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Binomische Formeln – Beispielaufgaben

Die Kenntnis über die binomischen Formeln erleichtert in vielen Bereichen der Mathematik das Rechnen.

Binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln ergeben sich aus Rechengesetzen zum Ausmultiplizieren von Klammern und dienen als Merkformeln.

1. binomische Formel

In der ersten binomischen Formel werden zwei Zahlen $a$ und $b$ addiert und die Summe mit sich selbst multipliziert, also quadriert (Plus-Formel):

$(a + b)^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = a^{2} + 2ab + b^{2}$

2. binomische Formel

In der zweiten binomischen Formel werden zwei Zahlen $a$ und $b$ subtrahiert und die Differenz mit sich selbst multipliziert, also quadriert (Minus-Formel):

$(a - b)^{2} = (a - b) \cdot (a - b) = a^{2} - 2ab + b^{2}$

3. binomische Formel

In der dritten binomischen Formel wird die Summe zweier Zahlen $a$ und $b$ mit deren Differenz multipliziert (Plus-Minus-Formel):

$(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Anwendungsaufgaben

Die binomischen Formeln lassen sich in zahlreichen algebraischen und geometrischen Problemstellungen anwenden. Dies soll in den nachfolgenden fünf Beispielen veranschaulicht werden:

Große Zahlen multiplizieren

Es soll das Produkt der Zahlen $18$ und $22$ ohne Taschenrechner bestimmt werden. Durch Kenntnis der $3.$ binomischen Formel ist das Vorgehen klar:

$18\cdot 22 = (20 - 2)\cdot (20 + 2) = 400 - 4 = 396$

Dieser "Trick" funktioniert bei Faktoren, deren Differenz gerade ist.

Rechenrätsel

Das Quadrat der Summe einer Zahl und $2$ ist gleich der Summe aus dem Quadrat der Zahl und $8$.

Um das Rätsel zu lösen, wird folgende Gleichung aufgestellt, wobei man die gesuchte Zahl mit der Variablen $x$ bezeichnet:

$\begin{array}{llll} (x + 2)^{2} &=&x^{2} + 8 & \\ x^{2} + 4x + 4 &=& x^{2} + 8 & \vert -x^2\\ 4x + 4 &=& 8 & \vert -4\\ 4x &=& 4 & \vert :4\\ x &=& 1 \end{array}$

Beweise

Beim Betrachten der Quadratzahlen $1,4, 9, 16, 25, …$ fällt auf, dass die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen immer um $2$ wächst:

$\begin{array}{lll} 4 - 1 &=& 3\\ 9 - 4 &=& 5\\ 16 - 9 &=& 7\\ 25 - 16 &=& 9\\ …\\ \end{array}$

Dies lässt sich mit Hilfe der ersten binomischen Formel folgendermaßen erklären:

Bezeichnet man die natürlichen Zahlen mit $n$, so sind $n$ und $n + 1$ zwei aufeinanderfolgende Zahlen und $n^{2}$ und $(n + 1)^{2}$ deren Quadrate. Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist dann:

$(n + 1)^{2} - n^{2} = n^{2} + 2n + 1 - n^{2} = 2n + 1$

Setzt man für $n$ jeweils die nächstgrößere natürliche Zahl ein, so wird die Differenz wegen $2\cdot n$ immer um $2$ größer.

Flächen berechnen

Häufig verwendet man binomische Formeln, um Quadrat- und Rechteckflächen zu bestimmen.

Beispiel 1: Quadrat

Verlängert man die Seiten um $3$ Meter, so nimmt der Flächeninhalt um $24\ \text{m}^2$ zu. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen und des neuen Quadrats?

Die nachfolgende Gleichung greift die Informationen aus der Aufgabenstellung auf:

$\begin{array}{llll} (a + 3)^{2} &=& a^{2} + 24 & \\ a^{2} + 6a + 9 &=& a^{2} + 24 & \vert -a^2 \\ 6a + 9 &=& 24 & \vert -9 \\ 6a &=& 15 & \vert :6 \\ a &=& 2,5 \\ \end{array}$

Die ursprüngliche Seitenlänge des Quadrats beträgt $2,5\ \text{m}$, die neue Seitenlänge ist $5,5\ \text{m}$.

Beispiel 2: Quadrat und Rechteck

Der Flächeninhalt der unten abgebildeten Figur soll bestimmt werden. Je nach Ansicht bieten sich hier zwei Lösungswege an:

binomische_Formel.png

Rote Figur:

Man betrachtet die Fläche als großes Quadrat mit der Seitenlänge $a$ und zieht die fehlende Ecke ab, also das kleine Quadrat mit der Seitenlänge $b$. So rechnet man mit der dritten binomischen Formel:

$A = a^{2} - b^{2}$

Blaue Figur:

Alternativ könnte man an der Figur eine Verschiebung vornehmen, um ein Rechteck mit den Seitenlängen $a + b$ und $a - b$ zu erhalten. Der Flächeninhalt berechnet sich dann auch über die dritte binomische Formel:

$A = (a + b)\cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$

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