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Abstand Gerade-Ebene

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Abstand Gerade-Ebene
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Abstand Gerade-Ebene

Ich werde dir in diesem Video eine Anleitung dafür geben, wie du den Abstand zwischen einer Gerade und einer Ebene bestimmen kannst. Du solltest dir allerdings merken, dass dieser Abstand nur dann bestimmt werden kann, wenn die Gerade parallel zu der Ebene ist. Dann hat nämlich jeder Punkt der Gerade den gleichen Abstand zur Ebene. Deshalb bestimmt man den Abstand irgendeines Punktes der Gerade ( zum Beispiel des Endpunktes des Stützvektors ) zur Ebene mit der entsprechenden Abstandsformel.

Transkript Abstand Gerade-Ebene

Tutor: Also, Abstand eines Punktes, Abstand einer Gerade zu einer Ebene ist das Thema. Wir kommen gleich auf den Punkt. Also, wir können das erst mal zeigen, das ist eine Ebene, ich halte das mal schräg, damit man das besser sehen kann. Schülerin: Ja. Und das ist die Gerade. Tutor: Okay, das ist eine Gerade, die darf - darf ich mal eben zeigen - auch so oder so liegen, das ist völlig egal. Sie muss aber? Schülerin: Parallel sein, weil sonst würde sie so durch die Ebene gehen und hätte einen Schnittpunkt und deswegen keinen Abstand zur Ebene. Tutor: Genau. Und wie berechnet man jetzt den Abstand? Schülerin: Man sucht sich irgendeinen Punkt dieser Gerade und berechnet dann den Abstand zwischen dem Punkt dieser Gerade und der Ebene. Und es ist natürlich gut, dann einfach hier den Stützvektor zu nehmen. Tutor: Man kann irgendeinen Punkt nehmen, weil jeder Punkt zur Ebene den gleichen Abstand hat. Jeder Punkt der Gerade hat zur Ebene den gleichen Abstand, das ist der Sinn der Parallelität. Und wenn man dann schon den Stützvektor hat, dann nimmt man halt den und berechnet den Abstand des Endpunktes des Stützvektors zur Ebene. Schülerin: Ja, gut. Tutor: Und Abstand eines Punktes zu einer Ebene haben wir quasi schon besprochen. Das ist so, dass man einfach diese Abstandsformel verwenden kann. Dazu braucht man einen Punkt und eine Ebene in Koordinatenform. Aus der Koordinatenform kann man den Normalenvektor ablesen. Dieses d hier, ist das, was hinter dem Gleichheitszeichen steht, diese Zahl, die hinter dem Gleichheitszeichen steht, der Koordinatenform, und 0P ist der Vektor, der vom Ursprung zum Punkt P führt, und da kann man dann den Stützvektor der Geraden einsetzen. Schülerin: Ja. Tutor: Was macht man, wenn man die Ebene nicht in Koordinatenform, sondern in Parameterform gegeben hat? Schülerin: Dann formt man sie so um, dass man sie in Koordinatenform hat. Tutor: Genau. Ist ein Verfahren, das wir jetzt nicht besprechen, ist in einem anderen Film besprochen worden, Umformen von Ebenen von Parameterform in Koordinatenform oder sonst was. Sollte die Ebene in Normalenform gegeben sein, kann man sie auch in Koordinatenform umformen. Okay, dann kann man jetzt einfach die Sachen, die hier sind, einsetzen und den Abstand ausrechnen. Schülerin: Ja, zunächst können wir ja den Normalenvektor der Ebene uns anschauen, das ist 5, -2 und 1. Tutor: Genau, hier steht ja quasi eine 1 vor. Das sind einfach die Koeffizienten der Variablen der Koordinatenform, die bilden den Normalenvektor. Schülerin: Ja und der Betrag des Normalenvektors wäre somit: 25, ne? 52 ... Tutor: Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate ist die Länge des Vektors, also der Betrag. Schülerin: \sqrt30. Tutor: Genau. Schülerin: Und das würde ergeben ... Tutor: Skalarprodukt aus Normalenvektor und Ortsvektor des Punktes. Schülerin: Da haben wir ja gesagt, das ist 2 und 2. So. Tutor: Genau, 12 kommt raus. Und dann ... Schülerin: Und das jetzt alles oben eingesetzt. Tutor: Genau, \sqrt30 ist der Betrag. Schülerin: Das hier, also 12-1. Tutor: Wenn man es ganz genau nimmt, müssten das eigentlich Betragsstriche sein, aber du weißt ja schon, was rauskommt. Es kommt eine positive Zahl raus und dann ... Schülerin: Genau. Tutor: Wenn eine negative rauskommen würde, müsste man natürlich noch den Betrag bilden. Schülerin: So, und das wären dann ... Tutor: 11/ \sqrt30. Schülerin: Genau. Tutor: Wunderbar. Schülerin: Und das ist ungefähr 2. Tutor: Ja, also hier muss man wirklich nur in die Formel einsetzen und das war es. Schülerin: Ja. Tutor: Gut.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Ist die Abstandsformel denn immer anwendbar? Kann ich also damit immer den Abstand eines beliebigen Punktes zu einer beliebigen Ebene ausrechnen?

    Von Christianbiegler, vor fast 8 Jahren

Abstand Gerade-Ebene Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abstand Gerade-Ebene kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Werte oder Vektoren eingesetzt werden müssen.

    Tipps

    Der Normalenvektor $\vec n$ besteht aus den Koeffizienten der Variablen der Koordinatenform.

    Als Ortsvektor $\vec{OP}$ kannst du den Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden wählen.

    Der Stützvektor der Gerade ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

    Lösung

    Es soll diese Formel zur Berechnung des Abstandes einer Geraden zu einer Ebene verwendet werden. Dabei muss die Gerade parallel zu der Ebene verlaufen: Das bedeutet, dass der Abstand jeden Punktes der Geraden zu der Ebene gleich groß ist.

    $\vec n$ ist der Normalenvektor der Ebene. Diesen kann man anhand der Koeffizienten der Variablen in der Koordinatenform ablesen. Somit ist

    $\vec n=\begin{pmatrix}5 \\ -2 \\1 \end{pmatrix}$

    und damit dessen Länge

    $|\vec n|=\sqrt{5^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{25+4+1}=\sqrt{30}$.

    Als Ortsvektor $\vec{OP}$ kann der Stützvektor

    $\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\2 \end{pmatrix}$

    der Geraden verwendet werden.

    $d$ ist die rechte Seite der Koordinatengleichung, also hier $d=1$.

  • Berechne den Abstand der Geraden zu der Ebene.

    Tipps

    Du berechnest den Betrag oder die Länge eines Vektors, indem du jede Koordinate quadrierst, die Quadrate addierst und aus der Summe die Wurzel ziehst.

    Du siehst hier ein Beispiel.

    Der Normalenvektor der Ebene ist durch die Koeffizienten der Variablen in der Koordinatenform der Ebene gegeben.

    Du kannst in der Abstandsformel für $\vec {OP}$ den Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden einsetzen.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Berechnung des Skalarproduktes zweier Vektoren.

    Lösung

    Da die Gerade $g$ parallel zu der Ebene $E$ verläuft, genügt es, den Abstand des gegebenen Punktes $P(2|0|2)$ zu der Ebene zu berechnen. Man hätte natürlich auch jeden anderen Punkt der Geraden nehmen können.

    Die verwendete Abstandsformel lautet

    Abst$(P,E)=\frac1{|\vec n|}\left|\vec n * \vec{OP}-d\right|$.

    Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\1 \end{pmatrix}$

    und dessen Länge $|\vec n|=\sqrt{5^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{30}$.

    Es ist $d=1$, die rechte Seite der Koordinatengleichung der Ebene.

    Nun kann noch das Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem Stützvektor der Geraden berechnet werden:

    $\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\2 \end{pmatrix}=10+2=12$.

    All diese Größen können in der Formel eingesetzt werden:

    Abst$(P,E)=\frac1{\sqrt{30}}\left|12-1\right|=\frac{11}{\sqrt{30}}$.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Man versteht unter dem Abstand immer den kürzesten Abstand.

    Wenn zwei geometrische Gebilde (Geraden oder Ebenen) gemeinsame Punkte haben, dann ist der Abstand immer $0$.

    Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene verläuft, hat jeder der Punkte der Geraden zu der Ebene den gleichen Abstand.

    Lösung

    Wieso kann man diese Abstandsformel auch für die Berechnung des Abstandes einer Geraden zu einer Ebene verwenden? Diese Formel gibt doch den Abstand eines Punktes zu einer Ebene an.

    Oder, anders gefragt: Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit diese Formel zur Abstandsberechnung von Geraden und Ebenen verwendet werden darf?

    Die Gerade muss parallel zu der Ebene verlaufen. Dann hat jeder Punkt der Geraden den gleichen Abstand zu der Ebene. Das bedeutet, man kann jeden Punkt der Geraden einsetzen und erhält jedes Mal den gleichen Abstand.

    Was passiert eigentlich, wenn die Gerade in der Ebene liegt? Dann ist das Sklararprodukt des Normalenvektors mit dem Ortsvektor eines Punkt der Geraden immer gleich $d$, der rechen Seite der Koordinatenform. Also liefert die Formel den Abstand $0$. Dies ist auch anschaulich klar.

    Wenn die Gerade die Ebene schneidet, kann man die Abstandsformel nicht verwenden, da verschiedene Punkte der Geraden verschiedene Abstände zu der Ebene haben. Unter dem Abstand versteht man immer den kürzesten Abstand. Da die Gerade und die Ebene einen Punkt gemeinsam haben, den Schnittpunkt, ist der Abstand also auch hier $0$. Nur kann man dies nur durch Zufall, also durch Einsetzen des Schnittpunktes, mit der obigen Formel erhalten.

  • Ermittle alle Werte oder Vektoren, welche für die Abstandsrechnung benötigt werden.

    Tipps

    Der Normalenvektor der Ebene hat als x-Koordinate den Faktor vor dem $x$, als y-Koordinate den vor $y$ und als z-Koordinate den vor $z$.

    Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate.

    Ein Beispiel für das Skalarprodukt zweier Vektoren kannst du hier sehen.

    Lösung

    Um die Abstandsformel

    Abst$(P,E)=\frac1{|\vec n|}\left|\vec n * \vec{OP}-d\right|$

    zu verwenden, muss man sich die jeweiligen Größen zunächst klarmachen:

    Der Normalenvektor der Ebene lautet

    $\vec n =\begin{pmatrix} 6 \\ -2\\ 3 \end{pmatrix}$

    und damit dessen Länge

    $|\vec n|=\sqrt|{6^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{49}=7$.

    $d$ ist die rechte Seite der Ebene in der Koordinatenform: $d=12$.

    Der Vektor $\vec{OP}$ ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden, also zum Beispiel

    $\vec{OP}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 2 \end{pmatrix}$.

    Nun kann das Skalarprodukt des Normalenvektors mit dem Stützvektor berechnet werden:

    $\begin{pmatrix} 6 \\ -2\\ 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 2 \end{pmatrix}=6\cdot 2+(-2)\cdot 2+3\cdot 2=12-4+6=14$.

    All diese Werte können nun in der Formel zur Berechnung des Abstandes eingesetzt werden und man erhält

    Abst$(P,E)=\frac17|14-12|=\frac27$.

  • Beschreibe, wie man den Normalenvektor einer Ebene in Koordinatenform bestimmen kann und berechne dessen Länge.

    Tipps

    Der Normalenvektor der Ebene $E:x+2y+3z=6$ ist

    $\vec n=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}$

    Beachte: Wenn vor der Koordinate kein Faktor steht, so ist dieser $1$ (und nicht $0$!!!).

    Die Länge des Vektors $\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\2 \end{pmatrix}$ ist gegeben durch

    $\left|\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\2 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}$.

    Lösung

    Wie kann man aus der Ebenengleichung in Koordinatenform

    $E: 5x_1-2x_2+x_3=1$

    den Normalenvektor der Ebene ablesen?

    Die Koordinaten des Normalenvektors sind die Koeffizienten vor der entsprechenden Koordinate in der Koordinatenform:

    • die erste Koordinate des Normalenvektors ist $5$,
    • die zweite $-2$ und
    • die dritte $1$. Wenn kein Faktor, kein Koeffizient, vor der Koordinate steht, ist dieser $1$.
    Somit lautet der Normalenvektor

    $\vec n=\begin{pmatrix}5 \\ -2 \\1 \end{pmatrix}$

    Dessen Länge berechnet man, indem man jede einzelne Koordinate quadriert, die Quadrate addiert und aus der Summe die Wurzel zieht:

    $|\vec n|=\sqrt{25+4+1}=\sqrt{30}$.

  • Berechne den Abstand von Gerade und Ebene.

    Tipps

    Die Gerade verläuft parallel zu der Ebene. Dies musst du nicht überprüfen.

    Das Skalarprodukt von Normalenvektor und Stützvektor ist $-9$.

    Bis auf den Abstand sind alle Zahlen ganze Zahlen. Der Abstand ist eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle.

    Wenn eine Koordinate in der Koordinatenform fehlt, ist die entsprechende Koordinate des Normalenvektors $0$.

    Lösung

    Der Normalenvektor der Ebene ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ -4 \end{pmatrix}$

    und dessen Länge $|\vec n|=\sqrt{3^2+(.4)^2}=\sqrt{25}=5$.

    Als Vektor $\vec{OP}$ kann man den Stützvektor verwenden. Das Skalarprodukt des Normalenvektors mit diesem Vektor ist

    $\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ -4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}=3-12=-9$.

    Nun können diese Werte in der Abstandsformel eingesetzt werden, da die Gerade $g$ parallel zu der Ebene $E$ verläuft:

    Abst$(P,E)=\frac15|-9-12|=\frac{21}5=4,2$.

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