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Raketengleichung

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Jakob Köbner
Raketengleichung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse

Beschreibung Raketengleichung

Inhalt

Die Raketengleichung in der Physik

Du hast sicher schon einmal einen Raketenstart im Fernsehen oder im Internet verfolgt. Wie es möglich ist, dass so ein riesiges und schweres Objekt wie eine Rakete fliegt, kann mit der Raketengleichung beschrieben werden. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, auf welchem physikalischen Prinzip diese Gleichung beruht und wie man sie herleiten kann.

Raketengleichung – Herleitung

Der Antrieb von Raketen basiert auf dem Rückstoßprinzip, das wiederum auf der Impulserhaltung basiert. Wir erinnern uns: Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Gesamtimpuls eines Systems konstant ist, solange keine äußere Kraft wirkt.

Übertragen auf die Rakete ergibt sich der folgende Zusammenhang: Der Antrieb einer Rakete besteht aus einer Brennstoffkammer, die mit Brennstoff gefüllt ist, und einem Ausstoßmechanismus. Beim Start der Triebwerke wird der Brennstoff entzündet, wodurch er durch den Ausstoßmechanismus aus der Rakete austritt. Da der austretende Treibstoff einen von null verschiedenen Impuls hat, muss die Rakete einen genau entgegengesetzten Impuls haben, damit die Impulserhaltung nicht verletzt wird. Man kann sich den Prozess auch mithilfe des newtonschen Wechselwirkungsprinzips (Actio = Reactio) erklären: Der Treibstoff wird mit einer Kraft aus der Rakete beschleunigt, daher muss eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft auf die Rakete wirken. Wir wollen uns dieses Prinzip nun genauer anschauen, um eine Formel herzuleiten.

Berechnung der Schubkraft einer Rakete, Raketengleichung

Wir können eine Rakete als System mit dem Gesamtimpuls $p_{ges}$ betrachten und zunächst äußere Kräfte vernachlässigen. Zu Beginn unserer Betrachtung steht die Rakete an der Startrampe. Der Gesamtimpuls $p_{ges}$ ist also null. Sobald das Triebwerk gezündet wird, tritt Brennstoff aus der Rakete aus. Wir nehmen vereinfachend an, dass die Geschwindigkeit $v_T$, mit der der Brennstoff die Rakete verlässt, konstant ist. Wir betrachten die Geschwindigkeit $v_T$ außerdem aus Sicht der Rakete. Wenn wir nun einen kleinen Teil der ausgestoßenen Masse $\Delta m_T$ betrachten, hat dieser den Impuls $p_T$:

$p_T = -\Delta m_T \cdot v_T$

Wegen der Impulserhaltung beziehungsweise des Wechselwirkungsprinzips muss die Rakete nun einen betraglich gleichen, aber entgegengesetzt gerichteten Impuls $p_R$ haben:

$p_R = m \cdot \Delta v_R$

Hier ist $m$ die Masse der Rakete und $\Delta v_R$ der Zuwachs ihrer Geschwindigkeit. Allerdings müssen wir eine Besonderheit berücksichtigen: Die Masse der Rakete ist nicht konstant! Da Brennstoff ausgestoßen wird, verringert sich die momentane Masse $m$ der Rakete gerade um den Betrag $\Delta m_T$, der ausgestoßen wird. Also:

$p_R = (m - \Delta m_T) \cdot \Delta v_R$

Da sich die Impulse aufgrund der Impulserhaltung zu null addieren müssen, muss gelten:

$p_R = -p_T$

Wir setzen entsprechend die Impulse ein und erhalten:

$ \Delta m_T \cdot v_T = (m - \Delta m_T) \cdot \Delta v_R = m \cdot \Delta v_R - \Delta m_T \cdot \Delta v_R$

Da wir eine Formel für die Geschwindigkeit $v$ der Rakete bestimmen wollen, müssen wir immer kleinere Schritte der Differenzen $\Delta$ betrachten. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das, dass wir $\Delta m_T$ und $\Delta v_R$ gegen null laufen lassen. Das bedeutet, dass wir den Term $\Delta m_T \cdot \Delta v_R$ nicht mehr berücksichtigen müssen. Da sowohl $\Delta m_T$ als auch $\Delta v_R$ gegen null laufen, strebt das Produkt $\Delta m_T \cdot \Delta v_R$ viel schneller gegen null als $m \cdot \Delta v_R$. Es gilt also stets:

$m \cdot \Delta v_R >> \Delta m_T \cdot \Delta v_R$

Wir lassen den letzten Term also weg und vereinfachen so die Gleichung zu:

$ \Delta m_T \cdot v_T = m \cdot \Delta v_R$

Außerdem ersetzen wir $\Delta m_T$ und $\Delta v_R$ durch die Differenziale $-\text{d}m$ und $\text{d}v$:

$- v_T \cdot \text{d}m = m \cdot \text{d}v$

Das Differenzial $\text{d}v$ entspricht einfach einer sehr kleinen Änderung der Geschwindigkeit. Beim Differenzial $\text{d}m$ haben wir zusätzlich von $m_T$ zur Masse der Rakete $m$ gewechselt. Daher kommt auch das Minuszeichen: Wenn die Treibstoffmasse $\Delta m_T$ ausgestoßen wird, nimmt die Masse $m$ der Rakete genau um den Betrag $\Delta m_T$ ab. Deswegen ist $\Delta m_T = - \Delta m$ und $\text{d}m_T = - \text{d}m$.

Wir müssen diese Gleichung noch so umformen, dass auf jeder Seite nur je eine der Variablen steht. Dazu teilen wir auf beiden Seiten durch $m$:

$-v_T \cdot \frac{1}{m} \cdot \text{d}m = \text{d}v$

Der Faktor $-v_T$ kann auf der linken Seite bleiben, da wir die Geschwindigkeit des Treibstoffs als konstant angenommen haben. Es handelt sich also nicht um eine Variable. Die Gleichung, die wir so aufgestellt haben, nennt man eine Differenzialgleichung. Wie man solche Gleichungen allgemein lösen kann, wird in der Oberstufe und der Universität behandelt. Wir wollen an dieser Stelle eine Methode anwenden, ohne näher zu erklären, warum sie funktioniert. Sie nennt sich Trennung der Variablen. Wir müssen dazu beide Seiten der Gleichung integrieren:

$\int -v_T \cdot \frac{1}{m} \cdot \text{d}m =\int \text{d}v$

Wir können dabei, wie gewohnt, die Regeln der Integralrechnung anwenden. Damit erhalten wir zunächst:

$-v_T \cdot (\ln(m) + A) = v + B$

Dabei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus und $A$ und $B$ sind die Integrationskonstanten. Genau genommen hängen $m$ und $v$ von der Zeit ab, also:

$-v_T \cdot (\ln(m(t)) + A) = v(t) + B$

Wir multiplizieren links die Klammer aus und bringen die Integrationskonstante $B$ durch Subtraktion auf die linke Seite:

$-v_T \ln(m(t)) -v_TA -B = v(t)$

Der Term $-v_TA -B$ besteht nur aus Konstanten. Wir können ihn also zu einer neuen Konstanten $C$ zusammenfassen:

$v(t) = -v_T \ln(m(t)) + C$

Den Wert dieser Konstanten können wir bestimmen, indem wir Anfangsbedingungen einsetzen. Wir hatten gesagt, dass zu Beginn, also zum Zeitpunkt $t=0$, die Rakete stillsteht und noch kein Brennstoff ausgestoßen ist, sie also ihre Anfangsmasse $m_0$ besitzt. Das heißt, die Anfangsbedingungen sind:

$v(0) = 0 ~ ~ \text{und} ~ ~ m(0) = m_0$

$\Downarrow$

$0 = -v_T \ln(m_0) + C \Leftrightarrow C = v_T \ln(m_0)$

Diesen Wert für die Integrationskonstante $C$ können wir jetzt in die Gleichung für $v(t)$ einsetzen:

$v(t) = -v_T \ln(m(t)) + v_T \ln(m_0) = v_T \cdot (\ln(m_0) - \ln(m(t)))$

Den Klammerterm können wir noch mithilfe der Logarithmusgesetze umformen:

$v(t) = v_T \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right)$

Das ist die Raketengleichung für die Geschwindigkeit einer Rakete unter Vernachlässigung äußerer Kräfte wie der Reibung und der Erdbeschleunigung und der Annahme eines konstanten Masseausstoßes.

Zumindest die Erdbeschleunigung können wir in unserer Gleichung noch berücksichtigen. Die Erdbeschleunigung $g$ sorgt nach einer Beschleunigungszeit $t$ für eine Geschwindigkeit $v_g = g \cdot t$ in Richtung Boden. Diesen Wert müssen wir von der Geschwindigkeit der Rakete $v(t)$ noch abziehen und erhalten die Raketengleichung mit Gravitation:

$v(t) =v_T \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right) - g \cdot t$

Um die Endgeschwindigkeit $v_E$ der Rakete nach Brennvorgang des Triebwerks zu bestimmen, müssen wir für $t$ die Zeit $\hat{t}$ einsetzen, die der Brennvorgang insgesamt dauert. Die Masse $m(\hat{t})$ können wir durch $m_l$ ersetzen, was für die Masse der leeren Rakete ohne Treibstoff steht. So erhalten wir die folgende Formel für die Endgeschwindigkeit:

$v_E = v(\hat{t}) =v_T \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m_l}\right) - g \cdot \hat{t}$

Die Endgeschwindigkeit der Rakete hängt also einerseits von der Geschwindigkeit des Treibstoffs $v_T$ ab, andererseits vom Verhältnis der Anfangsmasse $m_0$ zur Leermasse $m_l$ der Rakete.

Das Stufenprinzip

Wir haben in der Herleitung gesehen, dass die Endgeschwindigkeit einer Rakete vom Verhältnis $\frac{m_0}{m_l}$ abhängt. Um die Leermasse $m_l$ der Rakete möglichst niedrig zu halten (denn dann kann eine hohe Endgeschwindigkeit erreicht werden), gibt es das sogenannte Stufenprinzip. Raketen, die nach diesem Prinzip gebaut sind, bestehen aus mehreren Brennstufen. Jede dieser Stufen besteht aus einer Brennkammer, Brennstoff und einem Zünd- und Austrittsmechanismus. Sobald der Brennstoff in einer Stufe verbraucht ist, wird die gesamte Brennkammer abgesprengt und fällt in Richtung Erde. Dann wird die nächste Stufe gezündet. So kann unnötiges Gewicht gespart werden. Die Raketengleichung für solche mehrstufigen Raketen ist komplexer als die von uns hergeleitete, aber das Grundprinzip ist dasselbe. Die Saturn-Rakete, mit der die erste Mondlandung geglückt ist, hatte beispielsweise drei Brennstufen.

Rakete Stufenprinzip

Dieses Video

In diesem Video wird dir die Raketengleichung einfach erklärt. Du erfährst, wie man die Raketengrundgleichung herleiten kann und von welchen Größen sie abhängt. Außerdem lernst du, mit welcher Formel die Endgeschwindigkeit einer Rakete berechnet werden kann und was es mit dem Stufenprinzip auf sich hat. Neben Text und Video findest du ein Arbeitsblatt und interaktive Übungen. Teste dein neues Wissen, indem du die Aufgaben löst.

Transkript Raketengleichung

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute mit der Raketengleichung. Wir lernen heute, wie ein Raketenantrieb funktioniert, wie ich die Raketengleichung herleiten kann und was das Stufenprinzip ist und welchen Sinn es hat. Der Antrieb einer Rakete - ihr habt bestimmt schon einmal einen Raketenstart im Fernsehen gesehen -  basiert auf dem Rückstoßprinzip. Die Idee ist: Einen Treibstoff - eine Masse, wir bezeichnen sie mit mt - wird mit der Geschwindigkeit vt ausgestoßen. Dadurch gewinnt die Rakete an Impuls. Das Ganze lässt sich gut mit dem Impulserhaltungssatz verstehen. Oder ihr denkt einfach an einen Luftballon, der aufgepumpt ist und den ihr loslasst. Die Luft rauscht heraus und der Luftballon flitzt davon. Hier haben wir die Rakete. Der Treibstoff wird nach hinten herausgestoßen und dadurch wird die Rakete schneller. Wir wollen überlegen, was passiert, wenn wir einen Start aus dem Stand betrachten. Der Gesamtimpuls, der m×v beträgt, ist dann =0. Im nächsten Kapitel wollen wir uns ansehen, wie wir von einer stehenden Rakete mit Gesamtimpuls 0 ausgehend eine Gleichung herleiten können, die uns den Abflug der Rakete erklärt. Unsere Rakete stößt, während sie fliegt, innerhalb eines kurzen Zeitraums die Masse mt aus mit der Geschwindigkeit vt und gewinnt dadurch die Geschwindigkeit Δv. Ihre Masse m verringert sich dadurch leicht um die Masse des ausgestoßenen Treibstoffes. Wir wissen: Am Anfang war der Gesamtimpuls P=m0×v0=0. Die Masse nach dem Ausstoß ist m0-mT. Mein Impulserhaltungssatz nach Ausstoß des Treibstoffes ist also m×Δv+mT×vT=0, und das ist der Ansatz, den wir für unsere Gleichung wollen. Wir setzen das m von rechts ein und erhalten (m0-mT)Δv+mTvT=0. WIr halten noch kurz fest: Die Masse des Treibstoffes ist sehr klein gegen die Masse der Rakete und die Geschwindigkeit des Treibstoffes ist sehr groß gegen die gewonnene Geschwindigkeit Δv. Wir multiplizieren aus und erhalten: m0×Δv-mT×Δv+mT×vT=0. Wenn wir nach rechts gucken, sehen wir: mT und Δv sind beide sehr klein. Das mittlere Glied in dieser Gleichung können wir also vernachlässigen. Unsere Gleichung wird also zu Δv= die Geschwindigkeit des Treibstoffs mal die Masse des Treibstoffs geteilt durch die ursprüngliche Masse m0. Δv ist also (-vT×mT)/m0. Wenn ich auf beiden Seiten integriere, erhalte ich ∫(v0,v)dv=-vt∫(m0,m)(dm)/m. Das ergibt für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t: v(t) ist die Anfangsgeschwindigkeit v0 - bei uns 0 - +vT×ln(m0/mT). Betrachte ich die Endgeschwindigkeit, also wenn der gesamte Treibstoff ausgestoßen ist, bedeutet das: die Endgeschwindigkeit ve=v0+vT×ln(m0/me). Für unser Beispiel war ja die Anfangsgeschwindigkeit =0. Das ist aber noch nicht alles. Wir haben völlig vergessen, dass wir gegen die Fallbeschleunigung g der Erde arbeiten. Die resultierende Geschwindigkeit ist also v res=ve-vF, also den Geschwindigkeitsunterschied, den die Fallbeschleunigung ausmacht. Das ergibt: vT×ln(m0/me)-g×t. Das ist die Raketengleichung. Im letzten Abschnitt wollen wir uns noch kurz ansehen, was man unter dem Stufenprinzip versteht und warum man solche Raketen baut. Ihr seht hier ein Bild, das von der NASA angefertigt wurde. Es zeigt die Schemata zweier Dreistufenraketen und an diesem Bild will ich kurz erklären, was eine mehrstufige Rakete ist. Wie ihr seht, haben die beiden Raketen mehrere Antriebsphasen. Unten einen Ring aus Raketen, darüber eine zweite große Rakete und darüber, Third Stage steht dort, einen dritten kleinen Antrieb und ganz obendrauf eine Kapsel. Diese Kapsel ist eigentlich das Einzige, das transportiert wird. Zuerst werden die Raketen unten gezündet. Sobald ihr Treibstoff aufgebraucht ist, werden sie abgeworfen, damit Masse gespart wird und dann zündet die zweite, im Bild blaue Rakete in der Mitte. Wenn auch ihr Treibstoff verbraucht ist, ist die Kapsel oben bereits so weit, dass ein sehr kleiner Antrieb ausreicht, um sich weiter fortzubewegen. Das ist eine mehrstufige Rakete. Mit solchen mehrstufigen Raketen erreicht man höhere Endgeschwindigkeiten und damit höhere Erdumlaufbahnen. Jede Stufe besteht aus einem kompletten Antrieb, das heißt jeder Menge Treibstoff, einem Treibstoffbehälter und einem Ausstoßmechanismus. Ist der Treibstoff aufgebraucht, wird die Stufe einfach abgeworfen, damit man das inzwischen unnütz gewordene Gewicht von Treibstoffbehälter und Ausstoßmechanismus nicht mehr mit sich herumtragen muss. Dadurch verringert sich die Masse der Rakete, und der Geschwindigkeitszuwachs wird größer. Allerdings kann solch eine Rakete auch weniger Last transportieren. Ihr habt im Bild gesehen: Die Kapsel, die am Ende übrig bleibt, ist ziemlich klein. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Ein Raketenantrieb funktioniert nach dem Rückstoßprinzip. Treibstoff wird mit hoher Geschwindigkeit ausgestoßen, wodurch die Rakete an Impuls gewinnt. Die Raketengleichung lautet: Die Endgeschwindigkeit ve= die Anfangsgeschwindigkeit v0 + die Geschwindigkeit des Treibstoffausstoßes vT × ln(Anfangsmasse/ Endmasse). Fliegt die Rakete aus dem Stand los und startet von der Erdoberfläche, so lautet die Formel: ve=vT×ln(m0/me)-g×t. Außerdem haben wir gelernt: Mehrstufige Raketen erreichen höhere Endgeschwindigkeiten. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen und vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @Alexpfeiler

    Leider nein, da du ja nicht die Geschwindigkeitsänderung Delta-t verwenden möchtest sondern die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Zeitpunkt t. Daher brauchst du hier auch das Integral.

    Von Karsten S., vor fast 5 Jahren
  2. die Herleitung der Formel für delta v ist logisch, wieso integriere ich diese dann? geht es nicht auch ohne integral?

    Von Alexpfeifer, vor fast 5 Jahren

Raketengleichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Raketengleichung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib zu den physikalischen Größen der Raketengleichung die Formelzeichen an.

    Tipps

    Das Formelzeichen der Masse im Allgemeinen ist $m$.

    Das Formelzeichen der Geschwindigkeit im Allgemeinen ist $v$.

    Lösung

    Fünf Formelzeichen sind in dieser Aufgabe zuzuordnen: $v_0$, $m_0$, $v_T$, $m_e$, $v_e$.

    Das $v$ ist in der Physik in der Regel das Formelzeichen der Geschwindigkeit und $m$ das der Masse.

    Somit sind $m_0$ und $m_e$ Massen und $v_0$, $v_T$ und $v_e$ Geschwindigkeiten.

    Die Null bei $v_0$ und $m_0$ bezieht sich auf die Masse und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$, also dem Anfang/Start der Untersuchung. Somit ist $v_0$ die Startgeschwindigkeit und $m_0$ die Startmasse.

    Das große T bezieht sich auf den Treibstoff, welcher ausgestoßen wird, um die Rakete zu starten: $v_T$ ist also die Geschwindigkeit des Treibstoffs.

  • Vervollständige den Text zur Funktionsweise einer Rakete.

    Tipps

    Raketen sind mit Treibstoff befüllt.

    Raketen stoßen sich beim Start von Treibstoffgasen ab.

    Physikalische Grundlage für einen Raketenstart ist der Impulserhaltungssatz.

    Lösung

    Der Antrieb einer Rakete basiert auf einem sehr grundlegenden physikalischen Prinzip: dem sogenannten Rückstoßprinzip.

    Der Rückstoß, welcher die Rakete antreibt, wird durch verbrannten Treibstoff realisiert. Unter der Rakete sammelt sich dichter Rauch, von welchem sich die Rakete abstoßen kann. Dadurch erhöht sich die Geschwindigkeit der Rakete und somit auch der Impuls.

    Der Impulserhaltungssatz ermöglicht der Rakete einen Impulsgewinn, da der Rauch zeitgleich in die entgegengesetzte Richtung gedrückt wird.

  • Vervollständige den Text zur Funktionsweise einer Stufenrakete.

    Tipps

    Fülle erst die Lücken aus, bei denen du dir sehr sicher bist. Somit ist die Auswahl für weitere Lücken etwas kleiner.

    Lösung

    Raketen sollen in der Regel so schnell beziehungsweise so hoch wie möglich fliegen. Realisiert wird dies mit Stufenraketen, welche höhere Endgeschwindigkeiten und damit höhere Erdumlaufbahnen erreichen können.

    Doch wie genau funktionieren mehrstufige Raketen?

    Jede Stufe einer solchen Rakete setzt sich aus einem besonderen Antrieb zusammen. Dieser Antrieb besteht aus drei wesentlichen Objekten: Treibstoff, Treibstoffbehälter und Ausstoßmechanismus.

    Doch wie funktionieren diese Objekte?

    Der zusätzliche Treibstoff in jeder Stufe wird verbrannt und beschleunigt die Rakete. Ist der Treibstoff jedoch aufgebraucht, wird die Masse des Treibstoffbehälters die Rakete erheblich abbremsen. Der Ausstoßmechanismus stößt deswegen nach dem Aufbrauchen des Treibstoffs den leeren Treibstoffbehälter ab. Dadurch verringert sich die Masse der Rakete und der Geschwindigkeitszuwachs wird größer. Allerdings kann solch eine Rakete auch weniger Last transportieren.

  • Bewerte die Aussagen über Raketen.

    Tipps

    Lese dir die einzelnen Aussagen sorgfältig durch. Einige kommen dir vielleicht bekannt vor, doch Achtung! Es wurden Kleinigkeiten verändert.

    Lösung

    Die Aussage ,,Stufenraketen ermöglichen höhere Endgeschwindigkeiten'' ist wahr, da das Erreichen höherer Geschwindigkeiten der Sinn und Zweck mehrstufiger Raketen ist.

    Die Aussage ,,Wenn eine Dreistufenrakete schon zwei Stufen abgeworfen hat, kann sie besonders viel Last ziehen'' ist falsch. Es verhält sich genau anders herum. Wenn eine Dreistufenrakete zwei Stufen bereits abgeworfen hat, ist die restliche Rakete sehr klein und leicht. Somit kann sie keine größere Last mehr ziehen. Diese würde die Rakete sehr stark abbremsen.

    Die Aussage ,,Der Impulserhaltungssatz ist eine zentrale physikalische Grundlage zum Starten einer Rakete'' ist wahr. Der Rückstoß, welcher der Rakete überhaupt einen Start ermöglicht, ist nur dank des Impulserhaltungssatzes möglich.

    Die Aussage ,,Die Masse des ausgestoßenen Treibstoffs ist bedeutend größer als die Masse der Rakete'' ist falsch. Auch hier gilt genau das Gegenteil: Die Masse des ausgestoßenen Treibstoffs ist bedeutend kleiner als die Masse der Rakete. Dies wurde auch bei der Herleitung der Raketengleichung verwendet.

    Die Aussage ,,Die Geschwindigkeit des ausgestoßenen Treibstoffs ist bedeutend größer als die Geschwindigkeit der Rakete beim Starten'' ist wahr. Da der Treibstoff leichter ist, kann er schneller eine hohe Geschwindigkeit erreichen. Die schwere Rakete erhält zwar denselben Impuls, jedoch muss bei größerer Masse die Geschwindigkeit kleiner sein.

    Die Aussage ,,$m_0$ ist die Masse des Treibstoffs'' ist falsch, da $m_0$ die Startmasse der Rakete ist ($v_0$ ist folglich auch die Startgeschwindigkeit der Rakete). Die Masse des Treibstoffs wird wiederum mit $m_T$ bezeichnet.

  • Gib an, welche dieser Objekte sich mit Hilfe des Rückstoßprinzips bewegen.

    Tipps

    Das Rückstoßprinzip funktioniert so: Immer wenn von einem Körper etwas weggeschleudert oder in eine bestimmte Richtung abgegeben wird, erfährt der verbleibende Körper eine Kraft in die entgegengesetzte Richtung.

    Lösung

    Die richtigen Antworten sind das Spaceshuttle, die Silvesterraketen und der Düsenjäger. Alle drei stoßen Gas beziehungsweise Rauch aus, um sich davon abstoßen zu können. Besonders deutlich wird das bei der Silvesterrakete. In ihr befindet sich kein Motor oder ein anderer elektronischer Antrieb, sondern hauptsächlich Schwarzpulver. Wenn dieses verbrennt, wird der Rauch nach unten ausgestoßen. Und zwar so viel Rauch, dass die Rakete sich davon abstoßen kann.

    Bei den drei falschen Antworten (das Auto, der Roller, das Fahrrad) greift das Rückstoßprinzip nicht. Diese Objekte werden durch einen Motor oder reine Muskelkraft, welche Räder in Bewegung versetzen, angetrieben.

  • Gib die Herleitung der Raketengleichung an.

    Tipps

    Ausgangslage der Raketengleichung ist, dass der Impuls null ist.

    $m=m_0-m_T$

    Einer der letzten Schritte der Herleitung ist die Berücksichtigung der Erdanziehung. Die Rakete startet nämlich entgegen ihrer Fallrichtung.

    Lösung

    Ausgangslage bei der Herleitung der Raketengleichung ist, dass der Impuls gleich null ist. Die erste Gleichung lautet somit: $p=m_0\cdot v_0=0$.

    Da eine Rakete nur durch das Rückstoßprinzip starten kann, ist in der Impulsbetrachtung sowohl der Impuls der Rakete als auch der Impuls des Treibstoffs zu berücksichtigen. Die zweite Gleichung lautet somit: $p=m\cdot \Delta v + m_T\cdot v_T=0$.

    Nun wird die Gesamtmasse $m$ durch die Startmasse und die Masse des Treibstoffs ersetzt ($m=m_0-m_T$). Es folgt die Gleichung $0=(m_0-m_T)\cdot \Delta v+m_T\cdot v_T$. Um diese Gleichung etwas zu vereinfachen, wird die Klammer $(m_0-m_T)$ ausmultipliziert. Daraus folgt: $0=m_0\cdot \Delta v-m_T\cdot \Delta v+m_T\cdot v_T$.

    Diese Gleichung kann nun etwas vereinfacht werden. Da die Masse des Treibstoffs $m_T$ sehr klein im Vergleich zur Masse der Rakete ist und die Geschwindigkeit der Rakete $\Delta v$ wiederum sehr klein im Vergleich zur Geschwindigkeit des Treibstoffs ist, kann der Term $m_T\cdot \Delta v$ vernachlässigt werden.

    Es ergibt sich die Gleichung: $0=m_0\cdot \Delta v +m_T\cdot v_T$.

    Stellen wir diese Gleichung nun nach $\Delta v$ um: $\Delta v=-\frac{v_T\cdot m_T}{m_0}$.

    Aus der Integration dieser Gleichung folgt: $v_e=v_0+v_T\cdot ln(\frac{m_0}{m_e})$.

    Sollte dir der Begriff der Integration unbekannt sein, sei nicht besorgt. Integrieren ist eine mathematische Berechnungsmethode, welche du in höheren Klassenstufen kennen lernen wirst. Schau dir bei Gelegenheit auf unserer Internetseite einige Videos dazu an.

    Die Raketengleichung haben wir jedoch noch nicht vollständig hergeleitet. Bis jetzt haben wir zwar eine korrekte Betrachtung der Impulse vollzogen, aber einen Aspekt vollkommen vernachlässigt. Die Rakete startet nämlich entgegen ihrer eigenen Fallrichtung. Die resultierende Geschwindigkeit der Rakete wird somit um ihre eigene Fallgeschwindigkeit $v_F$ vermindert. Es gilt: $v_{Res}=v_e-v_F$.

    Die Fallgeschwindigkeit berechnet sich aus der Fallbeschleunigung und der verstrichenen Zeit: $v_F=g\cdot t$. Setzen wir in dieser Gleichung für $v_e$ unser Resultat der Impulsbetrachtung ein (mit $v_0=0$), so folgt: $v_{Res}=v_T\cdot ln(\frac{m_0}{m_e})-gt$.

    Diese letzte Gleichung ist die Raketengleichung.

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