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Schrägbilder von Pyramiden und zusammengesetzten Körpern

schräge Parallelprojektion, Verzerrungswinkel, Aufriss als Schrägbild, Verzerrungsfaktor

Aus 3D wird 2D

In der Geometrie kannst du Punkte, Strecken oder Flächen leicht auf ein Papier zeichnen. Nur wie kannst du ein dreidimensionales Objekt in dein Heft fesseln? Das kann nötig werden, wenn du dir ein genaues Bild deines Objektes machen willst. Zum Beispiel wenn du dir die Höhen, Seitenlängen und Winkel des geometrischen Körpers nicht mehr räumlich im Kopf vorstellen kannst.

Das scheinbar Unmögliche vollbringst du mit der Kamera deines Smartphones, wenn du ein Foto machst. Aus der räumlichen Welt wird ein flaches Abbild. Doch nun ist es an dir, diesen Job zu übernehmen. Keine Angst, deshalb musst du nicht gleich ein neuer Picasso werden. Denn du zeichnest nicht drauf los, sondern konstruierst nach einer klaren Anweisung.

Schrägbilder konstruieren.

Das zweidimensionale Abbild eines dreidimensionalen Körpers wird in der Geometrie Schrägbild genannt. Es zeigt den Körper aus einer bestimmten Perspektive durch den Verzerrfaktor $k$ mit dem dazugehörenden Verzerrwinkel $\alpha$. Diese beeinflussen, wie die räumliche Tiefe $t$ des dreidimensionalen Körpers abgebildet wird. Im Schrägbild wird diese dann mit einer bestimmten Länge $s$ schräg nach rechts oben gezeichnet. Es gilt:

$ k=\frac{\alpha}{90^\circ} $

$ s=k\cdot t $

In der Mathematik wird in der Regel $k=0,5$ bzw. $\alpha = 45^\circ$ gewählt.

Schrägbilder in der schrägen Parallelprojektion

Schrägbild einer geraden Pyramide

Das Schrägbild einer geraden Pyramide mit einer Grundfläche der Länge $l$ und Breite $b$ sowie der Höhe $h$ kannst du mit folgender Vorgehensweise zeichnen:

  1. Die Länge der Grundfläche (Standfläche) wird maßstabsgetreu übertragen.
  2. Diese wird nach rechts verlängert.
  3. An den beiden Eckpunkten wird der Verzerrwinkel $\alpha$ angetragen. Die gezeichneten Schenkel sind parallel zueinander und zeigen nach rechts oben.
  4. Die Länge der Schenkel wird mit $s=k\cdot b$ bestimmt.
  5. Die Endpunkte der Schenkel werden zur Grundfläche verbunden.
  6. In der Mitte der Grundfläche wird die Höhe $h$ senkrecht nach oben eingezeichnet.
  7. Alle Eckpunkte der Grundfläche werden mit dem Endpunkt der Höhe verbunden.
  8. Hilfslinien werden gelöscht und innen liegende Kanten gestrichelt gezeichnet.

Zusammengesetzte Schrägbilder

Möchtest du ein Schrägbild eines komplexeren geometrischen Körpers zeichnen, dann hilft es oft ihn zu zerlegen. Und zwar natürlich nicht wahllos! Sondern in geometrische Körper, deren Schrägbilder du bereits zeichnen kannst. Das Abbild entsteht dann durch die Schrägbilder des zusammengesetzten Körpers. Ein Haus könntest du als Würfel mit einer Pyramide zeichnen. Oder ein Käsestück als dreiseitiges Prisma mit einem halben Zylinder.

Zusammengesetzter_Körper_Schrägbild.jpg

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Schrägbilder von Pyramiden und zusammengesetzten Körpern (2 Arbeitsblätter)