Drehimpuls
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Grundlagen zum Thema Drehimpuls
Der Drehimpuls
Die Pirouette
Hast du schon einmal einen Eiskunstläufer gesehen, der eine Pirouette macht? Bei dieser Übung dreht er sich mit ausgestreckten Armen um sich selbst, zieht dann die Arme eng an den Körper und dreht sich dadurch noch schneller. Du kannst das selbst zu Hause ausprobieren: Wenn du dich mit ausgestreckten Armen drehst und dann die Arme anziehst, merkst du, wie sich deine Drehung beschleunigt. Aber wieso ist das so? Das hängt mit dem Drehimpuls und der Drehimpulserhaltung zusammen.
Der Drehimpuls in der Physik
Du kennst schon den Impuls $p$ der Translation. Man kann ihn über die Masse $m$ und die Geschwindigkeit $v$ eines bewegten Körpers berechnen:
$p = m \cdot v$
Umgangssprachlich spricht man auch von der Wucht einer Bewegung.
Der Drehimpuls ist das Analogon in der Rotation. Wir schauen uns eine einfache Skizze an:
Eine Punktmasse $m$ rotiert im Abstand $r$ mit der Bahngeschwindigkeit $v$ um den Kreismittelpunkt. Die Bahngeschwindigkeit liegt immer tangential an der Kreisbahn an.
Drehimpuls – Definition
Wir können den Drehimpuls $L$ so einer Punktmasse, die sich auf einer Kreisbahn bewegt, mit der folgenden Formel berechnen:
$L = m \cdot v \cdot r = p \cdot r$
Der Drehimpuls hängt also nicht nur von der Masse und der Geschwindigkeit, sondern auch vom Radius der Kreisbewegung ab. Der Drehimpuls hat die Einheit $[L] = \frac{ \text{kg} \cdot \text{m}^{2} }{\text{s}}$ und kann umgangssprachlich als der Schwung einer Drehbewegung interpretiert werden.
Wie eine Pirouette funktioniert, wissen wir jetzt aber noch immer nicht. Uns fehlt noch eine wichtige Eigenschaft des Drehimpulses:
Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße!
Erhaltungsgröße bedeutet, dass sich der Drehimpuls in einem abgeschlossenen System nicht ändert. Solange keine Kraft von außen wirkt, ist der Drehimpuls $L$ also konstant. Das heißt, wenn sich beispielsweise der Radius der Kreisbewegung ändert, muss sich auch die Geschwindigkeit ändern, damit der Drehimpuls erhalten bleibt. Ein Beispiel dafür ist die Bewegung der Erde um die Sonne. Denn die bewegt sich nicht auf einer Kreisbahn, sondern auf einer Ellipse:
Weil man das System Erde-Sonne näherungsweise als abgeschlossenes System betrachten kann, muss der Drehimpuls der Erde an allen Positionen auf der Umlaufbahn erhalten bleiben. Deswegen muss sich die Geschwindigkeit genau umgekehrt zum Radius der Kreisbewegung verändern. Ist die Erde näher an der Sonne, also dem Zentrum der Kreisbewegung, bewegt sie sich schneller. Ist sie auf ihrer Bahn weiter von der Sonne entfernt, bewegt sie sich langsamer. (Falls du dich wunderst, dass die Ellipse ja gar kein Kreis ist: Man kann sich die Ellipse als eine Bahn vorstellen, die sich aus Kreisen mit unterschiedlichen Radien zusammensetzt.) Deswegen sind die Winter auf der Nordhalbkugel auch etwas kürzer als auf der Südhalbkugel.
Zurück zur Pirouette
Mit diesem Wissen betrachten wir noch einmal die Pirouette. Wenn wir bei der Drehung die Reibung vernachlässigen, können wir den Eiskunstläufer näherungsweise als abgeschlossenes System betrachten, für das die Drehimpulserhaltung gilt. Er dreht sich um seine eigene Achse und hat zu Beginn die Arme ausgestreckt. Zieht er die Arme näher an den Körper, ändert er seine Massenverteilung. Der Radius der Kreisbewegung wird kleiner, deswegen muss die Rotationsgeschwindigkeit größer werden. Achtung! Da es sich bei einem Eiskunstläufer nicht um eine Punktmasse handelt, kannst du hier unsere Formel nicht verwenden. Genau genommen ändert sich hier das Trägheitsmoment des Eiskunstläufers. Das Prinzip der Drehimpulserhaltung gilt allerdings auch in diesem Fall.
Das Video Drehimpuls kurz zusammengefasst
In diesem Video lernst du, was der Drehimpuls ist, wie du ihn berechnen kannst und wie er mit dem Impuls zusammenhängt. Neben Video und Text findest du auch Übungen zu diesem Thema.
Transkript Drehimpuls
Hallo und herzlich willkommen. Ich bin Niklas und wünsche euch nun viel Spaß mit meinem Video über den Drehimpuls. Ich beginne mein Video mit einer kurzen Wiederholung zum Impuls. Wie man im Namen schon erahnen kann, können wir über den Impuls einen Bezug zum Drehimpuls herstellen. Am Ende gibt es dann noch zwei Beispiele, die euch das Verständnis erleichtern werden. Kommen wir also nun zum Impuls. Der Impuls ist definiert als Masse mal Geschwindigkeit, P=mv, und hat die Einheit Kilogramm mal Meter pro Sekunde. Der Impuls im Raum ist eine konstante Größe der geradlinigen Bewegung, der sogenannten Translationsbewegung, sofern alle äußeren Kräfte vernachlässigt werden, also null sind. Eine äußere Kraft wäre zum Beispiel die Reibungskraft. Translationsbewegung oder Translation bedeutet, dass sich alle Punkte eines Körpers in dieselbe Richtung bewegen. So wie diese grüne Kugel, die sich ohne zu drehen, von links nach rechts bewegt. Nun ein kleines, anschauliches Beispiel zum Impuls. Wir haben hier eine nicht rotierende Kugel aus geeignetem Material mit einer Masse m_1, zum Beispiel zehn Kilogramm, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v_1 von links nach rechts bewegt. Ihr Impuls vor dem Stoß ist demnach m1v1. Trifft diese Kugel auf eine zweite, identische, ruhende Kugel, so gibt sie im Falle eines total elastischen Stoßes ihren gesamten Impuls an diese weiter. Nebenbei: Ein elastischer Stoß ist ein Stoß, bei welchem keine Energie durch Reibung oder Verformung des Materials verloren geht. Der Impuls der gestoßenen Kugel nach dem Stoß ist nun m2v2. Da der Impuls konstant beziehungsweise erhalten bleibt, muss der Impuls vor dem Stoß gleich dem Impuls nach dem Stoß sein. Wie man hier sieht, sind die Massen der Kugeln identisch, also m1 ist gleich m2. Daraus folgern wir, dass die Geschwindigkeit v1 gleich der Geschwindigkeit v2 sein muss. Trifft hingegen eine Kugel mit kleinerer Masse auf eine Größere und gibt ihren gesamten Impuls auf diese ab, so bewegt sich diese Kugel mit geringerer Geschwindigkeit fort. Kommen wir nun zum Drehimpuls und beginnen das Thema mit einem Beispiel, der Pirouette. Ähnlich wie beim Impuls, so ist auch der Drehimpuls eine erhaltende Größe, sofern keine äußeren Kräfte wirken. Der Drehimpuls ist eine erhaltende beziehungsweise konstante Größe der Rotations- oder Drehbewegung. In unserem Beispiel beginnt die Eiskunstläuferin sich mit ausgestreckten Armen zu drehen. Ohne äußere Kräfte wie zum Beispiel Reibung würde sie sich unendlich lange drehen. Zieht sie nun ihre Arme näher an ihren Körper, dreht sie sich nun plötzlich schneller, obwohl keine äußeren Kräfte gewirkt haben. Jedoch hat sich ihre Massenverteilung durch das Anziehen der Arme verändert, ist also näher an ihre Drehachse gerutscht, was folglich eine schnellere Drehgeschwindigkeit bewirkt. Dies ist eine Folge der Drehimpulserhaltung. Und wir erkennen hierbei, dass es nicht nur wie beim Impuls auf die Gesamtmasse, sondern auch auf die Massenverteilung ankommt. Für Punktmassen, die sich auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius r bewegen, können wir für den Drehimpuls eine Formel formulieren. Der Betrag des Drehimpuls L=mvr. Diese Formel kann auch umgeschrieben werden. Wir wissen, dass mv der Impuls P ist, und können somit für den Drehimpuls L=Pr schreiben. In dieser Skizze für eine kreisende Punktmasse mit Radius r, Masse m und Geschwindigkeit v soll euch klar werden, wie sich der Drehimpuls aus diesen Größen zusammensetzt. Also, mv*r ist nun der Drehimpuls L. Der Drehimpuls bekommt den großen Buchstaben L und ist definiert als Masse mal Geschwindigkeit mal einem Radius r. Die Einheit ist Kilogramm mal Meter Quadrat durch Sekunde. Wie der Impuls, so ist auch der Drehimpuls eine konstante Größe, sofern die äußeren Kräfte vernachlässigt werden. Im Gegensatz zum Impuls ist der Drehimpuls eine konstante Größe der Rotations- beziehungsweise Drehbewegung. Man sagt auch, der Drehimpuls L ist ein Maß für den Schwung der Rotation. Ein weiteres Beispiel finden wir bei den Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne. Wir nehmen zum Beispiel die Umlaufbahn der Erde um die Sonne. Die Erde umläuft die Sonne innerhalb eines Jahres genau einmal. Diese Umlaufbahn hat die Form einer Ellipse. Befindet sich die Erde in größerem Abstand zur Sonne auf dieser Ellipsenbahn, so wird sie sich dort langsamer bewegen, ihre Geschwindigkeit ist also kleiner, im Gegensatz zu Zeiten von kleineren Abständen. Dort ist ihre Geschwindigkeit größer. Auch dies ist eine Folge der Drehimpulserhaltung. In Bewegung sieht das ganze nun so aus. So, was haben wir heute gelernt? Der Impuls P ist eine konstante Größe der Translation, der Drehimpuls L ist eine konstante Größe der Rotation. So, ich hoffe nun, euch hat das Zuschauen Spaß gemacht. Ich sage ciao und bis zum nächsten Mal, euer Niklas.
Drehimpuls Übung
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Definiere die folgenden Begriffe zum Thema Impuls.
TippsBei welcher Bewegungsform spielt welcher Impuls eine entscheidende Rolle?
LösungIn der Physik beschreibt der Impuls das Produkt aus der Masse eines Körpers mit dessen Geschwindigkeit. Je schwerer ein Körper ist und je schneller er sich bewegt, desto größer ist sein Impuls. Mit dem Begriff Impuls ist die Translation verbunden, das heißt die Bewegung eines Körpers, bei der sich alle Punkte des Körpers in dieselbe Richtung bewegen. Oder anders ausgedrückt: Der Körper wird verschoben.
Dreht sich ein Körper hingegen um eine Drehachse, liegt eine Rotationsbewegung vor. Dann spielt der Drehimpuls eine entscheidende Rolle, um die Bewegung des Körpers zu beschreiben. Der Drehimpuls besteht ebenfalls aus dem Produkt von Körpermasse und -Geschwindigkeit, zusätzlich wird jedoch noch mit dem Abstand zur Drehachse multipliziert. Das heißt, je größer der Impuls eines Körpers ist und je weiter der Körper von der Drehachse entfernt ist, desto größer ist auch sein Drehimpuls.
Natürlich können Körper auch gleichzeitig Translations- und Rotationsbewegungen ausführen, dann überlagern sich die beiden Bewegungsformen.
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Nenne Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Impuls und Drehimpuls.
TippsDie Angaben zu Impuls und Drehimpuls kann man schnell verwechseln. Fülle daher am besten die Spalten nacheinander aus.
Eine Erhaltungsgröße bleibt immer konstant, solange von außen keine Kräfte auf den Körper wirken.
LösungIm Vergleich siehst du die wichtigsten Eigenschaften von Impuls und Drehimpuls. Wie aus den Begriffen schon deutlich wird, gibt es zwischen beiden viele Gemeinsamkeiten. Sie beschreiben zwar unterschiedliche Bewegungsformen (Translation bzw. Rotation), nutzen aber ähnliche Größen zur Beschreibung. Im Gegensatz zum Impuls ist beim Drehimpuls zusätzlich auch die Massenverteilung des Körpers wichtig. Daher spielt dort auch der Abstand des Körpers zur Drehachse eine wichtige Rolle.
Impuls- oder Drehimpulserhaltung gilt nur unter der Voraussetzung, dass keine äußere Kraft auf die Masse wirkt. Beim freien Fall beispielsweise wirkt die Gewichtskraft auf die fallende Masse und es gilt daher keine Impulserhaltung.
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Erkläre die Wirkung der Impulsübertrag bei totalelastischen Stößen.
TippsDer Impuls der zweiten Kugel nach dem Stoß ist so groß wie der Impuls der ersten Kugel vor dem Stoß. (Impulserhaltung)
Du kannst alle Impulsvarianten für jede Masse der zweiten Kugel berechnen oder über Verhältnisse argumentieren.
LösungAus der Impulserhaltung kann man erstmal ganz allgemein formulieren: Besitzt die zweite Kugel dieselbe Masse wie die erste Kugel, so bewegt sie sich nach dem Stoß mit derselben Geschwindigkeit wie die erste Kugel vor dem Stoß. (Beispiel a)
Genau genommen wird nur in einem solchen Fall der gesamte Impuls auf die zweite Kugel übertragen. Die anderen Fälle sind theoretische Betrachtungen und kommen in der Praxis nicht vor.
Ist die Masse der zweiten Kugel kleiner als die der ersten Kugel, bewegt sie sich nach dem Stoß schneller als die erste Kugel vor dem Stoß. (Beispiele b und d) Und umgekehrt. (Beispiele c und e)
Um genauere Zahlenwerte angeben zu können, sind Überlegungen mit Verhältnissen eine schnelle Argumentationshilfe: Ist die Masse der zweiten Kugel doppelt so groß wie die Masse der ersten Kugel, so besitzt Kugel 2 nach dem Stoß nur die halbe Geschwindigkeit wie Kugel 1 vor dem Stoß. (Beispiel e)
Oder beträgt die Masse nur ein Viertel, so ist die Geschwindigkeit viermal so hoch. (Beispiel b)
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Finde heraus, weshalb sich die Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne unterschiedlich schnell bewegt.
TippsArgumentiere mit der Formel zur Berechnung des Drehimpulses L.
Überlege dir, welche Größen in dieser Formel konstant bleiben und welche sich bei der Bewegung um die Sonne verändern (können).
LösungDer Drehimpuls der Erde $L=m\cdot v\cdot r$ bleibt bei der Bewegung um die Sonne immer gleich groß. Das folgt aus dem Drehimpulserhaltungssatz, da die Summe der äußeren Kräfte Null ist. Ebenso ist die Masse der Erde eine konstante Größe. Ändert sich nun der Abstand r der Erde zur Sonne, kann die Erhaltung des Drehimpulses nur durch eine Veränderung der Geschwindigkeit der Erde gewährleistet werden. Wird der Abstand größer, muss die Geschwindigkeit kleiner werden. Also bewegt sich die Erde langsamer, sobald sie sich auf ihrer Umlaufbahn weiter von der Sonne entfernt. Umgekehrt wird sie schneller, sobald sie sich der Sonne wieder annähert.
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Beschreibe, was bei einer Pirouettendrehung beim Eiskunstlaufen passiert.
TippsLiegen die Arme eng am Körper, befindet sich die Masse der Eiskunstläuferin näher an der Drehachse.
Streckt sie dann die Arme aus, verändert sich die Massenverteilung. Der Drehimpuls muss aber erhalten bleiben.
LösungBei der beschriebenen Drehbewegung wird die Eiskunstläuferin allmählich langsamer. Da keine äußeren Kräfte berücksichtigt werden, muss der Drehimpuls der Eiskunstläuferin erhalten bleiben. Ändert sich die Massenverteilung, nimmt daher die Geschwindigkeit umso mehr ab, je weiter sich die Masse (oder Teile davon wie die Arme) von der Drehachse entfernt.
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Erkläre, wie sich der Drehimpuls des Planeten Mars im Gedankenexperiment verändern würde.
TippsArgumentiere mit der Formel zur Berechnung des Drehimpulses L.
Um welchen Faktor ändern sich die Größen in der Formel bei diesem Gedankenexperiment jeweils?
LösungDer neue Drehimpuls in diesem Gedankenexperiment wäre dreimal höher als vorher. Die Verdopplung des Abstandes r wäre durch die Halbierung der Geschwindigkeit v kompensiert, so dass die Verdreifachung der Masse m den Faktor k = 3 als Resultat liefert.
Was ist der Impuls?
Impuls (Einführung)
Inelastischer Stoß
Zentraler und nicht-zentraler elastischer Stoß
Total elastischer Stoß
Elastischer und inelastischer Stoß (Übungsvideo)
Impulserhaltungssatz
Impulserhaltung in mehreren Dimensionen
Wie funktioniert eine Rakete? Der Raketenantrieb
Raketengleichung
Drehimpuls
Drehmoment (Übungsvideo)
Drehmoment
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Du hast recht, bei der Eiskunstläuferin handelt es sich um die Rotation eines starren Körpers. Das Video handelt allerdings nicht nur von Punktmassen sondern vom Drehimpuls, und der spielt ja in beiden Fällen eine Rolle. Die Punktmasse auf der Kreisbahn ist auch nur ein besonders einfacher Spezialfall eines starren Körpers mit dem Trägheitsmoment J=m*r^2. Zusammen mit der Beziehung zwischen Bahngeschwindigkeit und Kreisfrequenz omega=v/r eingesetzt in die Drehimpulsformel für den starren Körper L=J*omega ergibt die Punktmassenformel L=m*v*r!
Du siehst also, ganz fehl am Platz ist das Beispiel nicht, ich kann deine Verwirrung aber verstehen. Vielleicht hätte in dem Video noch deutlicher betont werden sollen das die angegebene Formel nur für Punktmassen auf einer Kreisbahngilt.
Vielen Dank, ich glaube, ich hab das jetzt verstanden. Es geht in dem Video eigentlich um Punktmassen, für die die Formel L=mvr gilt. Ich finde im Nachhinein das Beispiel mit der Pirouette etwas verwirrend, denn bei der Eiskunstläuferin handelt es sich um die Rotation starrer Körper um eine Achse, stimmt's? Da gilt eine andere Formel, nämlich L= J*omega. Richtig?
@Elisbeth1: Die Formel L=m*r*v gilt NICHT für die Eiskunstläuferin. Sie gilt nur für einen Massenpunkt der Masse m der sich mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit Radius r bewegt. Die Eiskunstläuferin ist vielleicht dünn wie ein Strich, aber ich würde sie trotzdem nicht als Massenpunkt bezeichnen :-). Also, was ändert sich bei der Eiskunstläuferin? Vernachlässigen wir die Reibung ist ihr Drehimpuls erhalten, L=konst., dies ist die Kernaussage des Videos. Ihre Masse ändert sich auch nicht - nur weil sie ihre Arme anzieht wird sie ja nicht leichter.
Aber ihre Massenverteilung ändert sich, sie rückt durch das Anziehen der Arme näher an die Drehachse, als Folge erhöht sich ihre Drehgeschwindigkeit. Der Drehimpuls der Eiskunstläuferin hängt also von der Massenverteilung und der Drehgeschwindigkeit der Eiskunstläuferin ab. Ändert man eine der beiden Größen, so muss sich die Andere in dem Maße ändern, das der Drehimpuls konstant bleibt. Leider kann ich dir keine Formel hierzu angeben, denn die Größe, die die Massenverteilung beschreibt - das Trägheitsmoment, kann nicht ohne Integralrechnung definiert werden, und Integralrechung wirst du erst in der 11. Klasse in Mathematik lernen....
Falls du es aber nicht abwarten kannst, dann schau dir doch mal diese Videos an:
http://www.sofatutor.com/physik/videos/das-traegheitsmoment-j
http://www.sofatutor.com/physik/videos/der-drehimpuls-l
Glg Nikolai
Ich verstehe das mit der Massenverteilung nicht ganz. Wenn die Eiskunstläuferin die Arme an den Körper zieht: was ändert sich dann: m oder r, oder beides? Bleibt L in beiden Fällen gleich? Die Geschwindigkeit ändert sich ja auf jeden Fall. Aber eigentlich ändern sich doch alle Größen: m und r in Bezug auf die Drehachse und v und L?
Vielen Dank!