Impulserhaltungssatz
Beschreibung Impulserhaltungssatz
Der Impulserhaltungssatz in der Physik
Hast du dich schon einmal gefragt, wie professionelle Billardspieler so genau abschätzen können, in welche Richtung sich angestoßene Kugeln bewegen? Sie nutzen dazu die Gesetzmäßigkeit des Impulsübertrages. Denn für den Impuls gilt in abgeschlossenen Systemen die Impulserhaltung, die im Impulserhaltungssatz formuliert ist. Mit diesem Satz wollen wir uns im Folgenden genauer beschäftigen.
Impulserhaltungssatz – Definition
Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Gesamtimpuls in einem abgeschlossenen System erhalten bleibt, also konstant ist.
Als abgeschlossenes System bezeichnet man ein System, das keine Energie mit seiner Umgebung austauscht. Wir können beispielsweise alle Kugeln eines Billardtisches als abgeschlossenes System betrachten, solange niemand von außen eine Kugel anstößt. In dem Moment, in dem beispielsweise ein Spieler mit einem Queue eine Kugel anstößt, kann das System nicht mehr als abgeschlossenes System betrachtet werden – der Spieler führt von außen Energie zu. Nach dem Stoß, wenn sich eine der Kugeln bewegt, können wir die Kugeln allerdings wieder als abgeschlossenes System betrachten.
Mathematisch können wir den Impulserhaltungssatz für ein System mit $n$ Körpern folgendermaßen formulieren:
Impulserhaltungssatz – Formel
$\vec{P} = \overrightarrow{p_1} + \overrightarrow{p_2} + \overrightarrow{p_3} + … + \overrightarrow{p_n} = const.$
Mit $\vec{P}$ bezeichnen wir den Gesamtimpuls. Die Impulse $ \overrightarrow{p_1}, \overrightarrow{p_2}, \overrightarrow{p_3}$ und so weiter sind die Impulse der einzelnen Körper. Diese einzelnen Impulse können sich in einem abgeschlossenen System ändern – sie ändern sich aber immer so, dass der Gesamtimpuls $\vec{P}$ gleich bleibt.
Um den Impulserhaltungssatz etwas anschaulicher zu machen, betrachten wir ein einfaches Beispiel.
Impulserhaltungssatz – Beispiel
Wir betrachten eine Skateboardfahrerin mit einer Masse von $80~\text{kg}$, die auf einem Skateboard steht und einen Medizinball mit einer Masse von $10~\text{kg}$ in den Händen hält. Wir können das System aus Skateboardfahrerin und Medizinball als abgeschlossenes System betrachten – der Gesamtimpuls ist also konstant. Zu Beginn ist die Geschwindigkeit von Skateboardfahrerin und Medizinball jeweils gleich Null.
Es gilt also:
$P= p_{Skate} + p_{Ball} = m_{Skate} \cdot v_{Skate} + m_{Ball} \cdot v_{Ball} $
$\Rightarrow 80~\text{kg} \cdot 0 + 10~\text{kg} \cdot 0 = 0$
Wir haben hier keine Vektorpfeile über die Impulse geschrieben, weil wir das Problem in nur einer Dimension betrachten.
Die Skateboardfahrerin wirft nun den Ball nach links. Der Ball fliegt mit einer Geschwindigkeit von
$p_{Ball} =10~\text{kg} \cdot 10~\frac{\text{m}}{\text{s}} = 100~\text{Ns}$
Da wir ein abgeschlossenes System betrachten, muss der Gesamtimpuls allerdings immer noch Null betragen. Das bedeutet, dass sich auch der Impuls der Skateboardfahrerin geändert haben muss. Er muss genau dem Impuls des Balls entgegengesetzt sein:
$P = p_{Skate} + p_{Ball} = 0 \Rightarrow p_{Skate} = - p_{Ball}$
Die Skateboardfahrerin muss also einen Impuls von $- 100~\text{Ns}$ besitzen. Das Minuszeichen gibt dabei an, dass sie sich in die genau entgegengesetzte Richtung bewegt. Durch Einsetzen können wir die Geschwindigkeit der Skateboardfahrerin berechnen:
$p_{Skate} = m_{Skate} \cdot v_{Skate} = 80~\text{kg} \cdot v_{Skate} = - 100~\text{Ns}$
$\Rightarrow v_{Skate} = - \frac{100~\text{Ns}}{ 80~\text{kg}} = -1,25~\frac{\text{m}}{\text{s}}$
Im letzten Schritt haben wir die Definition für das Newton eingesetzt und gekürzt. Die Skateboardfahrerin bewegt sich nach dem Wurf des Balls also mit einer Geschwindigkeit von $1,25~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ in die dem Ball entgegengesetzte Richtung.
Dieses Video
In diesem Video lernst du, was der Impulserhaltungssatz besagt und wie du ihn anwenden kannst. Du lernst außerdem ein einfaches Beispiel kennen. Zum Thema Impulserhaltungssatz findest du neben Text und Video auch Aufgaben, mit denen du dein Wissen vertiefen kannst.
Transkript Impulserhaltungssatz
Hallo und herzlich willkommen zu "Physik mit Kalle", wir beschäftigen uns heute mit einem sehr wichtigen Thema aus der Mechanik, nämlich dem Impulserhaltungssatz. Für dieses Video solltet ihr bereits unbedingt wissen, was der Impuls ist. Wir lernen heute: Was der Impulserhaltungssatz besagt, was Stöße sind und welche Arten ich unterscheide, und zum Schluss rechnen wir dazu noch ein kleines Beispiel. Der Impulserhaltungssatz ist eine der wichtigsten Regeln der ganzen Physik. Er besagt, die Summe aller Impulse in einem abgeschlossenen System ist konstant. Unter einem abgeschlossenen System versteht man ein System, das keine Wechselwirkung mit der Außenwelt hat. Das heißt, dass auch keine Energie an die Außenwelt abgegeben, oder von dort aufgenommen werden kann. Die Formel des Impulserhaltungssatzes ist relativ einfach. Der Gesamtimpuls, der die Summe aller Impulse ist, wird von uns mit dem Buchstaben groß P gekennzeichnet, und er ist gleich p1+p2+p3... usw. bis pn. Dieser Gesamtimpuls ist nun konstant. Das heißt, während des gesamten Vorganges ändert er sich nicht. Ein einfaches Beispiel wären 2 Billardkugeln. Man stößt die eine mit dem Stab an, sie rollt auf die 2. Kugel zu, trifft sie und setzt sie damit in Bewegung. Die Summe der beiden Impulse, also m1×v1+m2×v2, ist vor und nach dem Stoß die gleiche. Stöße sind übrigens ein beliebtes Anwendungsgebiet für den Impulserhaltungssatz. Deswegen sehen wir uns im nächsten Kapitel mal an, zwischen welchen Arten von Stoß ich unterscheiden kann. Hier seht ihr eine Möglichkeit eines Stoßvorganges. Eine Kugel kommt ins Rollen, stößt eine 2. Kugel an, die dadurch ebenfalls in Bewegung gerät. Das ist ganz ähnlich wie unser Beispiel gerad mit den Billardkugeln. Man nennt so einen Stoß einen elastischen Stoß. Sein Merkmal ist, dass die beiden Stoßpartner sich nach dem Stoß wieder trennen. Für die zweite Sorte Stoß muss ich jetzt ein wenig tricksen. Stellt euch vor ich nehme 2 Kugeln, und schmiere sie mit einer sehr klebrigen Substanz ein. Dann nehme ich einen sehr rutschigen Untergrund und schlittere die eine Kugel in Richtung der Zweiten. Wenn sie aufeinandertreffen, werden sie sich verbinden und gemeinsam weiter rutschen. Dies nennt man einen unelastischen Stoß, denn bei solch einem Stoß, bleiben die Stoßpartner nach dem Stoß verbunden. Im letzten Kapitel wollen wir nun ein kleines Beispiel dazu rechnen. Stellen wir uns folgende Aufgabe vor. Ich fahre mit einem Medizinball auf einem Skateboard. Wie viel schneller werde ich (80 kg) wenn ich den Ball (10 kg) mit der Geschwindigkeit v=10m/s hinter mich werfe? Wir malen natürlich erst mal eine Skizze, da wären mal ein Skateboard, ich und ein Ball. Der Ball bekommt die Geschwindigkeit 10 m/s. Die Formel, die ich aufstellen kann, lautet: der Gesamtimpuls groß P=m1×v1+m2×v2. Damit das Ganze ein wenig einfacher wird, beobachte ich es in meinem Bezugssystem. Das heißt die Geschwindigkeit, mit der ich fahre, ist erst mal egal.V1 meine Geschwindigkeit und v2, die Geschwindigkeit des Balles, sind vor dem Abwurf 0. M1 ist dann meine Masse und m2 die Masse des Balls. Die Angabe sagt uns ja schon, dass ich schneller werde durch den Abwurf des Balles. Das heißt, v-ich zeigt in die entgegengesetzte Richtung der Geschwindigkeit v des Balles. Das werden wir aber auch gleich rechnerisch überprüfen. So wie sieht das Ganze denn nun aus, nach dem Wurf. Da v1=v2=0 war, war der Gesamtimpuls vor dem Wurf P=0. Das muss er also auch nach dem Wurf wieder sein. Deshalb kann ich schreiben, meine Masse mal meine Geschwindigkeit, m1×v ich +m2×10m/s=0. Das ganze stelle ich jetzt nach meiner Geschwindigkeit um. V ich= (100 kg×m/s)/80 kg. Das ganze stelle ich nun nach meiner Geschwindigkeit um, indem ich m2×v2 abziehe, und durch meine Masse teile. Dadurch erhalte ich ein minus, es steht da V ich= (-100 kg×m/s)/80 kg. Wie ihr seht, kürzt sich kg heraus und übrig bleibt, v ich=-1,25 m/s. Das Minus zeigt uns auch, ich fahre also in die entgegengesetzte Richtung. Mein Antwortsatz lautet also: Nach dem Abwurf bewege ich mich mit 1,25 m/s in die entgegengesetzte Richtung fort. Wir wollen noch mal wiederholen was wir heute gelernt haben. In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls, also die Summe aller Impulse, konstant. Die Formel dazu lautet: P=p1+p2+p3+...pn=konstant. Oft betrachtet man nur 2 Körper. Die Formel vereinfacht sich dann zu m1×v1+m2×v2=konstant. Von einem elastischen Stoß spricht man, wenn sich die Stoßpartner nach dem Stoß wieder trennen. Bei einem unelastischen Stoß dagegen bleiben die Stoßpartner nach dem Stoß weiterhin verbunden. So das war's schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle
Impulserhaltungssatz Übung
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Nenne den Impulserhaltungssatz.
TippsKennst du bereits andere Erhaltungssätze der Physik?
Was ist ein System in der Physik?
Beginne mit den Begriffen, bei denen du dir sicher bist.
LösungBei allen Erhaltungssätzen betrachtet man abgeschlossene Systeme. Das heißt, dass es keinen Einfluss von außen auf den Inhalt des Systems gibt. Wo und wie die Grenzen zum System gelegt werden, das kannst du unter Beachtung dieser Einschränkung frei wählen.
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Beschreibe die besondere Eigenschaft eines elastischen Stoßes.
TippsHast du den Begriff elastisch im Alltag schon mal gehört?
LösungRein elastische Stöße sind eigentlich nicht realisierbar. Es wird immer etwas kinetische Energie in Verformungsarbeit oder in Wärme umgewandelt, außerdem tritt Reibung auf. Dennoch vernachlässigt man diese Einflüsse in der Regel und nutzt bei Experimenten zu diesem Thema beispielsweise Luftkissenfahrbahnen, um die Reibung zu minimieren.
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Berechne die Masse des Stoßpartners.
TippsWas würde passieren, wenn beide Kugeln die gleiche Masse besitzen?
Stelle jeweils den Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß auf.
LösungAm besten erinnerst du dich zuerst daran, was passiert, wenn zwei gleiche Massen zusammenstoßen, von denen die eine ruht. Dann gibt die bewegte Masse ihren gesamten Impuls an die ruhende Masse ab und bewegt sich daher hinterher nicht mehr.
Wäre die bewegte Masse schwerer als die ruhende, dann würden hinterher beide in die gleiche Richtung rollen. Das ist aber nicht zu verwechseln mit dem Zusammenkleben bei einem unelastischen Stoß.
An den verschiedenen Vorzeichen von $v_1$ und $v_2$ nach dem Stoß kannst du erkennen, dass sie unterschiedliche Bewegungsrichtungen besitzen und daher die grüne Masse schwerer sein muss als die schwarze.
Nun müssen wir nur noch den genauen Betrag der Masse bestimmen. Da wir im Folgenden nur mit Beträgen arbeiten und die Geschwindigkeiten in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen, können wir die Vektorpfeile weglassen:
$\begin{align} P_{\text{vor}}&=P_{\text{nach}} \qquad \qquad \,~ \qquad \qquad \qquad \text{Impulserhaltung} \\ p_{\text{vor},1}+p_{\text{vor},2}&=p_{\text{nach},1}+p_{\text{nach},2} \qquad \qquad \qquad \, | ~p=m\cdot v\\ m_1\cdot v_{\text{vor},1}+m_2\cdot v_{\text{vor},2}&=m_1\cdot v_{\text{nach},1}+m_2\cdot v_{\text{nach},2} \qquad | ~v_{\text{vor},2}=0\\ m_1\cdot v_{\text{vor},1}+m_2\cdot 0 &=m_1\cdot v_{\text{nach},1}+m_2\cdot v_{\text{nach},2} \qquad |-m_1\cdot v_{\text{nach},1} \quad |:v_{\text{nach},2}\\ m_2&= \frac{m_1\cdot v_{\text{vor},1}-m_1\cdot v_{\text{nach},1}}{ v_{\text{nach},2}}\\ m_2&= \frac{m_1\cdot( v_{\text{vor},1}- v_{\text{nach},1})}{ v_{\text{nach},2}} \qquad \quad ~~ |~\text{einsetzen}\\ m_2&= \frac{100\,\text{g}\cdot (5\, \frac{\text{cm}}{\text{s}}+2,5\,\frac{\text{cm}}{\text{s}})}{ 2,5\,\frac{\text{cm}}{\text{s}}}\\ m_2&=300\,\text{g} \end{align}$
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Entscheide dich, welche Art von Stößen in dem dargestellten Kugelstoßpendel stattfinden und welche Größen erhalten werden.
TippsErinnere dich daran, was der Unterschied zwischen einem elastischen und einem inelastischen Stoß ist.
Wir vernachlässigen bei Versuchen meist die Betrachtung der Reibungsverluste.
LösungDas Kugelstoßpendel ist eines der beeindruckendsten Experimente zum Thema Impuls.
Werden beispielsweise zwei Kugeln ausgelenkt und losgelassen, dann werden auf der anderen Seite des Pendels ebenfalls zwei Kugeln abgestoßen. Die Kugeln in der Mitte bleiben jedoch annähernd in Ruhe.
Daran dass die Kugeln beim Stoß nicht zusammenkleben, erkennst du, dass ein elastischer Stoß stattfindet.
Auch wenn ein kleiner Teil der Bewegungsenergie durch Reibung verloren geht und bei dem Zusammenstoß in Wärmeenergie umgewandelt wird, gehen wir bei elastischen Stößen wie diesem idealisiert von Energie- und Impulserhaltung aus.
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Gib die Formel an, die die Impulserhaltung beim Stoß zweier Billiardkugeln beschreibt.
TippsWie lautet der Impulserhaltungssatz?
Der Impuls $p$ ist definiert als Produkt aus Masse $m$ und Geschwindigkeit $\vec v$.
LösungDen Gesamtimpuls kann man als Summe seiner Einzelimpulse schreiben, wobei jeder einzelne Impuls als Produkt aus Masse $m$ und Geschwindigkeit $\vec v$ darstellbar ist. Beachte, dass sowohl Geschwindigkeit als auch Impuls Vektorgrößen sind.
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Untersuche, ob und falls ja wie sich Impuls und Geschwindigkeit eines Güterwaggons verändern, der Ladung verliert.
TippsWie ist der Impuls definiert?
Überlege dir, welche Eigenschaften die herausfallende Ladung besitzt.
LösungDie Ladung, die den Waggon verlässt, hat anfangs die gleiche Geschwindigkeit wie der Zug. Daher trägt sie auch einen Impuls. Aufgrund der Impulserhaltung folgt daraus, dass der Impuls des Waggons mit geringerer Ladung kleiner sein muss.
Die Geschwindigkeit hingegen bleibt gleich, da der Impuls sich nur aufgrund der Massenabnahme verändert. Da die Ladung nur herausfällt, bewirkt sie keine Kraft auf den Waggon. Dies ist anders, wenn wir uns von einem Gegenstand abstoßen.
Was ist der Impuls?
Impuls (Einführung)
Inelastischer Stoß
Zentrale und nichtzentraler elastischer Stoß
Total elastischer Stoß
Elastischer und inelastischer Stoß (Übungsvideo)
Impulserhaltungssatz
Impulserhaltung in mehreren Dimensionen
Wie funktioniert eine Rakete? Der Raketenantrieb
Raketengleichung
Drehimpuls
Drehmoment (Übungsvideo)
Drehmoment
10.830
Lernvideos
44.254
Übungen
38.898
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11 Kommentare
Bei dem Rechenbeispiel wird ZWEIMAL nach V_ich umgestellt/aufgelöst: das erste mal ist falsch, das zweite mal (mit Minus) stimmt dann. Das erste sollte aus dem Video rausgeschnitten werden!
In der Angabe steht, dass di Geschwindigkeiten v1(nach)= -2,5 m/s und v2(nach)= 2,5 m/s betragen. Wieso wird beim Lösungsvorschlag dann plötzlich mit 2,5 cm/s gerechnet?????
@Sarah:
In dem Rechenbeispiel mit dem Ball steht dort nicht 100kg sondern 100 kg*m/s.
Das kommt durch die Umstellung zustande.
Nach der Umstellung steht auf dem Bruchstrich:
Masse Ball * Geschwindigkkeit Ball: 10kg * 10m/s --> 100 kg*m/s
Ich hoffe deine Frage ist damt beantwortet.
LG Karsten
Hallo, warum wird in der Beispielrechnung mit 100kg gerechnet? Masse ich + Masse Ball = 90Kg
@Simonreimers: Worin hast du 10l Wasser gefüllt? Ich hoffe, deine Umgebung ist noch trocken :-)
Wichtig bei dem Versuch ist, dass das Skateboard gut rollen kann und du den Ball (oder was du verwendest) auch kräftig von dir weg wirfst. Du siehst ja in der Rechnung, dass wenn Kalle den Ball mit 10 m/s wegstößt, seine Geschwindigkeit in die andere Richtung lediglich -1,25 m/s beträgt. Er ist also viel langsamer. Deshalb muss man den Ball schon kräftig von sich wegstoßen.
LG, Max