Raketengleichung

Die Raketengleichung in der Physik

Du hast sicher schon einmal einen Raketenstart im Fernsehen oder im Internet verfolgt. Wie es möglich ist, dass so ein riesiges und schweres Objekt wie eine Rakete fliegt, kann mit der Raketengleichung beschrieben werden. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, auf welchem physikalischen Prinzip diese Gleichung beruht und wie man sie herleiten kann.

Raketengleichung – Herleitung

Der Antrieb von Raketen basiert auf dem Rückstoßprinzip, das wiederum auf der Impulserhaltung basiert. Wir erinnern uns: Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Gesamtimpuls eines Systems konstant ist, solange keine äußere Kraft wirkt.

Übertragen auf die Rakete ergibt sich der folgende Zusammenhang: Der Antrieb einer Rakete besteht aus einer Brennstoffkammer, die mit Brennstoff gefüllt ist, und einem Ausstoßmechanismus. Beim Start der Triebwerke wird der Brennstoff entzündet, wodurch er durch den Ausstoßmechanismus aus der Rakete austritt. Da der austretende Treibstoff einen von null verschiedenen Impuls hat, muss die Rakete einen genau entgegengesetzten Impuls haben, damit die Impulserhaltung nicht verletzt wird. Man kann sich den Prozess auch mithilfe des newtonschen Wechselwirkungsprinzips (Actio = Reactio) erklären: Der Treibstoff wird mit einer Kraft aus der Rakete beschleunigt, daher muss eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft auf die Rakete wirken. Wir wollen uns dieses Prinzip nun genauer anschauen, um eine Formel herzuleiten.

Wir können eine Rakete als System mit dem Gesamtimpuls $p_{ges}$ betrachten und zunächst äußere Kräfte vernachlässigen. Zu Beginn unserer Betrachtung steht die Rakete an der Startrampe. Der Gesamtimpuls $p_{ges}$ ist also null. Sobald das Triebwerk gezündet wird, tritt Brennstoff aus der Rakete aus. Wir nehmen vereinfachend an, dass die Geschwindigkeit $v_T$, mit der der Brennstoff die Rakete verlässt, konstant ist. Wir betrachten die Geschwindigkeit $v_T$ außerdem aus Sicht der Rakete. Wenn wir nun einen kleinen Teil der ausgestoßenen Masse $\Delta m_T$ betrachten, hat dieser den Impuls $p_T$:

$p_T = -\Delta m_T \cdot v_T$

Wegen der Impulserhaltung beziehungsweise des Wechselwirkungsprinzips muss die Rakete nun einen betraglich gleichen, aber entgegengesetzt gerichteten Impuls $p_R$ haben:

$p_R = m \cdot \Delta v_R$

Hier ist $m$ die Masse der Rakete und $\Delta v_R$ der Zuwachs ihrer Geschwindigkeit. Allerdings müssen wir eine Besonderheit berücksichtigen: Die Masse der Rakete ist nicht konstant! Da Brennstoff ausgestoßen wird, verringert sich die momentane Masse $m$ der Rakete gerade um den Betrag $\Delta m_T$, der ausgestoßen wird. Also:

$p_R = (m - \Delta m_T) \cdot \Delta v_R$

Da sich die Impulse aufgrund der Impulserhaltung zu null addieren müssen, muss gelten:

$p_R = -p_T$

Wir setzen entsprechend die Impulse ein und erhalten:

$ \Delta m_T \cdot v_T = (m - \Delta m_T) \cdot \Delta v_R = m \cdot \Delta v_R - \Delta m_T \cdot \Delta v_R$

Da wir eine Formel für die Geschwindigkeit $v$ der Rakete bestimmen wollen, müssen wir immer kleinere Schritte der Differenzen $\Delta$ betrachten. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das, dass wir $\Delta m_T$ und $\Delta v_R$ gegen null laufen lassen. Das bedeutet, dass wir den Term $\Delta m_T \cdot \Delta v_R$ nicht mehr berücksichtigen müssen. Da sowohl $\Delta m_T$ als auch $\Delta v_R$ gegen null laufen, strebt das Produkt $\Delta m_T \cdot \Delta v_R$ viel schneller gegen null als $m \cdot \Delta v_R$. Es gilt also stets:

$m \cdot \Delta v_R >> \Delta m_T \cdot \Delta v_R$

Wir lassen den letzten Term also weg und vereinfachen so die Gleichung zu:

$ \Delta m_T \cdot v_T = m \cdot \Delta v_R$

Außerdem ersetzen wir $\Delta m_T$ und $\Delta v_R$ durch die Differenziale $-\text{d}m$ und $\text{d}v$:

$- v_T \cdot \text{d}m = m \cdot \text{d}v$

Das Differenzial $\text{d}v$ entspricht einfach einer sehr kleinen Änderung der Geschwindigkeit. Beim Differenzial $\text{d}m$ haben wir zusätzlich von $m_T$ zur Masse der Rakete $m$ gewechselt. Daher kommt auch das Minuszeichen: Wenn die Treibstoffmasse $\Delta m_T$ ausgestoßen wird, nimmt die Masse $m$ der Rakete genau um den Betrag $\Delta m_T$ ab. Deswegen ist $\Delta m_T = - \Delta m$ und $\text{d}m_T = - \text{d}m$.

Wir müssen diese Gleichung noch so umformen, dass auf jeder Seite nur je eine der Variablen steht. Dazu teilen wir auf beiden Seiten durch $m$:

$-v_T \cdot \frac{1}{m} \cdot \text{d}m = \text{d}v$

Der Faktor $-v_T$ kann auf der linken Seite bleiben, da wir die Geschwindigkeit des Treibstoffs als konstant angenommen haben. Es handelt sich also nicht um eine Variable. Die Gleichung, die wir so aufgestellt haben, nennt man eine Differenzialgleichung. Wie man solche Gleichungen allgemein lösen kann, wird in der Oberstufe und der Universität behandelt. Wir wollen an dieser Stelle eine Methode anwenden, ohne näher zu erklären, warum sie funktioniert. Sie nennt sich Trennung der Variablen. Wir müssen dazu beide Seiten der Gleichung integrieren:

$\int -v_T \cdot \frac{1}{m} \cdot \text{d}m =\int \text{d}v$

Wir können dabei, wie gewohnt, die Regeln der Integralrechnung anwenden. Damit erhalten wir zunächst:

$-v_T \cdot (\ln(m) + A) = v + B$

Dabei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus und $A$ und $B$ sind die Integrationskonstanten. Genau genommen hängen $m$ und $v$ von der Zeit ab, also:

$-v_T \cdot (\ln(m(t)) + A) = v(t) + B$

Wir multiplizieren links die Klammer aus und bringen die Integrationskonstante $B$ durch Subtraktion auf die linke Seite:

$-v_T \ln(m(t)) -v_TA -B = v(t)$

Der Term $-v_TA -B$ besteht nur aus Konstanten. Wir können ihn also zu einer neuen Konstanten $C$ zusammenfassen:

$v(t) = -v_T \ln(m(t)) + C$

Den Wert dieser Konstanten können wir bestimmen, indem wir Anfangsbedingungen einsetzen. Wir hatten gesagt, dass zu Beginn, also zum Zeitpunkt $t=0$, die Rakete stillsteht und noch kein Brennstoff ausgestoßen ist, sie also ihre Anfangsmasse $m_0$ besitzt. Das heißt, die Anfangsbedingungen sind:

$v(0) = 0 ~ ~ \text{und} ~ ~ m(0) = m_0$

$\Downarrow$

$0 = -v_T \ln(m_0) + C \Leftrightarrow C = v_T \ln(m_0)$

Diesen Wert für die Integrationskonstante $C$ können wir jetzt in die Gleichung für $v(t)$ einsetzen:

$v(t) = -v_T \ln(m(t)) + v_T \ln(m_0) = v_T \cdot (\ln(m_0) - \ln(m(t)))$

Den Klammerterm können wir noch mithilfe der Logarithmusgesetze umformen:

$v(t) = v_T \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right)$

Das ist die Raketengleichung für die Geschwindigkeit einer Rakete unter Vernachlässigung äußerer Kräfte wie der Reibung und der Erdbeschleunigung und der Annahme eines konstanten Masseausstoßes.

Zumindest die Erdbeschleunigung können wir in unserer Gleichung noch berücksichtigen. Die Erdbeschleunigung $g$ sorgt nach einer Beschleunigungszeit $t$ für eine Geschwindigkeit $v_g = g \cdot t$ in Richtung Boden. Diesen Wert müssen wir von der Geschwindigkeit der Rakete $v(t)$ noch abziehen und erhalten die Raketengleichung mit Gravitation:

$v(t) =v_T \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right) - g \cdot t$

Um die Endgeschwindigkeit $v_E$ der Rakete nach Brennvorgang des Triebwerks zu bestimmen, müssen wir für $t$ die Zeit $\hat{t}$ einsetzen, die der Brennvorgang insgesamt dauert. Die Masse $m(\hat{t})$ können wir durch $m_l$ ersetzen, was für die Masse der leeren Rakete ohne Treibstoff steht. So erhalten wir die folgende Formel für die Endgeschwindigkeit:

$v_E = v(\hat{t}) =v_T \cdot \ln\left(\frac{m_0}{m_l}\right) - g \cdot \hat{t}$

Die Endgeschwindigkeit der Rakete hängt also einerseits von der Geschwindigkeit des Treibstoffs $v_T$ ab, andererseits vom Verhältnis der Anfangsmasse $m_0$ zur Leermasse $m_l$ der Rakete.

Das Stufenprinzip

Wir haben in der Herleitung gesehen, dass die Endgeschwindigkeit einer Rakete vom Verhältnis $\frac{m_0}{m_l}$ abhängt. Um die Leermasse $m_l$ der Rakete möglichst niedrig zu halten (denn dann kann eine hohe Endgeschwindigkeit erreicht werden), gibt es das sogenannte Stufenprinzip. Raketen, die nach diesem Prinzip gebaut sind, bestehen aus mehreren Brennstufen. Jede dieser Stufen besteht aus einer Brennkammer, Brennstoff und einem Zünd- und Austrittsmechanismus. Sobald der Brennstoff in einer Stufe verbraucht ist, wird die gesamte Brennkammer abgesprengt und fällt in Richtung Erde. Dann wird die nächste Stufe gezündet. So kann unnötiges Gewicht gespart werden. Die Raketengleichung für solche mehrstufigen Raketen ist komplexer als die von uns hergeleitete, aber das Grundprinzip ist dasselbe. Die Saturn-Rakete, mit der die erste Mondlandung geglückt ist, hatte beispielsweise drei Brennstufen.