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Grenzwerte von Funktionen für x → x0 – Termumformung – Übungen

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Viele Funktionen besitzen sogenannte Definitonslücken. Sie sind bestimmte Zahlen, die man bei einer Funktion nicht für x einsetzen darf. Sie sind damit nicht Teil der Definitionsmenge bzw. des Definitionsbereichs. Ich möchte mit dir zusammen klären, wie sich die Funktionen in dem Bereich der Definitionslücken verhalten. Dies macht man mit Hilfe des Grenzwertes. Es gibt ähnlich wie beim Grenzwert für x gegen Plus oder Minus Unendlich nur zwei Möglichkeiten. Entweder es existiert ein Grenzwert oder nicht. Ich zeige dir, wie du mithilfe der Termumformung den Grenzwert bestimmen kannst. Ich zeige dir an Beispielem, wie du diese Methode üben kannst. Viel Spaß beim Lernen!

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Aufgaben in dieser Übung
Berechne den Grenzwert von $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ für $x\to x_0$ und Definitionslücke $x_0$.
Bestimme die Grenzwerte der Funktionen, sofern sie vorhanden sind.
Untersuche, ob die Funktion $f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}$ eine Polstelle hat.
Ermittle den Grenzwert von $\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ an der Definitionslücke $x_0=4$.
Beschreibe das Vorgehen bei der Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen durch Termumformung.
Untersuche das Grenzwertverhalten der Funktion $f(x)=\frac{x^3-1}{x-1}$ an der Definitionslücke.