Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel (1)

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Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel (1) Übung
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Berechne das Teilungsverhältnis, in welchem die Strecke $\overline{AB}$ geteilt wird.
TippsDer Verbindungsvektor zweier Punkte berechnet sich als Differenz des Ortsvektors des Endpunktes und dem des Anfangspunktes.
Zwei Vektoren $\vec u $ und $\vec v$ heißen kollinear, wenn eine Zahl $a\in \mathbb{R}$ existiert mit
$\vec u=a\cdot \vec v$.
Schreibe das Vielfache des Vektors als Bruch $\frac ab$. Dann ist das Teilungsverhältnis als $|a|:|b|$ gegeben.
LösungUm das Teilungsverhältnis zu berechnen, benötigt man die Verbindungsvektoren:
$\vec{AT}=\begin{pmatrix} -4\\ -6\\ -2 \end{pmatrix};~~\vec{TB}=\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ -1 \end{pmatrix}$
Diese beiden Verbindungsvektoren sind kollinear. Das bedeutet, dass sich der eine Vektor als Vielfaches des anderen schreiben lässt:
$\vec{AT}=\begin{pmatrix} -4\\ -6\\ -2 \end{pmatrix}=\frac 21\cdot\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ -1 \end{pmatrix}=\frac 21\cdot \vec{TB}$
An dem Faktor, welcher als Bruch geschrieben ist, kann das Teilungsverhältnis $2:1$ direkt abgelesen werden.
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Bestimme den fehlenden Punkt $B$.
TippsVerwende die Definition:
Das Teilungsverhältnis ist gegeben durch
$|a| : |b|~\Leftrightarrow~\vec{AT}=\frac ab\cdot \vec{TB}$.
Der Verbindungsvektor von $A$ und $T$ ist $\vec{AT}=\begin{pmatrix} 8\\ 12\\ -8 \end{pmatrix}$.
Du erhältst $3$ Gleichungen, jeweils eine für eine Koordinate des Punktes $B$.
LösungZunächst berechnet man den Verbindungsvektor
$\vec{AT}=\begin{pmatrix} 8\\ 12\\ -8 \end{pmatrix}$.
Da das Teilungsverhältnis bekannt ist, muss gelten:
$\begin{pmatrix} 8\\ 12\\ -8 \end{pmatrix}=\frac25 \cdot\vec {TB}$.
Nun kann man bei unbekannten Koordinaten von $B$ den Verbindungsvektor $\vec{TB}$ berechnen und erhält folgendes Gleichungssystem:
$\begin{pmatrix} 8\\ 12\\ -8 \end{pmatrix}=\frac25 \cdot\begin{pmatrix} b_1-9\\ b_2-16\\ b_3+1 \end{pmatrix}$.
Die gesamte Gleichung wird mit $\frac 52$ multipliziert und man erhält:
- $20=b_1-9$. Dies ist durch Addition von $9$ äquivalent zu $b_1=29$.
- $30=b_2-16$. Dies ist durch Addition von $16$ äquivalent zu $b_2=46$.
- $-20=b_3+1$. Dies ist durch Subtraktion von $1$ äquivalent zu $b_3=-21$.
-
Bestimme das Teilungsverhältnis, in welchem die Strecke $\overline{AB}$ durch $T$ geteilt wird.
TippsDas Teilungsverhältnis ist wie folgt definiert:
Wenn die Vektoren $\vec{AT}$ sowie $\vec{TB}$ kollinear sind, so existiert ein Faktor $k$, sodass
$\vec{AT}=k\cdot\vec{TB}$.
Schreibe diesen Faktor als Bruch, sofern er nicht bereits ein Bruch ist: $k=\frac ab$.
Dann ist das Teilungsverhältnis $|a|:|b|$.
Der Verbindungsvektor zweier Punkte $A$ und $B$ ist
$\vec{AB}=\vec b-\vec a$.
Dabei ist $\vec a$ der Ortsvektor zu $A$ und $\vec b$ der Ortsvektor zu $B$.
Du kannst dir auch eine Skizze anfertigen und prüfen, ob dein Teilungsverhältnis stimmen könnte.
Dies ist nicht immer klar erkennbar, da Längenverhältnisse im Dreidimensionalen schwierig abzuschätzen sind.
LösungZunächst werden die Verbindungsvektoren $\vec{AT}$ sowie $\vec{TB}$ aufgestellt:
$\vec{AT}=\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$
sowie
$\vec{TB}=\begin{pmatrix} 6\\ -3\\ 9 \end{pmatrix}$.
Es gilt:
$\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}=\frac13\cdot \begin{pmatrix} 6\\ -3\\ 9 \end{pmatrix}$.
Das Teilungsverhältnis ist also $1:3$.
Das bedeutet, dass der Punkt $T$ näher an $A$ liegt als an $B$.
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Erkläre, wie der Punkt $B$ auf der Geraden $g$ gefunden werden kann, sodass $\overline{AB}$ durch $T$ im Verhältnis $1:5$ geteilt wird.
TippsFertige dir eine Skizze an. Die Lage dabei ist nicht so wichtig. Es geht eher um das Verständnis:
Mache dir klar, wo $B$ liegen muss und wie du von $A$ aus zu $B$ entlang der Geraden kommst.
Wenn eine Strecke im Verhältnis $1:5$ geteilt wird, so besteht sie aus $6=1+5$ gleich großen Teilen.
Die Strecke $\overline{AT}$ entspricht dann einem Teil.
LösungWenn die Strecke $\overline{AB}$ von $T$ im Verhältnis $1:5$ geteilt wird, entspricht die Strecke $\overline{AT}$ einem Teil und $\overline{TB}$ $5$ Teilen.
Das bedeutet, dass der Punkt $B$ von $A$ aus auf der Geraden erreicht werden kann, indem man auf den Ortsvektor von $A$ das $6$-fache des Verbindungsvektors $\vec{AT}$ addiert.
Das bedeutet, dass zunächst der Verbindungsvektor bestimmt werden muss:
$\vec{AT}=\begin{pmatrix} -2\\ -4\\ -4 \end{pmatrix}$.
Also ist
$\vec b=\begin{pmatrix} 3\\ -3\\ 5 \end{pmatrix}+6\cdot \begin{pmatrix} -2\\ -4\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9\\ -27\\ -19 \end{pmatrix}$.
Der gesuchte Punkt ist damit $B(-9|-27|-19)$.
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Gib die Definition des Teilungsverhältnisses an.
TippsMach dir das Teilungsverhältnis anhand einer Skizze klar.
Beachte: Wenn eine Strecke im Verhältnis $2:1$ geteilt wird, so liegen $2+1=3$ Teile der Strecke vor.
LösungUm das Teilungsverhältnis einer Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $T$ zu bestimmen, muss dieser auf der Geraden durch die beiden Endpunkte der Strecke gehen. Das bedeutet:
- $\vec{AT}$ und $\vec{TB}$ sowie
- $\vec{AT}$ und $\vec{AB}$ sind kollinear.
- $|a| : |b|~\Leftrightarrow~\vec{AT}=\frac ab\cdot \vec{TB}$ oder
- für $0<\frac cd<1$ gilt $|c| : (|d|-|c|) ~\Leftrightarrow~\vec{AT}=\frac cd\cdot \vec{AB}$.
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Weise nach, dass die Diagonalen eines Rechtecks sich genau in der Mitte schneiden.
TippsZur Berechnung des Schnittpunktes musst du zwei Geradengleichungen aufstellen und diese gleichsetzen.
Verwende die Definition: Das Teilungsverhältnis ist gegeben durch
$\large{|a| : |b|~\Leftrightarrow~\vec{AS}=\frac ab\cdot \vec{SC}}$.
Damit eine Strecke genau in der Mitte geteilt wird, muss das Teilungsverhältnis $1:1$ sein.
LösungZunächst wird der Schnittpunkt der beiden Diagonalen berechnet:
- Hierfür werden die beiden Gleichungen der Geraden aufgestellt auf welchen sich die Diagonalen befinden.
- Diese Gleichungen werden gleichgesetzt.
Die erste Zeile führt zu der Gleichung $t\cdot l=s\cdot l$, da $l\neq0$, $t=s$. Dies kann in die zweite Zeile eingesetzt werden:
$\begin{align*} t\cdot k&=k-t\cdot k\\ &=(1-t)\cdot k&|&~+(t-1)\cdot k\\ (2t-1)\cdot k&=0&|&~:k(\neq0)\\ 2t-1&=0&|&+1\\ 2t&=1&|&:2\\ t&=\frac12. \end{align*}$
Damit ist auch $s=\frac12$.
Also ist der gesuchte Schnittpunkt $S(l:2|k:2|0)$.
Nun können die Verbindungsvektoren:
$\vec{AS}=\begin{pmatrix} l : 2\\ k : 2\\ 0 \end{pmatrix}=\vec{SC}$
bestimmt werden.
Es gilt
$\vec{AS}=\frac {1}1 \cdot \vec{SC}$.
Nach der Definition des Teilungsverhältnisses ist dieses $|1|:1=1:1$. Das bedeutet, dass sich die Diagonalen genau in der Mitte treffen.
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