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Kreise

Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius beschrieben.

1142_Kreis.jpg

Du kannst einen Kreis mit einem Zirkel zeichnen:

  • Du misst mit dem Zirkel den Radius $r$ ab und
  • zeichnest so um den Mittelpunkt $M$ einen Kreis.
  • Der doppelte Radius wird als Durchmesser $d$ der Kreises bezeichnet. Es gilt: $d=2r$.

Mit Hilfe des Radius sowie der Kreiszahl $\pi=3,1415...$ kannst du den Umfang, den Flächeninhalt eines Kreises sowie eines Kreisausschnittes berechnen.

Der Kreisumfang

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet

$U=2\cdot \pi\cdot r=\pi\cdot d$.

Beispiel 1

Paul möchte den Rand eines kreisförmigen Kuchens mit Marzipan bedecken. Der Kuchen hat den Durchmesser $d=28~cm$. Wie lang muss der Marzipanstreifen sein?

Gesucht ist in dieser Aufgabe der Umfang des Kuchens. Es gilt also

$U=\pi\cdot 28~cm=28\pi~cm\approx 88~cm$.

Paul muss einen Marzipanstreifen der Länge $88~cm$ kaufen.

Beispiel 2

Wenn du den Umfang eines Kreises kennst und damit den Radius berechnen sollst, musst du die Formel umstellen:

$r=\frac{U}{2\pi}$.

Wie groß ist der Radius eines Kreises mit dem Flächeninhalt $200~m$?

$r=\frac{200~m}{2\pi}=\frac{100~m}{\pi}\approx31,83~m$.

Die Kreisfläche

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises lautet

$A= \pi\cdot r^2$.

Beispiel 3

Paul möchte den Kuchen mit Schokostreuseln belegen. Pro $cm^2$ benötigt er $0,2~g$ Schokostreusel.

Wie viel Schokostreusel benötigt Paul, um den Kuchen zu bestreuen?

Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers: $r=14~cm$.

$A=\pi\cdot (14~cm)^2=196\pi~cm^2=615,75...~cm^2\approx 616~cm^2$.

Das bedeutet, dass Paul

$616~cm^2\cdot 0,2~\frac{g}{cm^2}=123,2~g$

Schokostreusel benötigt.

Beispiel 4

Herr Glasbachtal möchte auf einem kreisförmigen Feld einen Wald pflanzen. Die Gesamtfläche soll $100~a=10000~m^2$ betragen.

Welchen Durchmesser hat der Wald?

Wieder musst du eine Formel umstellen:

$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$.

Nun kannst du den bekannten Flächeninhalt einsetzen und erhältst somit den Radius

$r=\sqrt{\frac{100000~m^2}{\pi}}\approx 178,4~m$.

Wenn du den Radius mit $2$ multiplizierst, erhältst du den Durchmesser $d=356,8~m$.

Der Kreisausschnitt

Hier kannst du den Ausschnitt eines Kreises oder Kreissektors sehen:

3024_1.jpg

Der Flächeninhalt des Kreisausschnittes

Es gilt, dass das Verhältnis des Winkels $\alpha$ zu dem Vollwinkel $360^\circ$ ebenso groß ist wie das Verhältnis der Fläche des Kreisausschnittes $A$ zu der Fläche des gesamten Kreises:

$\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{A}{\pi\cdot r^2}$.

Multiplikation mit $\pi\cdot r^2$ führt zu der Formel für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes

$A=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi\cdot r^2$.

Der Umfang des Kreisausschnittes

Es gilt, dass das Verhältnis des Winkels $\alpha$ zu dem Vollwinkel $360^\circ$ ebenso groß ist wie das Verhältnis des Bogens $b$ zu dem Umfang des gesamten Kreises:

$\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{b}{2\cdot \pi\cdot r}$.

Multiplikation mit $2\cdot \pi\cdot r$ führt zu der Formel für den Bogen $b$ des Kreisausschnittes

$b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\cdot \pi\cdot r=\frac{\alpha}{180^\circ}\cdot \pi\cdot r$.

Der Umfang des Kreisausschnittes ergibt sich, indem du zu dem Bogen $b$ zweimal den Radius $r$ addierst: $U=b+2r$.

Beispiel 5

Paul möchte ein Viertel seines Kuchens seinem Freund Luke schenken. Der Kuchen ist $7~cm$ hoch.

Er möchte dieses Viertel in einen Geschenkkarton einpacken, der genau die Form des Kuchenstücks hat. Wie viel Material (in $cm^2$) benötigt Paul für den Geschenkkarton. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass die Größen überein stimmen, also der Kuchen exakt in den Karton passt.

Boden und Deckel des Geschenkkartons sind die Flächen von Kreisausschnitten. Da Paul ein Viertel seines Kuchens verschenken möchte gilt für beide Flächen

$A=\frac14\cdot 616~cm^2=154~cm^2$.

Damit ist die Fläche für Boden und Deckel gesamt

$2\cdot 154~cm^2=308~cm^2$.

Die Seitenfläche lässt sich berechnen als Produkt des Umfangs des Kreisausschnittes und der Höhe $h=7~cm$ des Kuchens.

$U=\frac14\cdot 88~cm+2\cdot 14~cm=22~cm+28~cm=50~cm$.

Somit beträgt die Seitenfläche

$50~cm\cdot 7~cm=350~cm^2$.

Zuletzt kannst du alle Flächen addieren:

$308~cm^2+350~cm^2=658~cm^2$.

Dies ist der gesuchte Materialaufwand.