Quadratische Funktionen: f(x)=x²+c

Was ist eine quadratische Funktion?

Wir betrachten quadratische Funktionen der Form $f(x) = x^{2} +c$. Dabei ist $x^{2}$ das quadratische Glied und $c$ das absolute Glied. Der Graph zu einer solchen Funktion ist eine zur $y$-Achse symmetrische und nach oben geöffnete Normalparabel, die ihren Scheitelpunkt in $S(0|c)$ hat. Der $y$-Achsenabschnitt des Graphen ist also $c$.

Verschiebungen entlang der $y$-Achse

Wir betrachten nun Graphen zu Funktionen der Form $f(x)=x^{2}+c$, wobei wir den Einfluss des Parameters $c$ untersuchen. Hierzu sind die folgenden Normalparabeln gegeben:

Für $c = 0$ erhalten wir die Funktionsgleichung $f(x) = x^{2}$. Der zugehörige Graph ist die blaue Normalparabel, deren Scheitelpunkt durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft, also $S(0|0)$.

Für $c\gt 0$ betrachten wir die grüne nach oben verschobene Normalparabel. Die grüne Parabel ist gegenüber der blauen um eine Einheit nach oben verschoben. Für diese Normalparabel erhalten wir mit $c=1$ die Funktionsgleichung $f(x) = x^{2} +1$ und den Scheitelpunkt $S(0|1)$.

Für $x\lt 0$ betrachten wir schließlich die gelbe Parabel. Diese ist eine gegenüber der blauen Parabel um zwei Einheiten nach unten verschobene Normalparabel. Es gilt also $c=-2$ und die zugehörige Funktionsgleichung lautet $f(x) = x^{2} -2$. Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt bei $S(0|-2)$.

Zusammenfassung

Die Graphen quadratischer Funktionen der Form $f(x) = x^{2} + c$

• sind Normalparabeln.
• sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
• sind nach oben geöffnet.
• haben ihren Scheitelpunkt bei $S(0|c)$.
• haben ihren $y$-Achsenabschnitt in $c$.

Wir unterscheiden bei einer Funktion der Form $f(x)=x^{2}+c$ drei Fälle:

1. $c = 0$: Normalparabel mit $S(0|0)$
2. $c \gt 0$: nach oben verschobene Normalparabel mit $S(0|c)$
3. $c \lt 0$: nach unten verschobene Normalparabel mit $S(0|c)$