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Bernoulli-Experimente – Übung mit Ananas 07:00 min

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Transkript Bernoulli-Experimente – Übung mit Ananas

Hallo. In diesem Video geht es um eine Anwendungsaufgabe zur Bernoulli-Formel. Hier ist die Bernoulli-Formel und in den Anwendungsaufgaben dazu kommt oft Gemüse vor. Also zum Beispiel geht es um eine Lieferung von Ananas. Es wird eine Probe von zum Beispiel 100 Ananas gezogen. Es wird geguckt, wie viele davon in Ordnung sind. Und entsprechend geht dann die Lieferung wieder zurück. Oder sie wird halt angenommen. Und ob das in der Realität wirklich so ist, das habe ich mir mal genau angesehen. Dabei habe ich Herrn Öztürk getroffen. Er arbeitet für das Obst und Gemüse in einem Verbrauchermarkt. Beim Wareneingang kontrolliert er wirklich alles. Auch während die Waren in der Auslage sind, kontrolliert er sie mehrmals täglich. Ich habe ihn gefragt, wie groß denn die Wahrscheinlichkeiten seien, dass Obst oder Gemüse nicht in Ordnung seien. Und dann hat er mir ganz viel erzählt. Die Wahrscheinlichkeiten, die er da ansetzt, hingen von der Temperatur ab, von der Luftfeuchtigkeit, von der Sorte, von der Jahreszeit ab etc. pp. Jeweils seien die Wahrscheinlichkeiten anders. Er sagte, es gebe immer einen gewissen Ausschuss. Das sei nicht schlimm, weil es sich um frische Lebensmittel handele, die ja auch einen Veränderungsprozess unterworfen seien. Und was nicht auf den Punkt frisch, aber auch genügend reif ist, kann eben nicht verkauft werden, sagte er. Aber wenn zu viele Exemplare einer Lieferung nicht in Ordnung seien, dann ginge die ganze Lieferung wieder zurück zum Großhändler. Und für mich war es richtig toll, einen so engagierten Menschen bei der Arbeit zu sehen. Herr Öztürk steht für seine Lebensmittel gerade wie eine Eins und ich glaube, er liebt wirklich seine Lebensmittel. Wenn man jetzt nicht so viel Erfahrung und nicht so ein feines Wahrscheinlichkeitsgefühl hat, wie Herr Öztürk, sich aber trotzdem einen Überblick verschaffen möchte über Ausschussraten und Warenkontrollen, dann kann man die Wahrscheinlichkeiten berechnen statt sie zu fühlen. In diesem Zusammenhang gibt es viele Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Aber die erste Wahrscheinlichkeit, die man berechnet, hat mit der Grundaufgabe zu tun, die so geht. Wenn die Ausschussrate von Ananas bei 4% liegt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass von 100 Ananas 4% Ausschuss sind? Ja, vielleicht denkst Du Dir jetzt an der Stelle, hm, was ist denn das für eine komische Aufgabe. Da steht ja zweimal das Gleiche. Aber schauen wir uns einmal an, was die Angaben genau bedeuten. Wir haben also eine Ausschussrate von 4%. Das ist die Beschreibung eines Zufallsversuchs, der folgendermaßen funktioniert: Man nimmt sich eine Ananas und testet die, ob die in Ordnung ist oder nicht. Das ist ein Zufallsversuch mit zwei Ausgängen. Also ein Bernoulli-Versuch. Und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Ananas nicht in Ordnung ist, also zum Ausschuss gehört, ist gleich 4%. Das kann man übrigens auch mit einer weiteren Ananas machen. Wenn man eine weitere Ananas testet, dann ergibt sich wieder ein Bernoulli-Versuch, denn die Ananas kann entweder zum Ausschuss gehören oder nicht. Und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ananas zum Ausschuss gehört, ist wieder bei 4%. Naja, und so geht das natürlich auch weiter. Man kann das auch mit einer dritten Ananas machen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ananas Ausschuss ist, bleibt bei 4%. Und so entsteht dann eine Bernoulli-Kette von mehreren Bernoulli-Versuchen. Und das waren übrigens wirklich drei verschiedene Ananas. Wenn wir nun 100 mal testen, dann erhalten wir eine Bernoulli-Kette mit 100 Stufen. Und die Anzahl der Stufen der Bernoulli-Kette wird mit n bezeichnet. Dann müssen wir uns noch überlegen, was ist Treffer oder was ist nicht Treffer. Beziehungsweise was ist Erfolg und was ist nicht Erfolg. Oder Misserfolg. Und ich würde sagen, wir nehmen Ausschuss als Treffer. Damit ist die Trefferwahrscheinlichkeit p=4%, also p=0,04. Dann interessieren wir uns ja hier für vier Erfolge. 4% von 100 ist ja gleich vier. Die Anzahl der Erfolge ist k, die ist hier k=4. Und wenn wir jetzt noch eine Zufallsgröße X definieren, die die Anzahl der Erfolge zählt, dann interessiert uns also in dieser Aufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X den Wert vier annimmt bei einer 100-stufigen Bernoulli-Kette bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,04. Und dann müssen wir jetzt diese Angaben hier einsetzen. Und wir erhalten dann: P(X=4) = (100 über 4)×(0,044)×(0,9696) = 0,1994. Und das ist ungefähr 1/5. Vielleicht überrascht Dich dieses Ergebnis. Denn man könnte ja auf die Idee kommen, dass man bei einer Ausschussrate von 4% auch einen Ausschuss von 4% bekommt, wenn man 100 Ananas testet. Die Wahrscheinlichkeit für genau 4% ist aber nur 1/5. Damit ist es also viel wahrscheinlicher, dass die 4% hier nicht erreicht werden. Allerdings ist es auch richtig, dass sich die meiste Wahrscheinlichkeit in der näheren Umgebung von vier Treffern befindet. Und das können wir sehen, wenn wir einfach hier mal für k drei und fünf einsetzen. Und wir erhalten: P(X=3)=(100 über 3)×(0,043)×(0,9697) = 0,1973. Und: P(X=5)=(100 über 5)×(0,045)×(0,9695) = 0,1595. Ja und ich glaube, damit ist dann die Wiese wieder grün. Wenn wir das mal locker zusammenrechen, dann kommen wir ungefähr auf 0,56, also ungefähr 56% Wahrscheinlichkeit, in der unmittelbaren Umgebung hier von vier Treffern. Und ich glaube, dass ist auch das, was wir als Menschen so erwartet hätten. Ich bin sicher, dass Herr Öztürk solche Zahlen im Gefühl hat, dass er sich danach richten kann. Aber wenn man nicht so viel Erfahrung hat wie er und da nicht so drinsteckt und nicht so engagiert ist, kann man es eben auch berechnen. So geht es halt auch. Viel Spaß damit. Tschüss.

7 Kommentare
  1. Das Video ist super, vielen Dank!!! :)

    Von Angelikaklemm, vor mehr als 4 Jahren
  2. @Jasmin Bimueller: k gibt an, wie viele von den 100 Ananas Ausschuss sein sollen. Also ist k=4. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Ananas Ausschuss ist, beträgt p=0,04. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
  3. Warum ist k=4 und nicht 0,04 ?

    Von Jasmin Bimueller, vor mehr als 4 Jahren
  4. Zu langes video für zu wenig information.
    Das editing ist natürlich sehr schön, wie meine Vorredner bereits gesagt haben.

    Von Inena, vor fast 6 Jahren
  5. Super Video.

    Von Wagner Ben, vor mehr als 6 Jahren
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Bernoulli-Experimente – Übung mit Ananas Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bernoulli-Experimente – Übung mit Ananas kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann.

    Tipps

    Welche Kriterien muss ein Experiment aufweisen, damit es ein Bernoulli-Experiment ist?

    Wofür stehen die Variablen $n$, $p$ und $k$?

    Lösung

    Eine Bernoulli-Kette hat genau zwei mögliche Ergebnisse und wird $n$-mal voneinander unabhängig wiederholt.

    In unserem Beispiel kann eine getestete Ananas Ausschuss (Treffer) sein oder sie ist kein Ausschuss. Daher handelt es sich um einen Bernoulli-Versuch. Wir wiederholen diesen Versuch $100$-mal, da wir $100$ Ananas betrachten und erhalten somit eine Bernoulli-Kette mit $n= 100$.

    $p$ bezeichnet die Trefferwahrscheinlichkeit. Da in unserem Beispiel das Ergebnis „Ausschuss“ als Treffer angesehen, gilt

    $p=4~\%=0,04$.

    Die Anzahl der Treffer, die wir erzielen wollen, wird mit $k$ bezeichnet. Wir wollen $4~\%$ Ausschuss erzielen, dies entspricht

    $k= 0,04 \cdot 100 = 4$.

    Werden alle Werte in die Bernoulliformel eingesetzt, so ergibt sich

    $P(X=4) \approx 0,1994$.

  • Gib an, welche Aussagen korrekt sind.

    Tipps

    Bestimme $n$, $k$ und $p$ und setze diese in die richtige Formel ein, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

    Die Bernoulli-Formel lautet:

    $P(X=k)=\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier von $100$ Ananas Ausschuss sind, kann mit Hilfe der Bernoulli-Formel

    $P(X=k)=\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

    bestimmt werden.

    Setzen wir nun für $n= 100$, für $p=0,04$ und für $k=4$ ein, so erhalten wir:

    $P(X=4)=\left(\begin{array}{c} 100 \\ 4 \end{array}\right) \cdot 0,04^4 \cdot 0,96^{96} \approx 0,1994 = 19,94~\%$.

    Die Wahrscheinlichkeit, dass nicht genau vier Ananas Ausschuss sind, kann über das Gegenereignis bestimmt werden und beträgt

    $100~\% - 19,94~\%=80,06~\%$.

    Um Aussage wie: „Die Wahrscheinlichkeit, dass von $100$ Ananas genau vier Stück Ausschuss sind, ist bei einer Ausschussrate von $4~\%$ größer als die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Stück Ausschuss sind“ zu überprüfen, können die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $P(X=3)$ und $P(X=5)$ mit Hilfe der Bernoulli-Formel berechnet werden:

    $P(X=3)=\left(\begin{array}{c} 100 \\ 3 \end{array}\right) \cdot 0,04^3 \cdot 0,96^{97} \approx 0,1973 = 19,73~\% < 19,94~\%$,

    $P(X=5)=\left(\begin{array}{c} 100 \\ 5 \end{array}\right) \cdot 0,04^5 \cdot 0,96^{95} \approx 0,1595 = 15,95~\% < 19,94~\%$.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit für $0$, $1$, $2$ und $3$ Sechsen.

    Tipps

    Kann man die Bernoulli-Formel zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeiten verwenden?

    Überlege zunächst, wie in diesem Beispiel die Größen $n$, $p$ und $k$ definiert sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine $6$ zu würfeln?

    Setze deine Werte in die Bernoulli-Formel ein und variiere für jede Berechnung die Variable $k$.

    Lösung

    Der dreimalige Wurf eines Würfels mit den betrachteten Ereignissen „Treffer = Augenzahl $6$“ und „kein Treffer = Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$“ stellt eine Bernoulli-Kette dar, welche $n=3$ Stufen hat und bei der gilt:

    $k = 0, 1, 2, 3$ , $p = \frac{1}{6}$

    Die allgemeine Bernoulli-Formel lautet:

    $P(X=k)=\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$.

    Wir setzen jeweils die Werte ein und berechnen so die gesuchten Wahrscheinlichkeiten:

    $P(X=0)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^0 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \approx 0,579$,

    $P(X=1)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^1 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^2 \approx 0,347$,

    $P(X=2)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^1 \approx 0,069$,

    $P(X=3)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^0 \approx 0,005$.

  • Berechne jeweils die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Prüfe als Erstes, ob die jeweiligen Aufgaben Bernoulli-Ketten sind.

    Bestimme jeweils die Größen $n$, $p$ und $k$.

    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf, „Wappen“ zu erhalten?

    Lösung

    Bei allen vier Aufgaben handelt es sich um Bernoulli-Ketten, da sie zum einen immer nur zwei verschiedene Ergebnisse erzielen können und die Wahrscheinlichkeit sich von Versuch zu Versuch nicht ändert.

    • Eine Maschine stellt Schrauben mit einem Ausschussanteil von $3~\%$ her, somit ist $p=0,03$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter $n=10$ Schrauben genau $k=2$ Ausschussstücke vorhanden sind. Wir setzen die Werte in die Bernoulli-Formel ein und erhalten: $P(X=2)=\left(\begin{array}{c} 10 \\ 2 \end{array}\right) \cdot 0,03 ^2 \cdot 0,97^8 \approx 0,0317 = 3,17~\%$
    • Der Anteil der Autofahrer, die den Sicherheitsgurt nicht anlegen, beträgt $p=5~\% =0,05$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter $n=10$ vorbeifahrenden Autos $k=0$ Fahrer nicht angeschnallt sind. Wir erhalten nach dem Einsetzen der gegebenen Werte in die Bernoulli-Formel folgendes Ergebnis: $P(X=0)=\left(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array}\right) \cdot 0,05 ^0 \cdot 0,95^{10} \approx 0,5987 = 59,87~\%$
    • In einer Stadt sind $p=10~\%=0,1$ der Einwohner Mitglieder im Sportverein. Die Wahrscheinlichkeit, dass von $n=20$ Personen in der Stadt genau $k=1$ Personen Mitglied in einem Sportverein ist, ist gesucht. Durch das Einsetzen dieser Werte in die Bernoulli-Formel erhalten wir: $P(X=1)=\left(\begin{array}{c} 20 \\ 1 \end{array}\right) \cdot 0,1 ^1 \cdot 0,9^{19} \approx 0,2702$
    • Die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem Münzwurf Wappen erhält, beträgt immer $p = 50~\%=0,5$. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit bei $n=20$ Würfen genau $k=10$ Mal Wappen zu erhalten: $P(X=10)=\left(\begin{array}{c} 20 \\ 10 \end{array}\right) \cdot 0,5 ^{10} \cdot 0,5^{10} \approx 0,1762 = 17,62~\%$
  • Begründe, dass es sich bei dem Beispiel um eine Bernoullikette handelt.

    Tipps

    Wie viele Ausgänge hat ein Bernoulli-Versuch immer? Wie viele Ausgänge kann ein Laplace-Experiment haben?

    Wie hoch ist die Ausschussrate und welche Variable gibt diese an?

    Kann sich die Ausschussrate ändern?

    Welche Variable beschreibt immer die Anzahl der Ziehungen?

    Lösung

    Diese Aufgabe stellt einen Bernoulli-Versuch dar, welcher sich auf das Testen einer Ananas bezieht. Diese Ananas ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 4~\%$ Ausschuss. Da man insgesamt $100$ Ananas testet, spricht man von einer Bernoulli-Kette mit $n = 100$ Stufen.

  • Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Wie viele Rechtshänder kann man jeweils treffen, wenn man von „mindestens $23$“ spricht?

    Prüfe als Erstes, ob du die Bernoulli-Formel anwenden kannst.

    Man addiert die Wahrscheinlichkeiten $P(X=23)$, $P(X=24)$ und $P(X=25)$, um die Wahrscheinlichkeit $P(X > 23)$ zu erhalten.

    Lösung

    Es handelt sich bei dieser Aufgabe um eine Bernoulli-Kette, da man zum einen nur die beiden Ereignisse „Rechtshänder“ und „Nicht-Rechtshänder“ erhalten kann und man zum anderen das Bernoulli-Experiment $25$ Mal unabhängig voneinander durchführen kann.

    Zum Vergleich der beiden Wahrscheinlichkeiten berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit für genau $22$ Rechtshänder. Mithilfe der Bernoulli-Formel ergibt sich:

    $P(X=22)=0,2360$

    Wenn man von mindestens $23$ Rechtshändern spricht, so meint man $23$, $24$ und auch $25$ Rechtshänder. Wir berechnen also jeweils die Wahrscheinlichkeiten dieser Anzahlen und addieren diese anschließend auf:

    $P(X \geq 23) =0,3517$

    Die Wahrscheinlichkeit, in einer Gruppe von $25$ Personen auf mindestens $23$ Rechtshänder zu treffen, ist mit $35,17~\%$ größer als die Wahrscheinlichkeit von $23,60~\%$, auf genau $22$ Rechtshänder zu treffen.