Quadratische Funktionen: f(x) = a · x² + c
Eine quadratische Funktion hat als höchsten Exponenten eine zwei. Daher kommt der Name, vom Quadrieren. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
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Was ist eine quadratische Funktion?
Ganz allgemein sieht eine quadratische Funktion $f$ so aus: $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Dabei sind $a\neq 0,~b,~c\in\mathbb{R}$ Parameter.
Du siehst, die Potenz mit dem höchsten Exponenten ist $x^{2}$, also $x$ zum Quadrat. Daher kommt auch der Name. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Hier siehst du die Normalparabel zu der quadratischen Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$.
Du lernst im Folgenden, welche Auswirkungen die Parameter auf die Parabel haben. Dabei ist für die Betrachtung der Parameter $a$ sowie $c$ immer $b=0$.
Die Bedeutung des Parameters $a$
Für $c=0$ schauen wir uns nun die Bedeutung des Parameters $a$ an. Erstelle dir eine Wertetabelle der Funktion $f$ mit $f(x)=a x^{2}$ für $a=1$ (zweite Zeile), $a=4$ (dritte Zeile) sowie $a=\frac14$ (vierte Zeile).
Nun kannst du die so erhaltenen Paare $(x|y)$ in ein Koordinatensystem eintragen. Du erhältst drei Parabeln.
- Die gelbe Parabel gehört zu $x^{2}$,
- die blaue zu $4x^{2}$ und
- die grüne zu $\frac14 x^{2}$.
Fällt dir etwas auf? Betrachte einmal die blaue beziehungsweise die grüne in Relation zu der gelben Normalparabel:
- Die blaue Parabel verläuft enger als die Normalparabel. Man sagt auch, sie ist entlang der $y$-Achse gestreckt.
- Die grüne Parabel verläuft weiter als die Normalparabel. Man sagt auch, sie ist entlang der $y$-Achse gestaucht.
Wenn du übrigens einen negativen Wert für $a$ wählst, erhältst du eine nach unten geöffnete Parabel.
Der Parameter $a$ wird als Streckfaktor bezeichnet.
Du kannst anhand dieses Parameters erkennen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und wie weit sie geöffnet ist:
- Für $a>1$ erhältst du eine gestreckte und nach oben geöffnete Parabel.
- Für $a=1$ erhältst du die nach oben geöffnete Normalparabel.
- Für $0
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