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Zentrale und nichtzentraler elastischer Stoß 11:19 min

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Transkript Zentrale und nichtzentraler elastischer Stoß

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute aus dem Gebiet der Mechanik mit dem elastischen Stoß. Für dieses Video solltet Ihr bereits den Film über den Impulserhaltungssatz gesehen haben. Wir lernen heute: Was ein elastischer Stoß ist, was der Unterschied zwischen einem zentralen und nicht zentralen Stoß ist und wie ich die Formel für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß herleiten kann plus eine kleine Beispielaufgabe. Bei einem elastischen Stoß wird keine kinetische Energie in innere Energie, also zum Beispiel durch Verformung, umgewandelt. Das heißt im Klartext, da man in der Schule immer den idealen elastischen Stoß behandelt, Ihr braucht Euch keinerlei Sorgen um Energieverlust zu machen und die Stoßpartner trennen sich nach dem Stoß wieder. Daran erkennt Ihr ihn. Gute Beispiele für Gegenstände, mit denen man elastische Stöße gut ausprobieren kann, wären Golfbälle, Gummibälle oder vor allem Billardkugeln. In der Animation seht Ihr eine Kugel, die mit einer zweiten Kugel einen elastischen Stoß ausführt. Es handelt sich dabei um einen zentralen Stoß. Das bedeutet, dass alle während des Stoßvorgangs beobachteten Geschwindigkeiten parallel zur Verbindungslinie der beiden Schwerpunkte unserer beteiligten Körper sind. Wie Ihr in der Animation gesehen habt, bedeutet das: Der Stoßvorgang findet nur in einer Dimension, also auf einer Linie, statt. Wie ich solch einen Stoßvorgang berechnen kann und wie viel komplizierter das wird, wenn es sich um einen nicht zentralen Stoß handelt, das sehen wir uns jetzt in einem nächsten Kapitel an. Wir benutzen den Impulserhaltungssatz und schreiben für den zentralen Stoß auf: m1, also die Masse der ersten Kugel, mal v11, also die Geschwindigkeit der ersten Kugel vor dem Stoß, plus Masse der zweiten Kugel mal v21, also die Geschwindigkeit der zweiten Kugel vor dem Stoß, ist m1 * v12, Geschwindigkeit danach der ersten Kugel, plus m2 * v22, Geschwindigkeit danach der zweiten Kugel. m1 * v11 + m2 * v21 = m1 * v12 + m2 * v22. Um die Richtung der Geschwindigkeiten brauchen wir uns keine Sorgen machen, da das Ganze ja, wie wir gerade gehört haben, nur in einer Dimension stattfindet. Deutlich komplizierter wird das Ganze beim nicht zentralen Stoß: Solche Stoßvorgänge werden in der Schule meistens gar, und wenn doch, dann oft nur zeichnerisch behandelt. Ich will Euch mal anhand einer Animation zeigen, wie man das Ganze per Vektorzerlegung lösen kann. Wir betrachten eine Kugel, die mit dem Impuls p auf eine zweite Kugel zurollt. Wir frieren nun den Stoßvorgang während dem Zusammenprall ein, um zu sehen, was genau passiert. Wir erhalten die Geschwindigkeitsrichtung nach dem Stoß durch die Lage der Schwerpunkte während dem Zusammenprall. Die gestoßene Kugel wird sich in Richtung der Verbindungslinie der Schwerpunkte weiterbewegen, während die stoßende Kugel senkrecht dazu weiter fliegt. Die Geschwindigkeiten erhalten wir, indem wir den Vektor des Impulses in zwei Teilvektoren mit genau diesen beiden Richtungen aufteilen. Im letzten Kapitel wollen wir nun wieder für einen zentralen Stoß an Hand einer kleinen Beispielaufgabe die Formeln für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß herleiten. Wir wollen folgende Beispielaufgabe rechnen: Ein ruhender Golfball, Gewicht 45g, wird durch eine Stahlkugel, Gewicht 320g, gleichen Durchmessers zentral gestoßen. Welche Geschwindigkeiten haben beide nach dem Stoß, wenn die Anfangsgeschwindigkeit der Stahlkugel 3m/s war? Wenn Ihr jetzt versucht, den Impulserhaltungssatz einzusetzen, werdet Ihr sehen, Ihr habt zwei Unbekannte, aber nur eine Gleichung. Wir müssen uns also erst einmal eine Formel für die Geschwindigkeiten herleiten. Wir benutzen dazu zwei Lieblinge der Physiker. Nämlich erstens den Energieerhaltungssatz und zweitens den Impulserhaltungssatz. Wir fangen mal links an: Wir schreiben die Summe der kinetischen Energien vor dem Stoß muss gleich die Summe der kinetischen Energie nach dem Stoß sein, also ½m1v112 + ½m2v212 = ½m1v122 + ½m2(v22)2. Der Impulserhaltungssatz besagt nun, dass der Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß gleich sein muss. Das heißt m1v11 + m2v21 = m1v12 + m2v22. Wir kürzen erst einmal ½ weg und bringen alle Terme mit m1 auf die linke und alle mit m2 auf die rechte Seite, so dass wir links m1 und rechts m2 ausklammern können. Dadurch erhalten wir links und rechts in der Klammer jeweils eine binomische Formel. Diese schreiben wir auf beiden Seiten aus, denn damit können wir gleich kürzen. Erst mal gehen wir weiter zum Impulserhaltungssatz. Auch hier bringen wir beide Terme mit m1 auf die linke und beide mit m2 auf die rechte Seite und klammern dann links und rechts die Massen aus. So, und jetzt seht Ihr, warum wir das Ganze gemacht haben. Jetzt teilen wir nämlich die linke Gleichung durch die rechte. Dadurch kürzt sich eine ganze Menge heraus. Links verschwindet m1(v11 - v12) und rechts verschwindet m2(v22 - v21). Damit bleibt nur noch übrig v11 + v12 = v22 + v21. Wir bringen schnell die Geschwindigkeiten vorher auf die linke Seite und die Geschwindigkeiten nachher auf die rechte Seite und sehen: Die Differenz der Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß ist gleich groß. Das macht auch Sinn. Stellt Euch vor, Ihr sitzt im Bezugssystem des Golfballes. Dann seht Ihr folgendes: Die Stahlkugel kommt mit 3m/s auf Euch zu gerollt, prallt von Euch ab und muss danach eigentlich auch wieder mit 3m/s von Euch wegrollen. Die Differenz vorher und nachher ist also gleich groß. Interessante Geschichte, das merken wir uns. Wir machen aber erst einmal weiter, indem wir nach v22 umformen und das Ganze dann in den umgeformten Impulserhaltungssatz, den ich mit römisch eins gekennzeichnet habe, einsetzen. Wir erhalten m1(v11 - v12) = m2(v11 + v12 - 2v21). Wie Ihr seht, haben wir in dieser Gleichung nur noch eine Unbekannte, nämlich v12, die Geschwindigkeit der Stahlkugel nach dem Stoß. Danach lösen wir auf. Dazu multiplizieren wir im ersten Schritt erstmal aus und bringen dann beide Terme mit v12 auf die linke Seite und alle anderen auf die rechte Seite. Wir können nun v12 ausklammern und müssen nur noch durch m1 + m2 teilen, um unsere Formel fertig hergeleitet zu haben. Wir erhalten: v12 = ((m1v11 + m2(2v21 - v11)) / (m1 + m2). Diese Formel für v12 kann ich oben in die mit römisch zwei gekennzeichnete Gleichung einsetzen. Wenn ich diese dann nach v22 auflöse, erhalte ich die zweite Unbekannte. Es ergibt sich v22 = (m2v21 + m1(2v11 - v21)) / (m1 + m2). So, geschafft. Die Formeln sind hergeleitet. Jetzt machen wir einmal ein wenig sauber und rechnen zum Schluss noch unsere Beispielaufgabe. Gegeben war: Die Masse unserer Stahlkugel ist 320g, ihre Geschwindigkeit vor dem Stoß ist 3m/s. Die Masse des Golfballs m2 ist 45g und seine Geschwindigkeit vor dem Stoß ist ruhend ist 0 m/s. Gesucht waren die Geschwindigkeiten nach dem Stoß. Wir setzen also einfach in die Formel ein und erhalten die Geschwindigkeit der Stahlkugel nach dem Stoß v12 = (320g * 3m/s + 45g(0m/s - 3m/s)) / 365g. Die Gramm kürzen sich und ich erhalte 2,26m/s. Für die Geschwindigkeit des Golfballs nach dem Stoß ergibt sich v22 = (45g * 0m/s + 320g(6m/s - 0m/s)) / 365g. Die Gramm kürzen sich wieder heraus und ich erhalte 5,26m/s. Erinnert Ihr Euch an vorhin? Die Differenz der beiden Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß soll gleich sein. Von 3m/s zu 0m/s 3 Unterschied, von 5,26 zu 2,26 ebenfalls 3 Unterschied. Das ist eine nützliche Regel zur Überprüfung elastischer Stöße. Unser Antwortsatz ist: Die Geschwindigkeit der Stahlkugel nach dem Stoß beträgt 2,26m/s, die des Golfballs 5,26m/s. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Bei einem elastischen Stoß wird keine kinetische Energie in innere Energie umgewandelt. Ihr erkennt ihn daran, dass sich die Stoßpartner nach dem Stoß wieder trennen. Bei einem zentralen Stoß sind alle beobachteten Geschwindigkeiten parallel zur Verbindungslinie der Schwerpunkte. Ein nichtzentraler Stoß ist deutlich komplizierter, kann aber durch Vektorzerlegung gelöst werden. Während der Herleitung haben wir gesehen, die Relativgeschwindigkeit vor und nach dem Stoß ist gleich: v11 - v21 = v22 - v12. Die Formeln für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß waren: v12 = ((m1v11 + m2(2v21 - v11)) / (m1 + m2) und v22 = (m2v21 + m1(2v11 - v21)) / (m1 + m2). So, das wars schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle.

4 Kommentare
  1. Sorry :)

    Von Kristyn Petri, vor mehr als 2 Jahren
  2. Achso hab meinen Fehler bemerkt

    Von Kristyn Petri, vor mehr als 2 Jahren
  3. Wieso steht in der Übung Aufgabe 1 "inelastischer Stoß"? Den gibt's doch gar nicht???

    Von Kristyn Petri, vor mehr als 2 Jahren
  4. Das mit dem Bezugssystem ist ein bisschen unanschaulich. Man könnte meinen dass sich die Stahlkugel immernoch mit 3m/s bewegt. Aber damitist gemeint dass unsere Geschwindigkeit und die des Stahls sich so summiert dass es von der betrachtung des Golfballs aus insgesamt immernoch 3m/s sind oder?

    Von Tarikgrad, vor mehr als 4 Jahren

Zentrale und nichtzentraler elastischer Stoß Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zentrale und nichtzentraler elastischer Stoß kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere den inelastischen Stoß.

    Tipps

    Wie kann ein Zusammenstoß ausgehen? Denke dabei an Flummis, Bälle, Spielzeug, Stahlkugeln, Schneebälle etc.

    In der Praxis sind total elastische Stöße nicht möglich, es gibt immer geringe Reibungs- und Energieverluste. Diese werden bei theoretischen Betrachtungen jedoch meist vernachlässigt.

    Lösung

    Bei einem Zusammenstoß können die Stoßpartner sich entweder abstoßen wie zwei Flummis oder zusammenkleben wie zwei Schneebälle. Bei manchen Gegenständen passiert mal das Eine und mal das Andere oder auch Mischformen davon.

    Stoßen sich die Partner ab, dann spricht man von einem elastischen Stoß. Bei ihm wird nicht nur der Impuls sondern auch die kinetische Energie erhalten.

    Bleiben die Stoßpartner nach dem Stoß verbunden, dann handelt es sich um einen inelastischen Stoß, bei dem nur der Impuls, nicht jedoch die Energie erhalten wird.

    In der Praxis sind total elastische Stöße nicht möglich, es gibt immer geringe Reibungs- und Energieverluste. Diese werden bei theoretischen Betrachtungen jedoch meist vernachlässigt.

  • Nenne Objekte, mit denen man elastische Stöße gut veranschaulichen kann.

    Tipps

    Welche Eigenschaften besitzen die Gegenstände?

    Was ist der Unterschied zwischen plastischer und elastischer Verformung?

    Mit einigen der genannten Objekte kann man annähernd ideale elastische Stöße (voll elastische Stöße) demonstrieren.

    Lösung

    Um einen elastischen Stoß in die Praxis umzusetzen, eignen sich vor allem Billiard- oder Stahlkugeln, Golf- oder Gummibälle.

    Es ist wichtig, dass möglichst wenig Energie in die plastische (dauerhafte) Verformung der Stoßpartner gesteckt wird. Ganz vermeiden lässt sich das jedoch nicht.

    Bei einem unelastischen Stoß würden beide Stoßpartner bei dem Stoß zusammenkleben. Das ist zum Beispiel bei Schneebällen oder Lehmklumpen der Fall.

  • Stelle zentrale und nichtzentrale Stöße graphisch dar.

    Tipps

    Was bedeutet nichtzentral / dezentral?

    Wie viele Dimensionen benötigt man, um einen Stoß zweier Kugeln zu beschreiben?

    Ein eindimensionales Objekt ist eine Linie, ein zweidimensionales eine Fläche.

    Lösung

    Ein eindimensionales Objekt ist eine Linie, ein zweidimensionales eine Fläche.

    Man betrachtet also in dieser Aufgabe die Impulsvektoren beziehungsweise die Richtungsvektoren und prüft, ob beide in einer Linie mit den beiden Kugelmittelpunkten liegen.

    Ist diese der Fall, dann spricht man von einem zentralen Stoß. Es genügt eine Dimension, um diesen Stoß zu beschreiben und man muss daher nicht mit Vektoren rechnen.

    Ist dies nicht der Fall, dann liegt ein nichtzentraler / dezentraler Stoß vor, der nur durch Vektorrechnung im mehrdimensionalen Raum zu berechnen ist. Eine einfacherer Möglichkeit ist in diesem Fall die graphische Lösung.

  • Nenne alle möglichen Winkel, die die Geschwindigkeitsvektoren zweier Billiardkugeln nach einem elastischen Stoß miteinander bilden können.

    Tipps

    Erinnere dich an die graphische Lösung von nichtzentralen Stößen.

    Vergiss nicht die zentralen Stöße.

    Welchen Winkel bilden die Vektoren der Impulse nach dem Stoß?

    Lösung

    Die Kugeln können sich nach dem zentralen elastischen Stoß entweder in die gleiche Richtung (0°) oder die entgegengesetzte Richtung (180°) bewegen.

    Beim nichtzentralen Stoß entfernen sich die Kugeln hinterher immer rechtwinklig (90°) voneinander.

    Dass dies bei einem Billiardspiel manchmal anders aussieht, hängt natürlich von weiteren Faktoren wie der Drehung der Kugeln ab.

  • Bestimme die Geschwindigkeiten der Kugeln nach dem zentralen Stoß.

    Tipps
    Lösung

    Gegeben: $v_{11}=5\frac{\text{m}}{\text{s}},\quad v_{21}=8\frac{\text{m}}{\text{s}}, \quad m_1=10\,\text{kg}, \quad m_2=20\,\text{kg}$

    Gesucht: $v_{12}, ~v_{22}$

    Formel:

    $v_{12}=\frac{m_1\cdot v_{11} +m_2 \cdot (2\cdot v_{21}-v_{11} )}{ m_1+m_2}$

    Einsetzen:

    $v_{12}=\frac{10\,\text{kg} \cdot 5 \frac{\text{m}}{\text{s}} +20\,\text{kg} \cdot (2 \cdot 8 \frac{\text{m}}{\text{s}}-5 \frac{\text{m}}{\text{s}} ) }{ 10\,\text{kg}+20\,\text{kg}} = \frac{ 50 \,\text{kg} \frac{\text{m}}{\text{s}} +20\,\text{kg} \cdot (11\frac{\text{m}}{\text{s}})}{ 30\,\text{kg}} =9\frac{\text{m}}{\text{s}} $

    Die erste Kugel hat nach dem Stoß eine Geschwindigkeit von $9\frac{\text{m}}{\text{s}} $.

    Analog erhält man für die andere Kugel:

    $v_{22}=\frac{m_2\cdot v_{21} +m_1 \cdot (2\cdot v_{11}-v_{21} )}{ m_1+m_2} = 6 \frac{\text{m}}{\text{s}}$.

    Die zweite Kugel hat nach dem Stoß eine Geschwindigkeit von $6\frac{\text{m}}{\text{s}} $.

    Damit ist die Differenz der beiden Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß identisch: $|v_{11}-v_{21}|=|v_{12}-v_{22}|=3\frac{\text{m}}{\text{s}} $.

    Da das Vorzeichen nicht betrachtet wird, werden hier Betragszeichen verwendet.

  • Ermittle die Impulse der Kugeln nach dem Stoß durch Vektorzerlegung.

    Tipps

    Überlege dir zuerst, in welche Richtungen die Kugeln sich wohl in etwa bewegen werden.

    Welche Vektoren können hier verschoben werden?

    Wo muss der 90°-Winkel liegen?

    Lösung

    Um die Länge der Vektoren und somit die Beträge der Impulse nach dem Stoß zu bestimmen, kannst du die Vektoren entlang ihrer Wirkungslinie verschieben. Im nebenstehenden Bild starten die Vektoren wieder an den jeweiligen Kugelmittelpunkten. Die Längen bleiben hingegen gleich.

    Die Vektorzerlegung funktioniert immer gleich. Du hast einen Vektor, den du auf zwei beliebige (meistens senkrecht aufeinander stehende) Koordinatenlinien projizierst. In diesem Fall ist das einmal die Verbindungslinie zwischen den Kugelmittelpunkten und dann die Senkrechte dazu. Diese Zerlegung ist eindeutig.