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Satz des Cavalieri und Eulerscher Polyedersatz

Hier lernst du zwei bedeutende Sätze der Geometrie kennen. Sie erklären Zusammenhänge, zum Beispiel zwischen der Anzahl der Ecken, der Kanten und der Seiten eines Körpers.

Das Satz des Cavalieri

Stell dir vor, du hast einen Stapel Druckerpapier.

1135_Satz_von_Cavalieri.jpg

Da es sich hierbei um einen Quader handelt, kannst du dessen Volumen berechnen, indem du die Länge mit der Breite mit der Höhe des Quaders multiplizierst. Wenn du den Stapel nun ein wenig verschiebst, so dass er schräg ist: Was glaubst du, ändert sich dadurch das Volumen? Nein, ganz sicher nicht.

Das besagt der Satz des Cavalieri, oder auch das Prinzip von Cavalieri:

Zwei Körper gleicher Gesamthöhe besitzen das gleiche Volumen, wenn ihre Schnittflächen in jeder Höhe den gleichen Flächeninhalt haben.

Das Beispiel dieses blauen Quaders, zeigt das noch einmal anschaulich.

1135_Satz_von_Cavalieri.jpg

Das grüne Parallelepiped entsteht durch Verschieben aus dem blauen Quader. Dies entspricht der Situation mit dem Papierstapel. Die rote gestrichelte Linie deutet eine Schnittebene parallel zur Grundfläche des Quaders an. Die dadurch entstehenden Flächen, das blaue Rechteck und das grüne Parallelogramm, haben den gleichen Flächeninhalt. Dies gilt für jede Schnittebene. Deshalb stimmen das Volumen des Parallelepipeds und des Quaders überein.

Der Eulersche Polyedersatz

Bevor wir uns mit diesem Satz beschäftigen, wenden wir uns erst einmal dem Begriff Polyeder zu: Ein Polyeder heißt auch Vielflach. Ein Polyeder ist ein Körper, welcher ausschließlich von ebenen Flächen begrenzt wird.

Beispiele für Polyeder sind: Würfel; Quader, Pyramiden, ...

Hier siehst du einen Würfel:

3013__Spielwürfel.jpg

Nun kannst du dir überlegen, ob Körper auch von nicht ebenen Flächen begrenzt werden können. Na klar, zum Beispiel wird eine Kugel von einer gekrümmten Fläche begrenzt, ebenso ein Kegel oder ein Zylinder. Hier siehst du zum Beispiel einen Kegel. Seine Mantelfläche ist gekrümmt.

3013_Kegel.jpg

Polyeder haben Ecken, Kanten und Flächen.

Wir schauen uns einmal ein Prisma an:

s.jpg

Ein Prisma setzt sich immer aus zwei beliebigen, aber deckungsgleichen (kongruenten) Vielecken als Grund- und Deckfläche zusammen. Sie sind über Kanten an den Ecken miteinander verbunden. Ganz allgemein gilt für ein Prisma mit einem $n$-Eck als Grundfläche:

Die Anzahl der Flächen beträgt $n+2$, die der Ecken $2n$ und die der Kanten $3n$.

Ein Würfel ist ein Prisma mit einem Quadrat, also einem $4$-Eck, als Grund- und Deckfläche. Der Würfel hat $2\cdot 4=8$ Ecken, $3\cdot 4=12$ Kanten und $4+2=6$ Flächen.

Nun untersuchen wir einmal, wie die jeweiligen Anzahlen zusammenhängen:

  • Beim allgemeinen Prisma gilt: Die Anzahl der Kanten minus der Anzahl der Ecken plus $2$ ist gleich die Anzahl der Flächen, also $3n-2n+2=n+2$.
  • Das Gleiche gilt natürlich auch für den Würfel: $12-8+2=6$, und das ist in der Tat die Anzahl der Flächen.

Dies wird im Eulerschen Polyedersatz verallgemeinert:

Seien $E$ die Anzahl der Ecken, $F$ die Anzahl der Flächen und $K$ die Anzahl der Kanten eines Polyeders, dann gilt: $E-K+F=2$.

Oder: Wie oben bereits beschrieben: $K-E+2=F$. Diese beiden Gleichungen sind äquivalent.

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