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Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen 10:17 min

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Transkript Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen

Hallo. Ich bin Lennart. Heute erkläre ich dir, wie du beim Rechnen mit Brüchen das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz nutzen kannst. Dafür werde ich erst das Kommutativgesetz wiederholen und dir zeigen, wie du es bei Brüchen anwenden kannst. Danach wiederhole ich das Assoziativgesetz und zeige dir ebenfalls, wie du es bei Brüchen anwenden kannst. Warum die beiden Gesetze nützlich sind, werde ich dir in zwei Beispielaufgaben demonstrieren. Zum Schluss werde ich alles Gelernte zusammenfassen. Betrachten wir das Kommutativgesetz. Du kennst das Kommutativgesetz bereits für die Ganzen Zahlen. Man kann bei einer Addition die Summanden beliebig vertauschen. So ergibt 5 plus 7 dasselbe wie 7 plus 5. Oder 3 plus 4 ergibt dasselbe wie 4 plus 3. Das Kommutativgesetz gilt auch bei der Multiplikation mit Ganzen Zahlen. Ersetzt man also das Additionszeichen durch ein Multiplikationszeichen, bleiben die Ergebnisse der Terme gleich. Demnach ergibt 3 mal 4 dasselbe wie 4 mal 3, nämlich 12. Allerdings musst du aufpassen! Denn das Kommutativgesetz gilt nicht bei der Subtraktion und auch nicht bei der Division. 4 minus 3 ist etwas anderes als 3 minus 4. Oder 4 geteilt durch 3 ist etwas anderes als 3 geteilt durch 4. Das Kommutativgesetz bezüglich der Addition und Multiplikation gilt bei allen Ganzen Zahlen. Also, wenn a und b beliebige Ganze Zahlen sind, kann man allgemein sagen, dass a plus b dasselbe ergibt wie b plus a und dass a mal b dasselbe ergibt wie b mal a. Doch wie sieht das jetzt mit Brüchen aus? Das Kommutativgesetz gilt auch hier. Man kann also für a und b nicht nur Ganze Zahlen, sondern auch Brüche einsetzen. So ergibt 1/2 mal 2/3 dasselbe  wie 2/3 mal 1/2. Genauso wie 1/2 plus 2/3 dasselbe ergibt wie 2/3 plus 1/2. Sehen wir uns jetzt das Assoziativgesetz bei den Ganzen Zahlen an. Betrachten wir dazu folgenden Term: 2+3+4. Laut dem Assoziativgesetz können wir bei dieser Addition Klammern beliebig vertauschen. Es kommt also dasselbe heraus, wenn du die Summe von 2 und 3 mit 4 addierst oder wenn du 2 mit der Summe von 3 und 4 addierst, nämlich 9. Das Assoziativgesetz gilt auch wieder für die Multiplikation. Also können wir die Additionszeichen durch Multiplikationszeichen ersetzen und die Ergebnisse der Terme bleiben gleich. Wenn du das Produkt von 2 und 3 mit 4 multiplizierst, bekommst du dasselbe Ergebnis als wenn du 2 mit dem Produkt aus 3 und 4 multiplizierst, nämlich 24. Aber auch hier musst du vorsichtig sein. Denn das Assoziativgesetz gilt wieder nicht bei der Subtraktion und Division. So kommt bei (2-3)-4 etwas anderes raus als bei 2-(3-4). Der Term (2:3):4 hat ein anderes Ergebnis als der Term 2:(3:4). Das Assoziativgesetz bezüglich der Addition und Multiplikation gilt für alle Ganzen Zahlen. Wenn nun a, b und c beliebige Ganze Zahlen sind, gilt das Assoziativgesetz, wie du sicherlich weißt, immer noch. Also ergibt: (ab)c dasselbe wie a(bc). Dasselbe gilt wieder, wenn man das Multiplikationszeichen durch ein Additionszeichen ersetzt: (a+b)+c ergibt demnach dasselbe wie a+(b+c). Das Schöne ist, dass das Assoziativgesetz, wie das Kommutativgesetz, nicht nur für Ganze Zahlen gilt, sondern auch für Brüche. Ich kann also a, b und c durch beliebige Brüche ersetzen. So ergibt (1/4+2/3)+1/3 dasselbe wie 1/4+(2/3+1/3). Wie du siehst, ist es bei diesem Beispiel auch viel einfacher, zuerst 2/3 mit 1/3 zu addieren, was 1 ergibt, und dann 1/4 dazu zu addieren. Addiert man erst 1/4 mit 2/3, wird die Rechnung schwieriger. Natürlich gilt das Assoziativgesetz auch für die Multiplikation. Ich kann also wieder das Additionszeichen durch ein Multiplikationszeichen ersetzen und habe immer noch ergebnisgleiche Terme. Doch sehen wir uns das Ganze an einem Beispiel an. Gegeben ist folgende Gleichung: 3/2+1/5+1/2+4/5. Wenn ich jetzt eine Zahl nach der anderen aufaddieren würde, wäre das recht mühselig, da ich jeden Bruch erst erweitern müsste. Also überlege ich mir, wie ich diese Gleichung anders lösen kann. Dafür verwende ich wieder die Kärtchen. Ich verwende erst das Kommutativgesetz und vertausche die Summanden. Ich vertausche 1/2 mit 1/5. Damit alle Brüche mit dem Nenner zwei und alle Brüche mit dem Nenner fünf jeweils nebeneinander stehen. Jetzt wende ich das Assoziativgesetz an und setze Klammern. Ich addiere erst alle Brüche, die denselben Nenner haben. Nun fange ich an, zu rechnen. 3/2+1/2=4/2. 1/5+4/5=5/5. 4/2 ist gekürzt nichts anderes als zwei und 5/5 ist gekürzt eins. Also zwei plus eins und das ergibt drei. Wie du siehst, konnte ich nur durch die Anwendung des Kommutativgesetzes und des Assoziativgesetzes, also durch die Umsortierung der Summanden und durch sinnvolles Klammern setzen, eine komplizierte Rechnung soweit vereinfachen, dass man sie ganz leicht im Kopf ausrechnen kann. Sehen wir uns dazu einen weiteren Term an: 3/21/52/3. Wenn wir von links nach rechts rechnen, müssen wir erweitern. Damit ich später besser kürzen kann, benutze ich das Kommutativgesetz, um die Faktoren zu vertauschen. Ich vertausche die ersten beiden Faktoren. Nun benutze ich das Assoziativgesetz und setze die Klammern rechts ein, denn man kann bei der Multiplikation von 2/3 und 3/2 die zwei und die drei raus kürzen und erhält eins in der Klammer. Nun muss ich nur noch 1/5 mal eins rechnen, was 1/5 ergibt. Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz haben mir also wieder geholfen, einen relativ komplizierten Term so zu vereinfachen, dass ich ihn im Kopf ausrechnen konnte. Ich fasse alles Gelernte zusammen: Du hast gesehen, dass das Kommutativgesetz und Assoziativgesetz für Summen und Produkte auch für Brüche gelten. Dabei können das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz helfen, komplizierte Terme oder Gleichungen zu vereinfachen. Ich hoffe, du hast alles verstanden. Tschüss und bis zum nächsten Mal!

18 Kommentare
  1. echt gut erklärt bin gut gerüstet für die morgige Schulaufgabe

    Von Alex Matze, vor 10 Monaten
  2. cool

    Von david r., vor 10 Monaten
  3. Beste Video

    Von Edom T., vor 10 Monaten
  4. echt gut

    Von Zahra N., vor 12 Monaten
  5. Echt gut!👍
    Ich brauch trodzdem noch ein bisschen mehr Übung😢🤔

    Von Chiara H., vor 12 Monaten
  1. Danke

    Von David L., vor etwa einem Jahr
  2. Super Video

    Von Nicowald, vor mehr als einem Jahr
  3. Dankeschön fürs helfen versteh noch nicht richtig 😓

    Von amy a., vor fast 2 Jahren
  4. thx

    Von Junghee Chung Opel, vor fast 2 Jahren
  5. super erklärt Dankeschön

    Von Lauryn :D, vor fast 2 Jahren
  6. @Lernmaus 1: Ist deine Frage, ob du die Zahlen bei den Rechnungen vertauschen darfst? Bei Multiplikation (•) und Addition darfst du die Zahlen vertauschen:
    3•4=4•3=12
    5+2=2+5=7
    Bei der Division (:) und Subtraktion (-) darfst du das nicht so einfach machen:
    4:2=2 ≠ 2:4=0,5
    6-1=5 ≠ 1-6=-5
    Wie im Video erklärt wird, gilt das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) nicht für die Division und Subtraktion.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 2 Jahren
  7. Stimmt das was ich im vorherigen SMS geschrieben habe?

    Von jursch l., vor mehr als 2 Jahren
  8. Man kann plus, minus, geteilt und mal alles verwechseln, aber minus und geteilt gehen halt unter null z.B. :4-5=-1 (minus war das)!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von jursch l., vor mehr als 2 Jahren
  9. Komisch, mein Taschenrechner spuckt bei allen Bespielen ausm Video das selbe Ergebnis aus...

    Von Deleted User 406616, vor mehr als 3 Jahren
  10. echt gut erklärt

    Von Seno Hehl, vor mehr als 4 Jahren
  11. @Kremer 1:
    Ja, das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz (oder Assotiativgesetz; beides ist richtig) gelten für die Addition und Multiplikation auch bei Dezimalzahlen (Kommazahlen). Man spricht in der Mathematik allgemein von den rationalen Zahlen. Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten für die Addition und Multiplikation sogar für alle reelle Zahlen (dies schließt auch die irrationalen Zahlen, wie zum Beispiel π (Pi), mit ein).
    Das Assoziativ- und das Kommutativgesetz gelten allerdings nicht allgemein für die Subtraktion und Division bei den reellen Zahlen.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 5 Jahren
  12. Kann man im Kommutativ und Assoziativgesetz auch mit Kommazahlen rechnen?

    Von Kremer 1, vor etwa 5 Jahren
  13. hat gut geholfen. danke lennart

    Von R Kanzlsperger, vor etwa 5 Jahren
Mehr Kommentare

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Assoziativgesetz und Kommutativgesetz bei Brüchen kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze den Text zum Rechnen mit Brüchen.

    Tipps

    Die Gesetze gelten nur beim Rechnen mit bestimmten Operationen.

    Beim Kommutativgestz kann man unter bestimmten Vorraussetzungen Brüche vertauschen.

    Das Assoziativgesetz der Multiplikation für Brüche $a$, $b$ und $c$ besagt: $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$.

    Vergleiche $3-4$ mit $4-3$ und $3:4$ mit $4:3$. Was fällt dir auf?

    Lösung

    Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten für die Addition und Multiplikation mit Brüchen und nicht für die Subtraktion und Division.

    Beim Kommutativgesetz darf man zwei Terme vertauschen. In Formel bedeutet das $a+b = b+a$ für die Addition und $a\cdot b = b\cdot a$ für die Multiplikation zweier Brüche $a$ und $b$.

    Beim Assoziativgesetz kann man Klammern beliebig setzen. Das heißt, die Reihenfolge der Ausführung der Operation spielt keine Rolle. In Formel bedeutet das $(a+ b)+ c = a+ (b+ c)$ für die Addition und $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$ für die Multiplikation von Brüchen $a$, $b$ und $c$.

  • Bestimme mit Hilfe des Kommutativgesetzes und Assoziativgesetzes die gleichwertigen Terme.

    Tipps

    Beim Kommutativgesetz kann man bei der Addition und bei der Multiplikation zwei Brüche vertauschen.

    Beim Assoziativgesetz kann man bei der Addition und bei der Multiplikation Klammern beliebig setzen.

    Lösung

    Wenn du einen Term aus Brüchen hast, wobei die Brüche mit der Addition verknüpft sind, kannst du Brüche paarweise vertauschen:

    $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$.

    Außerdem kannst du bei so einem Term beliebig Klammern setzen:

    $\left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right) + \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)$.

    Wenn du einen Term aus Brüchen hast, wobei die Brüche mit der Multiplikation verknüpft sind, kannst du Brüche paarweise vertauschen:

    $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$.

    Außerdem kannst du bei so einem Term beliebig Klammern umsetzen:

    $\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\right)$.

  • Bestimme die Lösung der Aufgaben mit Hilfe des Kommutativ- und Assoziativgesetzes.

    Tipps

    Bei den Kommutativgesetzen $a+b=b+a$ und $a \cdot b=b \cdot a$ für Brüche $a$ und $b$ kann man bei der Addition und Multiplikation Brüche vertauschen.

    Bei Assoziativgesetzen $a+b+c+d=\left(a+b\right)+\left(c+d\right)$ oder $a \cdot b \cdot c \cdot d=\left(a \cdot b \right) \cdot \left( c \cdot d \right)$ für Brüche $a$, $b$, $c$ und $d$ kann man bei der Addition und Multiplikation Klammern beliebig setzen. Das heißt, dass man bestimmte Brüche zuerst zusammenrechnen kann.

    Lösung

    Um den Term $\frac{3}{4} + \frac{8}{6} +\frac{2}{3} + \frac{5}{4}$ aus Brüchen zu vereinfachen, benutzt du zuerst das Kommutativgesetz, um $\frac{8}{6}$ und $\frac{5}{4}$ zu vertauschen.

    Damit erhältst du $\frac{3}{4} + \frac{5}{4} +\frac{2}{3} + \frac{8}{6}$.

    Nun benutzt du das Assoziativgesetz und erhältst $\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{4}\right) +\left(\frac{2}{3} + \frac{8}{6}\right)$.

    Mit Ausführung der Addition bekommst du $\frac{8}{4} + \frac{6}{3}$.

    Nach Kürzen bekommst du das Ergebnis $2+2=4$.

    Analog geht es dann mit den nächsten Termen weiter.

    Für das zweite Beispiel gilt: \begin{align} &\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{3} & \\=&\frac{3}{4} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{5} &\quad \text{(Kommutativgesetz)} \\=&\left(\frac{3}{4} \cdot \frac{10}{3}\right) \cdot \frac{2}{5} &\quad \text{(Assoziativgesetz)} \\=&\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} &\quad \text{(Kürzen)} \\=&1 &\quad \text{(Kürzen)} \end{align}

    Für das dritte Beispiel gilt: \begin{align} &\frac{2}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{5} +\frac{1}{5} & \\=& \left(\frac{2}{3} + \frac{4}{3}\right) + \left(\frac{4}{5} +\frac{1}{5}\right) &\quad\text{(Assoziativgesetz)} \\=& 2 + 1 &\quad\text{(Zusammenfassen)} \\=& 3 \end{align}

    Für das vierte Beispiel gilt: \begin{align} &\frac{7}{4} \cdot \frac{10}{6} \cdot \frac{8}{2} \cdot \frac{3}{5} & \\=&\frac{7}{4} \cdot \frac{8}{2} \cdot \frac{10}{6} \cdot \frac{3}{5} &\quad \text{(Kommutativgesetz)} \\=&\left(\frac{7}{4} \cdot \frac{8}{2} \right) \cdot \left( \frac{10}{6} \cdot \frac{3}{5} \right) &\quad \text{(Assoziativgesetz)} \\=&7\cdot1 \quad &\text{(Kürzen)} \\=&7 & \end{align}

  • Vereinfache die folgenden Terme aus Brüchen mit Hilfe des Kommutativgesetztes und Assoziativgesetzes.

    Tipps

    Es ist sinnvoll, zuerst das Kommutativgesetz anzuwenden, um die Reihenfolge von Brüchen zu vertauschen.

    Beim Assoziativgesetz können die Klammern beliebig gesetzt werden.

    Beim Addieren zweier Brüche brauchen sie den gleichen Nenner. Beim Multiplizieren zweier Brüche vereinfacht man sich die Arbeit mit Kürzen.

    Lösung

    Du solltest zuerst das Kommutativgesetz und dann das Assoziativgesetz benutzen, um dann den einfacheren Term mit den dir bekannten Rechenregeln zu lösen. Wir vertauschen zunächst die Reihenfolge der Brüche (Kommutativgesetz) und erhalten:

    $\frac{3}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{5} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{4}{5}$

    Verändern wir die Klammersetzung (Assoziativgesetz) so erhalten wir:

    $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{4}{5}\right) $

    Nun können wir die Brüche einfach zusammenfassen:

    $\left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{4}{5}\right) = 2+1=3$.

    Analog können wir für die Multiplikationsaufgabe vorgehen:

    \begin{align} & \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} &\\ =& \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \quad &\text{(Kommutativgesetz)} \\ =& \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) \quad &\text{(Assoziativgesetz)} \\ =& \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} \quad & \text{(Kürzen)} \end{align}

  • Ordne die Terme mit Hilfe des Kommutativgesetzes und Assoziativgesetzes.

    Tipps

    Benutze erst das Kommutativgesetz.

    Danach kann man mit dem Klammernsetzen des Assoziativgesetzes bestimmte Rechenschritte zuerst machen.

    Lösung

    Du solltest zuerst das Kommutativgesetz und dann das Assoziativgesetz benutzen, um dann den einfacheren Term mit den dir bekannten Rechenregeln zu lösen. Wir vertauschen zunächst die Reihenfolge der Brüche (Kommutativgesetz) und erhalten:

    $\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{8}$.

    Setzen wir die Klammersetzung (Assoziativgesetz), so erhalten wir:

    $\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{6} + \frac{2}{6}\right) + \frac{1}{8}$.

    Dann können wir die Addition in den Klammern ausführen:

    $\left(\frac{1}{6} + \frac{2}{6}\right) + \frac{1}{8} = \frac{3}{6} + \frac{1}{8}$.

    Nun müssen wir beide Brüche auf den gemeinsamen Nenner bringen:

    $\frac{3}{6} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$.

    Analog können wir für die zweite Aufgabe vorgehen:

    \begin{align} \\&\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} & \\=& \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} &\quad\text{(Kommutativgesetz)} \\=& \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{4}{5} &\quad\text{(Assoziativgesetz)} \\=& \frac{4}{5} &\quad\text{(Kürzen)} \end{align}

    Und für die dritte Aufgabe dann weiter:

    \begin{align} \\&\frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{3}{5} & \\=& \frac{1}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} &\quad\text{(Kommutativgesetz)} \\=& \left(\frac{1}{5} + \frac{3}{5}\right) + \frac{1}{4} &\quad\text{(Assoziativgesetz)} \\=& \frac{4}{5} + \frac{1}{4} &\quad\text{(Zusammenfassen)} \\=& \frac{16}{20} + \frac{5}{20} &\quad\text{(Brüche gleichnamig machen)} \\=& \frac{21}{20} &\quad\text{(Zusammenfassen)} \end{align}

    Für die letzte Aufgabe geht es auch analog:

    \begin{align} \\&\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{3} & \\=& \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{5}{3} &\quad\text{(Kommutativgesetz)} \\=& \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{6}{3}\right) \cdot \frac{5}{3} &\quad\text{(Assoziativgesetz)} \\=& \frac{6}{4} \cdot \frac{5}{3} &\quad\text{(Kürzen)} \\=& \frac{30}{12} &\quad\text{(Zusammenfassen)} \\=& \frac{5}{2} &\quad\text{(Kürzen)} \end{align}

    Offensichtlich gilt dann, dass

    \begin{align} \frac{5}{8} < \frac{4}{5} < \frac{21}{20} < \frac{5}{2} \end{align}

  • Arbeite heraus, welche der Rechnungen richtig sind.

    Tipps

    Es ist bei der Addition nützlich, erst das Kommutativgesetz ($a+b=b+a$) zu benutzen, um dann mit dem Assoziativgesetz ($a+b+c+d=(a+b)+(c+d)$) Brüche zusammenzufassen, wenn nicht alle Brüche den gleichen Nenner haben.

    Beim Multiplizieren von den Brüchen ist es auch nützlich, erst das Kommutativgesetz ($a \cdot b = b \cdot a$) und dann das Assoziativgesetz ($a \cdot b \cdot c\cdot d = \left(a \cdot b\right) \cdot \left(c \cdot d\right)$) zu benutzen, um dann durch das Kürzen die Rechnung zu vereinfachen.

    Lösung

    Du solltest zuerst das Kommutativgesetz und dann das Assoziativgesetz benutzen, um dann den einfacheren Term mit den dir bekannten Rechenregeln zu lösen. Wir vertauschen zunächst die Reihenfolge der Brüche (Kommutativgesetz) und erhalten:

    $\frac{7}{6} + \frac{4}{3} + \frac{10}{12} + \frac{3}{2} = \frac{7}{6} + \frac{10}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2}$.

    Indem du den zweiten Bruch kürzt, erhältst du:

    $\frac{7}{6} + \frac{10}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{7}{6} + \frac{5}{6} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2}$.

    Verändern wir die Klammersetzung (Assoziativgesetz), so erhalten wir:

    $\frac{7}{6} + \frac{5}{6} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \left(\frac{7}{6} + \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{4}{3} + \frac{3}{2}\right)$.

    Nun können wir die Brüche einfach zusammenfassen:

    $\left(\frac{7}{6} + \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{4}{3} + \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{7}{6} + \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{8}{6} + \frac{9}{6}\right) = \frac{12}{6} + \frac{17}{6} = \frac{29}{6}$.

    Analog können wir für die Multiplikationsaufgabe vorgehen:

    \begin{align} \\&\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{6} & \\=&\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{6} &\quad \text{(Kommutativgesetz)} \\=&\left(\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{6}\right) &\quad \text{(Assoziativgesetz)} \\=&2 \cdot \frac{1}{2} &\quad \text{(Kürzen)} \\=&1 & \end{align}