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Abituraufgabe Vektorrechnung Grundkurs – Aufgabe 1

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Martin Wabnik
Abituraufgabe Vektorrechnung Grundkurs – Aufgabe 1
lernst du in der 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Abituraufgabe Vektorrechnung Grundkurs – Aufgabe 1

In dieser Abituraufgabe für Nordrhein-Westfalen Grundkurs zur Vektorrechnung ist ein Würfel mit einem darin befindlichen Dreieck gegeben. Es sind die Koordinaten dreier Eckpunkte A, B und C des Würfels gegeben. Nun soll in Aufgabe 1 gezeigt werden, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. Der Lösungsansatz ist folgender: Du kannst die Länge des Vektors berechnen, indem du die Koordinaten des einen Punktes von den Koordinaten des anderen abziehst. Die Länge erhälst du, indem du seinen Betrag bestimmst. Wenn du dieses Verfahren auch auf die Dreiecksseiten überträgst, wirst du die Aufgabe lösen.

Transkript Abituraufgabe Vektorrechnung Grundkurs – Aufgabe 1

Hallo! Wir machen eine Abituraufgabe für den Grundkurs in Nordrhein-Westfalen. Vektorrechnung ist das Thema. Also das große Thema, Überthema, ist analytische Geometrie. Und wir haben hier als erstes mal ein paar Punkte gegeben: A, B, C, P und Q. Die brauchen wir noch, um die Aufgabe zu lösen und als erstes soll jetzt gezeigt werden, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. Ja, wir haben auch eine kleine Zeichnung dazu, so sieht das ungefähr aus. Wir haben hier A, dort haben wir B und dort C. Ich drehe das mal ein bisschen, damit man das gut sehen kann. Es geht jetzt also um dieses schwarzgefärbte Dreieck hier drin, das Dreieck ABC. Das ist gleichseitig. Das kann man hier so sehen, weil die Seiten ja jeweils Diagonalen in einem Würfel sind. Aber, dass hier ein Würfel existiert, können wir natürlich so nicht voraussetzen. Wir müssen das dann schon vernünftig nachweisen. Ja, und wie macht man das? Wenn ich zeigen will, dass diese Seite hier genauso lang ist wie diese Seite zum Beispiel, dann kann ich einen Vektor bilden, der von zum Beispiel A zu B führt, den Betrag dieses Vektors ausrechnen, also die Länge dieses Vektors ausrechnen und dann einen Vektor bilden, der zum Beispiel von B zu C führt und dann auch den Betrag, also die Länge dieses Vektors, ausrechnen. Dann kann ich die beiden miteinander vergleichen, die beiden Längen und dann müsste ich feststellen, dass das also die gleiche Länge ist. Und da macht man das nochmal genauso. Also man nimmt einen Vektor von A zu C oder von C zu A, das ist in dem Fall natürlich völlig egal. Dann brauchen wir einen Vektor von A zu B und wir brauchen den Betrag davon. Und den Vektor von A zu B, den bekommt man, indem man B minus A rechnet, also Punkt B minus Punkt A. Dann haben wir hier -3-9=(-12) und 8-(-4)=12 und dann haben wir noch -2-(-2)=0. Das heißt, unser Vektor von A zu B ist minus zwölf, zwölf und null. Und der Betrag dieses Vektors ist ja die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Hier ist die Wurzel und hier ist ein Koordinatenquadrat. Wenn wir also (-12) quadrieren, dann erhalten wir ja 144 und wenn man 12 quadriert erhalten wir auch 144 und wenn wir null quadrieren erhalten wir natürlich null. Das ist die Summe der Koordinatenquadrate und das ist hier halt die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Hier kann ich auf den Betrag, auf die Betragsstriche, natürlich verzichten, denn eine Wurzel ist ja immer positiv definiert. Ja, und letzten Endes ist das also der Betrag des Vektors. Also Wurzel von 288. Oder „aus 288” kann man auch sagen. Und da sehe ich schon, dass da Leute zum Taschenrechner greifen und das braucht man hier nicht, denn wir müssen einen exakten Wert angeben. Der Taschenrechner kann vielleicht nur einen Näherungswert angeben, ist hier aber nicht gefragt. Wurzel 288 wäre okay, aber wir können uns ja auch daran erinnern, wie die 288 entstanden ist. Nämlich aus 12² und dann können wir hier teilweise die Wurzel ziehen. Hier steht ja 212², also haben wir hier 12 Wurzel 2. Und für die Leute, die es gerne sehen wollen: Längeneinheiten kann ich auch hinschreiben. Wunderbar. Und damit ist die Aufgabe natürlich nicht vorbei. Wir haben jetzt die Länge von AB bestimmt und brauchen noch die Länge zum Beispiel von B zu C. Das funktioniert aber alles analog. Man rechnet das mit den gleichen Rechenweisen aus und deshalb brauche ich das hier glaube ich nicht weiter zu zeigen. Viel Spaß damit. Tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @Quyenlinhdao Der Taschenrechner flog gegen die Wand und dann gegen das Stativ.

    Von Martin Wabnik, vor mehr als einem Jahr
  2. Bei Minute 3:30 wackelte etwas die Kamera war das geplant

    Von Quyenlinhdao, vor mehr als einem Jahr
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