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Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen

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Team Digital
Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Assoziativ- und Kommutativgesetz beim Rechnen mit Brüchen anzuwenden.

Zunächst werden wir das Kommutativgesetz wiederholen und dieses an einem Beispiel anwenden. Anschließend schauen wir uns das Assoziativgesetz nochmal an. Abschließend lernst du, wie du verschiedene Rechenaufgaben mit Hilfe dieser Gesetze vereinfachen kannst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Bruch, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Addition, Multiplikation, Terme, Gleichungen und ganze Zahlen.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was Brüche sind und wie man sie addiert und multipliziert. Zudem solltest du auch schon das Kommutativ- und Assoziativgesetz kennen.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, verschiedene Rechnungen mit Brüchen lösen zu können.

Transkript Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen

Tommy hat ein altes Gesetzbuch in der Familienbibliothek gefunden. Dort werden skurrile Gesetze aus aller Welt zusammengetragen. Wusstest du, dass es in Alaska verboten ist, von einem Flugzeug aus, auf einen Elch herabzuschauen? In Michigan ist es wiederum ein Verbrechen, ein Stinktier in der Schreibtischschublade des Chefs zu verstecken. Sehr kuriose Gesetze in diesem Buch. Kein Wunder, dass auch Gesetze aus der Mathematik zu finden sind. Unter anderem das Assoziativ- und Kommutativgesetz bei Brüchen. Wir erinnern uns: Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt. Dieses besagt, dass wir bei der Addition Summanden und bei der Multiplikation Faktoren beliebig vertauschen können. a plus b ist also gleich b plus a, sowie a mal b gleich b mal a ist. Und das gilt auch für Brüche. Schauen wir uns das an einem Beispiel an: Zwei Fünftel plus ein Fünftel muss dasselbe ergeben wie ein Fünftel plus zwei Fünftel. Wir rechnen aus und erhalten auf beiden Seiten drei Fünftel. Wenn wir eine Multiplikationsaufgabe haben, kommen wir ebenfalls jeweils auf dasselbe Ergebnis, nämlich zwei Sechstel. Mit dem „Assoziativgesetz“, auch „Verknüpfungsgesetz“ genannt, dürfen wir bei der Addition und Multiplikation Klammern beliebig setzen oder auch weglassen. Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel mit Brüchen an. Berechnen wir zuerst die Klammer, so erhalten wir acht Viertel plus ein Viertel auf der linken Seite und fünf Viertel plus vier Viertel auf der rechten Seite. Das ergibt neun Viertel auf beiden Seiten. Multiplizieren wir Brüche, erhalten wir auf beiden Seiten fünfzehn Achtel, unanhängig davon, wie wir die Klammern setzen, denn wir dürfen das Assoziativgesetz auch bei Brüchen anwenden. Wie können wir diese Gesetze jetzt geschickt nutzen? Ein Drittel plus drei Fünftel plus zwei Drittel plus sieben Fünftel. Wenn wir jetzt eine Zahl nach der anderen addieren würden, müssen wir jeden Bruch entsprechend erweitern. Das funktioniert natürlich auch, dauert aber etwas länger. Da wir Brüche mit gleichen Nennern einfacher zusammenrechnen können, wenden wir das Kommutativgesetz an und vertauschen drei Fünftel und zwei Drittel. Nun stehen jeweils die Brüche mit den Nennern drei und fünf nebeneinander. Dann nutzen wir das Assoziativgesetz und setzen so die Klammern. Dadurch addieren wir erst alle Brüche, die denselben Nenner haben. Das ist doch schon viel einfacher. Ein Drittel plus zwei Drittel ergibt drei Drittel. Und drei Fünftel plus sieben Fünftel ergibt zehn Fünftel. Drei Drittel ist gekürzt nichts anderes als eins. Und zehn Fünftel ist gekürzt zwei. Wir rechnen also eins plus zwei und erhalten drei als Ergebnis. Versuche also beim mehrmaligen Addieren die Brüche zusammenzufassen, die relativ einfach addiert werden können. Bringe, wenn möglich, die Brüche zusammen, die den gleichen Nenner haben. Bei der Multiplikation ist es etwas anders. Bei diesem Beispiel ist es sinnvoll, wenn du zuerst drei Viertel und vier Drittel miteinander multiplizierst. Wir nutzen das Kommutativgesetz und vertauschen die ersten beiden Faktoren. Dann wenden wir das Assoziativgesetz an und setzen die Klammern rechts ein. Bevor wir nun multiplizieren, können wir die Brüche in der Klammer über Kreuz kürzen. Wir kürzen also die drei mit der drei und die vier mit der vier. Wir erhalten eins in der Klammer. Nun rechnen wir ein Achtel mal eins, was ein Achtel ergibt. Rechne also stets so, dass du geschickt kürzen kannst. Gar nicht so skurril wie gedacht, denn Tommy hat es verstanden! Fassen wir alles nochmal zusammen. Das Kommutativgesetz besagt, dass wir bei der Addition Summanden und bei der Multiplikation Faktoren beliebig vertauschen können. Mit dem Assoziativgesetz dürfen wir wiederum bei der Addition und Multiplikation Klammern beliebig setzen oder auch weglassen. Diese Gesetze gelten auch bei Brüchen. Wenn du mehrere Brüche addieren sollst, Versuche also beim mehrmaligen Addieren die Brüche zusammenzufassen, die relativ einfach addiert werden können. Bringe, wenn möglich, Brüche mit gleichen Nennern zusammen. Bei längeren Multiplikationsaufgaben suchst du hingegen nach Faktoren die miteinander, also über Kreuz, gekürzt werden können. Dafür kannst du die Faktoren entsprechend vertauschen und Klammern setzen. Dadurch vereinfachst du die Rechnung und kommst schneller zum Ergebnis. Lasst uns nun gemeinsam schauen, was das nächste Gesetz ist. „In Kalifornien darf man keine Schnecken als Haustiere halten.“ Na so ein Glück, dass Tommy nicht in Kalifornien wohnt. Er hat gestern erst eine Schnecke mit nach Hause gebracht.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Dann komm ich in der achten Klasse der Brüche in der 6 klasse hatte und sie erst jetzt überhaupt kann 😑😅

    Von Damian, vor 2 Monaten
  2. Yes, it is a really good Video! I like it ;)

    Von Linda , vor 2 Monaten
  3. Echt witzig mit den gesätzen

    Von Mila , vor 2 Monaten
  4. this is a nice video 。他技術 哦是 啊 你哦次 次的喔🙃😉

    Von Damian, vor 2 Monaten
  5. Super Video, hat mir sehr weitergeholfen!!! Wünscht mir Glück bei der Mathe Arbeit :)

    Von SamuraiDino, vor 3 Monaten
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Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige das Assoziativ- und das Kommutativgesetz.

    Tipps

    $5 + 12 = 12 + 5$

    Hier wurde das Kommutativgesetz angewendet.

    Das Assoziativgesetz kann Rechnungen vereinfachen:

    $\frac{3}{8} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{8} + 1 = 1\frac{3}{8} $

    Lösung

    Das Assoziativ- und das Kommutativgesetz können uns dabei helfen, Terme möglichst geschickt zu berechnen.

    Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt.
    Es besagt, dass wir bei der Addition Summanden beliebig vertauschen können:
    $7 + 24 + 13= 24 + 7 + 13$

    Bei der Multiplikation können wir Faktoren beliebig vertauschen:
    $5 \cdot 13 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 13$

    Das Kommutativgesetz gilt auch beim Rechnen mit Brüchen.

    Das Assoziativgesetz wird auch Verknüpfungsgesetz genannt.
    Es besagt, dass wir bei der Addition und bei der Multiplikation beliebig Klammern setzen oder weglassen dürfen:
    $5 \cdot 2 \cdot 13 = (5 \cdot 2) \cdot 13 = 10 \cdot 13 = 130$

    $24 + 7 + 13 = 24 + (7+13) = 24+20=44$

    Das Assoziativgesetz gilt auch beim Rechnen mit Brüchen.

  • Gib an, ob richtig gerechnet wurde.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz besagt, dass bei der Addition die Summanden beliebig vertauscht werden können. Gleiches gilt für die Faktoren der Multiplikation.

    Das Kommutativgesetz kann auch für Brüche angewendet werden.

    $\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right)+ \frac{1}{4} =\frac{5}{4} + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})$

    Lösung

    Wir prüfen, ob die Gesetze richtig angewendet wurden:

    Richtige Rechnungen:

    • $\frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} =\frac{1}{8} \cdot \left(\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}\right) = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8} $
    Hier wurde das Assoziativgesetz angewendet. Dadurch konnten die Brüche $\frac{3}{4}$ und $\frac{4}{3}$ zuerst zusammengefasst werden, welche sich kürzen lassen.

    • $\frac{1}{3} + \frac{3}{5} + \frac{2}{3} + \frac{7}{5} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{7}{5} = \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{3}{5} + \frac{7}{5}\right) = 1 + 2 = 3$
    Hier wurde zunächst das Kommutativgesetz angewendet. Durch die geschickte Vertauschung der Summanden konnte anschließend das Assoziativgesetz angewendet werden. Somit mussten nur noch Brüche mit gleichem Nenner addiert werden.

    • $\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\right) \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$
    Hier wurde das Assoziativgesetz angewendet, zuerst wurden die ersten beiden Brüche in der Klammer zusammengefasst, anschließend mit dem dritten Bruch multipliziert.

    Falsche Rechnungen:

    • $\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right)+ \frac{1}{4} =\frac{5}{4} + \left(\frac{3}{4}+ \frac{1}{4}\right) \neq \frac{5}{4} + \mathbf{\frac{4}{4} + \frac{4}{4}} = {\frac{13}{4}} $
    Hier wurde die bereits berechnete Summe fälschlicherweise zwei mal addiert. Korrekt muss die Rechnung lauten:

    $\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right)+ \frac{1}{4} =\frac{5}{4} + \left(\frac{3}{4}+ \frac{1}{4}\right) = \frac{5}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9}{4} $

    • $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \neq \frac{1}{3} \cdot \mathbf{\frac{3}{2}} = {\frac{1}{2}}$
    Hier wurde fälschlicherweise mit dem Kehrwert multipliziert. Dies ist nicht möglich. Wir können nur die beiden Faktoren vertauschen:

    $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

  • Wende das Kommutiativ- und das Assoziativgesetz zur Vereinfachung der Rechenausdrücke an.

    Tipps

    Bei der Multiplikation kannst du die Faktoren vertauschen, bei der Addition die Summanden.

    Achte darauf, die Rechenzeichen nicht zu ändern!

    Lösung

    Da das Kommutaitivgesetz und das Assoziativgesetz auch für Brüche gelten, wenden wir sie an, um die Rechenausdrücke zu vereinfachen. Danach können wir die Ausdrücke leichter berechnen:

    • $\frac{7}{9} + \frac{3}{4} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9} + \frac{1}{9} + \frac{3}{4} = \frac{7+1}{9} + \frac{3}{4} = \frac{8}{9} + \frac{3}{4} = \frac{32}{36} + \frac{27}{36} = \frac{59}{36}$
    • $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \cdot \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$
    • $\frac{1}{6} + \frac{3}{4} + \frac{5}{6} + \frac{7}{4} = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{3}{4} + \frac{7}{4} = \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{7}{4}\right) = \frac{1+5}{6} + \frac{3+7}{4} = 1 + \frac{10}{4} = 3\frac{1}{2} $
    • $\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10} $
  • Wende das Assoziativ- und Kommutativgesetz an, um das Ergebnis zu bestimmen.

    Tipps

    Versuche beim Multiplizieren so zu vereinfachen, dass du geschickt kürzen kannst.

    Achte bei der Addition darauf, Brüche mit gleichem Nenner zusammenzufassen. Diese kannst du besonders einfach addieren.

    Lösung

    Beispiel 1:

    $\frac{3}{4} + \frac{2}{7} + \frac{1}{7} = \frac{3}{4} + \left(\frac{2}{7} + \frac{1}{7}\right) = \frac{3}{4} + \frac{3}{7} = \frac{33}{28}$
    Wir wenden zuerst das Assoziativgesetz an, um die beiden Brüche mit gleichem Nenner zusammenzufassen. Danach addieren wir das Ergebnis mit dem ersten Bruch.

    Beispiel 2:

    $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{3} =\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$
    Wir wenden zuerst das Kommutativgesetz an, um den ersten und den letzten Bruch multiplizieren zu können. Diese können wir vor dem multiplizieren geschickt kürzen. Zum Schluss multiplizieren wir das Ergebnis noch mit $\frac{1}{4}$.

  • Gib jeweils an, welches Gesetz angewendet wurde.

    Tipps

    Assoziativgesetz: Verbindungsgesetz

    Kommutativgesetz: Vertauschungsgesetz

    $4 + 18 + 26 = 4 + 26 + 18 = 48$

    Hier wurde das Kommutativgesetz zur geschickten Berechnung angewendet.

    Lösung

    Das Kommutaiv- und das Assoziativgesetz gelten auch für Brüche. Wir überprüfen also, ob mit dem Kommutativgesetz vertauscht wurde, oder ob mit dem Assoziativgesetz verknüpft wurde:

    Hier wurde das Assoziativgesetz angewendet:

    • $\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right)+ \frac{1}{4} =\frac{5}{4} + \mathbf{\left(\frac{3}{4}+ \frac{1}{4}\right)} = \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}$
    • $\frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} =\frac{1}{8} \cdot \mathbf{\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}\right)} = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8} $
    Hier wurde das Kommutativgesetz angewendet:

    • $\frac{1}{3} + \frac{3}{5} + \frac{2}{3} + \frac{7}{5} = \frac{1}{3} + \mathbf{\frac{2}{3} + \frac{3}{5}} + \frac{7}{5} = 1 + 2 = 3$
    • $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \mathbf{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{2}{9}$
    • $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} = \mathbf{\frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$
  • Berechne möglichst geschickt.

    Tipps

    Beispiel:

    $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}\right) = \frac{2}{5} \cdot 1 = \frac{2}{5} $

    Bei der Addition kannst du die Summanden vertauschen. Dies ist besonders vorteilhaft, wenn du dadurch Summanden mit gleichem Nenner zusammenfassen kannst.

    Lösung

    Wir können das Vertauschungs- und das Verknüpfungsgesetz zum geschickten Berechnen der Rechenausdrücke verwenden:

    Beispiel 1:

    $\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{4}{5}= \dfrac{1}{5} + \underbrace{\frac{4}{5} + \frac{2}{3} + \frac{2}{6}}_{\text{Kommutativgesetz}} = \underbrace{\left(\frac{1}{5} + \frac{4}{5}\right)}_{\text{Assoziativgesetz}} + \underbrace{\left(\frac{2}{3} + \frac{2}{6}\right)}_{\text{Assoziativgesetz}} = \dfrac{5}{5} + \dfrac{6}{6} =1+1= 2$

    Wir wenden erst das Kommutativgesetz an und anschließend das Assoziativgesetz.

    Beispiel 2:

    $\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{4}{7} \cdot \underbrace{\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{9}{2}}_{\text{Kommutativgesetz}} = \underbrace{\left(\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{3}\right)}_{\text{Assoziativgesetz}} \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{9}{2} = 6$

    Wir wenden erst das Kommutativgesetz an und anschließend das Assoziativgesetz.

    Beispiel 3:

    $\dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{2} \cdot \underbrace{\left(\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{6}\right)}_{\text{Assoziativgesetz}} = \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 1 $

    Wir wenden das Assoziativgesetz an.

    Beispiel 4:

    $\dfrac{8}{4} + \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7} = \dfrac{8}{4} + \underbrace{\left(\frac{3}{7} + \frac{4}{7}\right)}_{\text{Assoziativgesetz}} = \dfrac{8}{4} + \dfrac{3+4}{7} = 3 $

    Wir wenden das Assoziativgesetz an.

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