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Quadratische Funktionen: f(x)=a·x²

Die Flugbahn eines Balles kann durch eine Parabel dargestellt werden. Was ist eine Parabel? Eine Parabel ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion.

Inhalt

  • Quadratische Funktionen in allgemeiner Form
  • Wie beeinflussen der Parameter a die quadratische Funktionen
  • Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
  • Nullstellen von quadratischen Funktionen
  • Quadratische Funktionen in allgemeiner Form

    Eine quadratische Funktion $f$ in allgemeiner Form sieht so aus:

    $f(x)=ax^2+bx+c$ mit $a ~\neq 0$.

    Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Parameter der quadratischen Funktion. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

    Im Folgenden schauen wir uns die Bedeutung des Parameters $a$ etwas genauer an. Wir untersuchen hierfür die quadratische Funktion $f$ mit $f(x)=ax^{2}$. Es ist also $b=c=0$.

    Wie beeinflussen der Parameter a die quadratische Funktionen

    Der Parameter $a$ wird auch als Streckfaktor bezeichnet. In Abhängigkeit von diesem Parameter ist die zugehörige Parabel nach oben geöffnet ($a>0$), nach unten geöffnet ($a<0$), gestaucht oder gestreckt.

    Die Normalparabel

    quadratische Funktion mittels Wertetabelle bestimmen

    Zunächst schauen wir uns die quadratische Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}$, also $a=1$, an. Du kannst mit Hilfe einer Wertetabelle den zugehörigen Funktionsgraphen, eine Normalparabel, zeichnen. Berechne dazu zu verschiedenen Argumenten $x$ den zugehörigen Funktionswert $y=f(x)$. Zum Beispiel ist für $x=-2$ der Funktionswert gegeben durch $y=f(-2)=(-2)^{2}=4$.

    3118_quad.Fkt_x_2_Wertetabelle.jpg

    Übertrage nun die geordneten Paare $(x|y)$ als Punkte in ein Koordinatensystem:

    3118_quad.F.x_2.jpg

    Du kannst erkennen, dass der Funktionsgraph symmetrisch zur $y$-Achse verläuft. Dies ist unabhängig von $a$ für jeden Funktionsgraphen der quadratischen Funktion $f$ mit $f(x)=ax^2$ so.

    Was passiert nun, wenn der Streckfaktor verändert wird? Dies schauen wir uns im Folgenden jeweils an einem Beispiel an. Dabei ist bei den nach oben geöffneten Parabeln jeweils zur Orientierung noch die grüne Normalparabel eingezeichnet.

    Parabel nach oben geöffnet und gestaucht

    Für jeden positiven Parameter $a$ mit $0<a<1$ gilt: Der zugehörige Funktionsgraph ist eine nach oben geöffnete und gestauchte Parabel. Was bedeutet gestaucht? Die Parabel verläuft weiter als die Normalparabel. Dies kannst du am Beispiel der (roten) Parabel zu der quadratischen Funktion $f(x)=\frac12x^2$ sehen.

    3118_quad.F.1_2x_2.jpg

    Parabel nach oben geöffnet und gestaucht

    Sei nun $a>1$, also ist $a$ insbesondere ebenfalls positiv. Dann ist der zugehörige Funktionsgraph eine nach oben geöffnete und gestreckte Parabel. Gestreckt bedeutet, dass die Parabel enger verläuft als die Normalparabel. Schau dir dafür das Beispiel der (blauen) Parabel zu $f(x)=2x^{2}$ an:

    3118_quad.F.2x_2.jpg

    Nach unten geöffnete Normalparabel

    In den folgenden drei Beispielen ist $a$ negativ. Wir beginnen mit $a=-1$. Die zugehörige Parabel erhältst du durch Spiegelung der Normalparabel an der $x$-Achse. Du siehst hier die nach unten geöffnete (gelbe) Normalparabel zu $f(x)=-x^{2}$.

    3118_quad.F.-x_2.jpg

    Zur besseren Orientierung siehst du in den folgenden Darstellungen jeweils auch die nach unten geöffnete gelbe Normalparabel.

    Parabel nach unten geöffnet und gestaucht

    Nun betrachten wir $-1<a<0$. Dann ist der zugehörige Funktionsgraph eine nach unten geöffnete und gestauchte Parabel. Hier siehst du als Beispiel die (rote) Parabel zu $f(x)=-\frac12x^{2}$:

    3118_quad.F.-1_2x_2.jpg

    Parabel nach unten geöffnet und gestreckt

    Zu guter Letzt kann auch $a<-1$ gelten. Der zugehörige Funktionsgraph ist eine nach unten geöffnete und gestreckte Parabel. Du siehst hier die (blaue) Parabel zu $f(x)=-2x^{2}$:

    3118_quad.F.-2x_2.jpg

    Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

    Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion sieht so aus $f(x)=a\left(x-x_s\right)^{2}+y_s$. Dabei sind $x_s$ sowie $y_s$ die Koordinaten des Scheitelpunktes. Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt bei einer nach oben geöffneten Parabel und der höchste Punkt bei einer nach unten geöffneten Parabel.

    Von der allgemeinen Form zu der Scheitelpunktform

    Sei die quadratische Funktion $f$ in allgemeiner Form $f(x)=ax^{2}+bx+c$ gegeben, dann sind die Koordinaten des Scheitelpunktes gegeben durch:

    • $x_s=-\frac{b}{2a}$
    • Durch Einsetzen von diesem $x_s$ in die Funktionsgleichung erhältst du $y_s=c-\frac{b^2}{4a}$.

    Nullstellen von quadratischen Funktionen

    Die Funktionsgleichungen $f(x)=a \cdot x^{2}$ kann die Funktion nur eine Nullstelle besitzen, da der Scheitelpunkt der Funktionen im Koordinatenursprung liegen.

    3118_quad.F.-x_2.jpg

    Ausblick: Nullstellenberechnung allgemeine quadratische Funktion

    Im Folgenden siehst du noch wie die Nullstellen von Funktionsgraphen zu quadratischen Funktionen $f$ mit

    $f(x)=ax^{2}+b$

    berechnet werden. Dabei ist $a=1$ in den Beispielen und auch in der zugehörigen Grafik und $b$ variiert. Der jeweilige Scheitelpunkt lautet dann $S(0|b)$.

    Beispiel $f(x)=x^2$

    Löse die Gleichung $x^{2}=0$ auf. Durch Ziehen der Wurzel erhältst du eine Nullstelle $x=0$. Dies kannst du bei der grünen Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(0|0)$ sehen.

    Beispiel $f(x)=x^{2}+2$

    Die Gleichung $x^2+2=0$ führt durch Subtraktion von $2$ zu $x^{2}=-2$. Da die Wurzel aus einer negativen Zahl im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist, besitzt der zugehörige Funktionsgraph keine Nullstellen. Dies siehst du an der zugehörigen roten Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(0|2)$.

    Beispiel $f(x)=x^{2}-2$

    Hier erhältst du die Gleichung $x^{2}-2=0$. Addiere $2$. So erhältst du $x^{2}=2$. Nun kannst du die Wurzel ziehen. Dies führt zu den beiden Nullstellen $x_{1,2}=\pm\sqrt2\approx\pm1,41$. Dies kannst du bei der blauen Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(0|-2)$ sehen.

    3118_quad.Fkt-Nullstellen.jpeg

    In vielen Anwendungen ist es wichtig die Nullstellen des Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion $f$ in allgemeiner Form $f(x)=ax^{2}+bx+c$ zu bestimmen. Du musst also die Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$ lösen. Zur Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung kannst du die Mitternachtsformel (auch abc-Formel) oder die p-q-Formel anwenden.

    Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion haben?

    Der Term $D=\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q$ unter der Wurzel in der p-q-Formel wird als Diskriminante bezeichnet. An der Diskriminante kannst du erkennen, wie viele Nullstellen (Lösungen einer quadratischen Gleichung) existieren:

    • Wenn $D>0$ ist, existieren zwei Lösungen $x_1$ und $x_2$.
    • Für $D=0$ gibt es nur eine Lösung.
    • Ist die Diskriminante $D<0$, so existiert keine Lösung.

    Beispiel zur Nullstellenberechnung

    Betrachte die quadratische Funktion $f$ mit $f(x)=2x^{2}+4x-6$.

    Hier ist $a=2$. Die zugehörige Parabel ist nach oben geöffnet ($a>0$) und gestreckt ($a>1$). Um die Nullstellen dieser Parabel zu bestimmen, musst du die Gleichung $2x^{2}+4x-6=0$ lösen. Dies üben wir nun mit der p-q-Formel. Du musst die Gleichung erst einmal durch Division durch $2$ auf Normalform bringen: $x^{2}+2x-3=0$. Hier ist $p=2$ und $q=-3$. Dann ist

    $x_{1,2}=-\frac{2}2\pm\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+3}=-1\pm\sqrt{4}$.

    Du erhältst schließlich die (beiden) Nullstellen $x_1=-1+2=1$ sowie $x_2=-1-2=-3$.