher nicht auf die Nachkommastellen. Wir runden und überschlagen lieber. Deshalb soll es heute um das Runden und Überschlagen von Dezimalzahlen gehen.

Wir wiederholen zuerst, wie eine Dezimalzahl aufgebaut ist. Dann erkläre ich dir, wann du abrunden und wann du aufrunden musst. Wir üben das Ganze an ein paar Beispielen. Danach zeige ich dir, wie du durch Runden Dezimalzahlen gut überschlagen kannst. Schauen wir uns zunächst den Aufbau einer Dezimalzahl genauer an. Wir nehmen 123,456. Die Zahl setzt sich zusammen aus einem Hunderter, 2 Zehnern, 3 Einern, 4 Zehnteln, 5 Hundertsteln und 6 Tausendsteln. Abgekürzt schreibt man: Ein großes H, ein großes Z und ein großes E; dann ein kleines z, ein kleines h und ein kleines t.

Die Stellen nach dem Komma heißen Dezimalen.

Jetzt geht es um’s Abrunden und Aufrunden von Dezimalzahlen. Als Erstes musst du festlegen, auf welche Stelle du auf- bzw. abrunden willst. Schau dir noch mal die 123,456 an.

Deine Aufgabe ist es, auf eine Nachkommastelle zu runden. Man sagt dann auch: Runde auf Zehntel. Dazu musst du die zweite Nachkommastelle, also die Hundertstel betrachten: Die 5. Ab der Zahl 5 rundet man auf. Das heißt du rundest auf 123,5. Als Nächstes runden wir auf Hundertstel, also auf zwei Nachkommastellen. Dazu schaust du dir die dritte Nachkommastelle, das sind die Tausendstel, also die 6 an. Wir runden zu 123,46 auf, da man bei 6 aufrundet.

Jetzt runde mal auf Zehner. Dazu musst du dir die Einer anschauen: Hier ist das die 3. Bei 3 rundest du ab. Also erhalten wir nach dem Runden 120.

Am Besten wir fassen das alles schon einmal hier zusammen:

Ist die erste Ziffer, die du weglässt 0; 1; 2; 3 oder 4, so rundest du ab. Ist die erste Ziffer, die du weglässt 5; 6; 7; 8 oder 9, so rundest du auf.

Probieren wir das Ganze an einem Beispiel nochmal aus. Runde die Zahl 3,029 auf Zehntel. Du schaust dir die Hundertstel an: Hier ist das die 2. Bei der 2 rundest du ab. Du erhältst: 3,0.

Jetzt runde die 1,099 auf Hundertstel. Welche Nachkommastelle musst du hier zuerst anschauen? Genau, die Tausendstel, also die 9. Bei der 9 rundest du auf. Hier bekommst du als Ergebnis: 1,10 Durch die 0 verdeutlichst du, dass auf zwei Dezimalen gerundet wurde.

Du kannst auch Messwerte runden. Versuch zum Beispiel mal 48,786 m auf cm zu runden. Dazu musst du wissen, an welcher Stelle die cm stehen. Vor dem Komma stehen die Meter. Interessant sind die Nachkommastellen. Die 7 gibt die dm an, die 8 die cm und die 6 die mm. Sollst du also Meter auf Zentimeter runden, so machst du nichts anderes, als auf Hundertstel zu runden. Du schaust dir also die Millimeter, oder auch Tausendstel an. Das ist hier die 6. Bei der 6 rundest du auf. Du erhältst: 48,79 Meter.

Eine wichtige Anwendung des Rundens ist das Überschlagen von Dezimalzahlen. Manchmal ist das Rechnen mit Dezimalzahlen ziemlich aufwendig. Da ist es praktisch mit einer Überschlagsrechnung schnell einen Näherungswert zu finden. Manchmal hilft dir das auch, zu kontrollieren, ob das Ergebnis der genauen Rechnung ungefähr stimmt. Am Besten rundest du deine Zahlen so, dass du den Überschlag leicht im Kopf rechnen kannst, wie hier zum Beispiel: 1,736 minus 0,49 kannst auf Zehntel gerundet so schreiben: 1,7 minus 0,5. Bei der genauen Rechnung erhältst du 1,246. Bei deiner Überschlagsrechnung ist das Ergebnis 1,2. Stell dir jetzt vor, deine Klasse sammelt beim Sommerfest durch einen Kuchenverkauf Geld für die Klassenkasse. Die erste Schicht von 8 Uhr bis 12 Uhr nimmt 23,98 € ein, die zweite Schicht von 12 Uhr bis 16 Uhr sammelt 32,43 € ein. Wie viel Euro hat deine Klasse ungefähr eingenommen?

Dazu müssen wir 23,98 € plus 32,43 € rechnen. Wir machen zunächst eine Überschlagsrechnung. Dazu müssen wir erstmal runden. Wir runden auf die Einer. 23,98 sind gerundet 24 €. 32,43 sind gerundet 32 €.

Also 24 € plus 32 € sind gleich 56 €. Deine Klasse hat also ungefähr 56 € eingenommen.

Ganz genau hat sie 56,41 € eingenommen. Der überschlagene Wert weicht also nur 41 Cent von genauen Wert ab.

Du siehst, dass man mit Überschlagen ganz einfach und schnell rechnen kann und dabei ein Ergebnis erhält, welches relativ nah am eigentlichen Wert liegt.

Fassen wir das heute Gelernte zusammen:

Beim Runden von Dezimalzaheln musst du zuerst wissen, auf welche Stelle du runden willst. Beim Abrunden ist die erste Ziffer, die du weglässt, die 0; 1; 2; 3 oder 4. Beim Aufrunden ist die erste Ziffer, die du weglässt, die 5; 6; 7; 8 oder 9. Eine Anwendung des Rundens ist der Überschlag von Dezimalzahlen. Du kannst so ohne genau Rechnung einen Näherungswert angeben. Und? Hast du gemerkt, wie praktisch Runden und Überschlagen von Dezimalzahlen sein können? Probier es doch selbst mal aus!

20 Kommentare

20 Kommentare
  1. Sehr gut erklährt,ich habe alles verstanden

    Von Fenomenedis, vor 8 Monaten
  2. Toll

    Von Nahla L., vor 8 Monaten
  3. Danke

    Von Sarah Kari, vor 9 Monaten
  4. Hallo Von Zonanth,

    möchtest du zum Beispiel auf Ganze runden, so guckst du dir die nächstkleinere Stelle, also die erste Stelle nach dem Komma an. Steht hier eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so rundest du ab. Abrunden bedeutet, dass sich die Zahl an der Einerstelle nicht ändert und jede kleinere Stelle wegfällt.

    Steht dort aber eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so musst du aufrunden. Die Einerstelle steigt dann um 1 und jede kleinere Stelle wird wieder weggelassen. Ein Beispiel zum Runden auf Ganze:

    1,3 ist gerundet 1
    1,5 ist gerundet 2

    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen konnten.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor mehr als einem Jahr
  5. häääääääääääääääääääääääääääääääääääääääääää
    mir wurde in der schule erklärt das ich wenn da eine 0,1,2,3 und eine 4sind das es da immer gleich bleibt!
    bbbbbbbbbbbbbiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiinnnnnnnnnnnnnnnn dddddddddddduuuuuuuuuuurrrrrrccccchhhhhheeeeiiiiiinnnaaaaaaaaaannnddddddeeer

    Von Zonanth, vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Dezimalbrüche runden und überschlagen – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dezimalbrüche runden und überschlagen – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Schildere, wie man rundet.

    Tipps

    „Auf Hundertstel gerundet“ bedeutet, dass wir uns die Tausendstelstelle anschauen. Diese Ziffer ist bei $3,1415$ die $1$. Auf Hundertstel gerundet, ergibt sich dann:

    $3,1415\approx 3,14$.

    Wenn wir $3,1415$ auf Zehntel, also eine Stelle hinter dem Komma, runden wollen, muss abgerundet werden, da auf der Hundertstelstelle eine $4$ steht:

    $3,1415\approx 3,14$.

    Lösung

    Wenn eine Zahl gerundet werden soll, muss die Stelle angegeben werden, auf welche sie gerundet wird. Dann schaut man sich die nachfolgende Stelle an:

    • Steht dort eine $0$, $1$, $2$, $3$ oder $4$, wird abgerundet.
    • Steht dort eine $5$, $6$, $7$, $8$ oder $9$, wird aufgerundet.
    Soll $123,456$ auf die erste Nachkommastelle, also auf Zehntel, gerundet werden, schaut man sich die Hundertstelstelle an. Diese ist die $5$. Es wird also aufgerundet: $123,456\approx 123,5$.

    Soll $123,456$ auf die zweite Nachkommastelle, also auf Hundertstel, gerundet werden, schaut man sich die Tausendstelstelle an. Diese ist $6$. Es wird also aufgerundet: $123,456\approx 123,46$.

    Soll nun auf Zehner gerundet werden, schaut man sich die Einerstelle an. Diese ist $3$, es wird also abgerundet: $123,456\approx 120$.

  • Bestimme durch einen Überschlag, wie viel Geld auf der Sommerfeier eingenommen wurde.

    Tipps

    Wie wird gerundet? Wenn du die Beträge auf ganze $€$ runden sollst, schaust du dir die Zehntel, die erste Stelle hinter dem Komma, an:

    • Ist diese kleiner oder gleich $4$, wird abgerundet,
    • ist diese größer oder gleich $5$, wird aufgerundet.

    Einen Überschlag erhältst du, indem du mit gerundeten Werten rechnest.

    Du kannst abschließend überprüfen, wie gut der Überschlag ist, indem du das exakte Ergebnis berechnest.

    Lösung

    Auf dem Sommerfest verkauft eine Klasse Kuchen und sammelt Geld für die Klassenkasse.

    In einer ersten Schicht werden $23,98~€$, in einer zweiten $32,43~€$ eingenommen.

    Wie viel Geld hat die Klasse gesamt eingenommen.

    Zunächst können die beiden Beträge auf ganze $€$ gerundet werden:

    • $23,98~€\approx 24~€$: hier wird aufgerundet, da die erste Stelle hinter dem Komma eine $9$ ist.
    • $32,43~€\approx 32~€$: hier wird abgerundet, da die erste Stelle hinter dem Komma eine $4$ ist.
    Die gerundeten Werte können nun addiert werden zu

    $24~€+32~€=56~€$.

    Dieser Überschlag kann nun mit dem tatsächlichen Ergebnis verglichen werden:

    $23,98~€+32,43~€=56,41~€$.

    Man kann nun sehen, dass der Überschlag $56~€$ schon recht genau war.

  • Gib jeweils die auf Tausendstel gerundete Zahl an.

    Tipps

    Schaue dir jeweils die vierte Stelle an.

    Ist die vierte Stelle kleiner oder gleich $4$, wird abgerundet, ansonsten aufgerundet.

    Du musst dir die letzte Stelle hinter dem Komma für das Runden auf die dritte Stelle nicht anschauen.

    Lösung

    Dezimalzahlen können gerundet werden. Dabei muss die Stelle, auf welche gerundet werden soll, angegeben werden. In diesem Beispiel sind dies die Tausendstel.

    Man schaut sich die folgende, also die Zehntausendstel bzw. die vierte Stelle hinter dem Komma, an:

    • Ist diese kleiner oder gleich $4$, wird abgerundet,
    • ist diese größer oder gleich $5$, wird aufgerundet.
    • $27,56789\approx27,568$. Die $8$ an der vierten Stelle führt zum Aufrunden.
    • $27,56749\approx27,567$. Die $4$ an der vierten Stelle führt zum Abrunden. Es ist nicht von Interesse, dass an der fünften Stelle eine $9$ steht.
    • $0,00234\approx0,002$. Die $3$ an der vierten Stelle führt zum Abrunden.
    • $0,00267\approx0,003$. Die $6$ an der vierten Stelle führt zum Aufrunden.
    • $0,21718\approx0,217$. Die $1$ an der vierten Stelle führt zum Abrunden.
    • $0,21781\approx0,218$. Die $8$ an der vierten Stelle führt zum Aufrunden.

  • Wende eine Überschlagsrechnung zur näherungsweisen Bestimmung der Differenz an.

    Tipps

    Runde zunächst den Minuenden und Subtrahenden.

    Zum Beispiel erhältst du beim Runden auf Zehntel

    • $234,56\approx 234,6$ sowie
    • $186,53\approx 186,5$.

    Beim Angeben von Überschlägen wird nicht zunächst die tatsächliche Differenz gebildet und dann gerundet.

    Die zu verwendende Rundung hängt von der jeweiligen Fragestellung ab.

    Lösung

    Mit Hilfe der Überschlagsrechnung können

    • zum einen Näherungswerte für Additionen oder Subtraktionen von Dezimalzahlen bestimmt werden und
    • zum anderen Kontrollrechnungen durchgeführt werden.
    1. Der Überschlag auf Zehntel führt bei der Subtraktion $234,56-186,53$ zu $234,6-186,5=48,1$.
    2. Der Überschlag auf Einer führt bei der Subtraktion $234,56-186,53$ zu $235-187=48$.
    3. Der Überschlag auf Zehner führt bei der Subtraktion $234,56-186,53$ zu $230-190=40$.
    An dem letzten Überschlag kann man erkennen, dass es zu erheblichen Rundungsfehlern kommen kann. Wenn man das exakte Ergebnis $234,56-186,53=48,03$ betrachtet, wäre eine Näherung $50$ näher an dieser gelegen als der Überschlag $40$.

  • Beschreibe, wie eine Dezimalzahl aussieht.

    Tipps

    Die Stellen vor dem Komma sind die Einer, Zehner, Hunderter, ...

    Die Stellen hinter dem Komma sind die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, ...

    Warum heißt eine Dezimalzahl Dezimalzahl?

    Lösung

    Die Zahl $123,456$ ist ein Dezimalzahl. Eine Dezimalzahl hat ein Komma.

    Vor dem Komma stehen

    • die Einer (E), hier $3$,
    • die Zehner (Z), hier $2$, sowie
    • die Hunderter (H), hier $1$.
    Hinter dem Komma stehen die Dezimalen:
    • die Zehntel (z), hier $4$,
    • die Hundertstel (h), hier $5$, sowie
    • die Tausendstel (t), hier $6$.

  • Prüfe, ob Paul genügend Geld zur Verfügung hat.

    Tipps

    Runde zunächst alle Summanden auf Einer oder Zehner.

    Beachte, dass die Aussage, ob Paul genügend Geld zur Verfügung hat, durchaus von der Rundung abhängen kann.

    Tatsächlich benötigt Paul insgesamt $495,50~€$. Sein Geld reicht somit nicht aus.

    Lösung

    Da hat der Paul ja eine Menge Wünsche:

    Er kann natürlich alle Beträge addieren zu

    $259~€+34,50~€+8,60~€+134~€+59,40~€=495,50~€$.

    Das Geld von Paul reicht also nicht.

    Nun können die Überträge berechnet werden. Diese hängen ab, auf welche Stelle gerundet werden soll:

    • Auf Einer gerundet ergibt sich $259~€+35~€+9~€+134~€+59~€=496~€$. Das bedeutet, dass Paul nicht genügend Geld zur Verfügung hat.
    • Auf Zehner gerundet ergibt sich $260~€+30~€+10~€+130~€+60~€=490~€$. Das bedeutet, dass Paul genügend Geld zur Verfügung hat.
    Man kann an diesem Beispiel erkennen, dass eine Überschlagsrechnung durchaus zu falschen Ergebnissen führen kann.

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