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Drehimpuls als Vektor 08:48 min

Textversion des Videos

Transkript Drehimpuls als Vektor

Hallo und herzlich willkommen. Beim Eiskunstlauf gibt es Figuren, bei denen sich die Eisläufer erst ganz langsam drehen und dann immer schneller werden, ohne sich irgendwo abzustoßen oder Schwung aufzunehmen. Alles was sie machen, ist, ihre Arme an den Körper anzulegen. Aber wie funktioniert das? Die Antwort auf diese Frage erhältst Du in diesem Video. Hier dreht sich nämlich alles um den Drehimpuls als Vektor. Und der Drehimpuls ist der physikalische Grund, warum solche Drehungen möglich sind. Um zu verstehen, was der Drehimpuls ist und welche Eigenschaften er hat, werden wir zuerst den Impuls der Translation kurz wiederholen. Danach wirst Du sehen, was der Drehimpuls ist. Anschließend wirst Du lernen, was man unter Drehimpulserhaltung versteht und wie Eiskunstläufer sich diese Eigenschaft zu Nutze machen. Für das Verständnis dieses Videos ist es hilfreich, wenn Du schon ein bisschen vertraut bist mit Rotationsbewegungen und dem Trägheitsmoment. Und damit kann es auch schon losgehen: Unter Translation versteht man eine Bewegung, bei der sich alle Teile eines Körpers mit derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen. Wenn ein Auto fährt, ist das zum Beispiel eine Translation. Ein Körper, der eine Translation ausführt, wird zum einen über seine Masse m in der Einheit kg beschrieben. Sie gibt den Widerstand eines Körpers gegenüber einer Änderung seiner Translationsbewegung an. Zum anderen wird er über seine Geschwindigkeit v mit Einheit m/s beschrieben. Sie gibt an, in welcher Zeit welche Strecken zurückgelegt werden. Die Geschwindigkeit ist dabei ein Vektor mit Betrag und Richtung. Der Impuls p eines sich bewegenden Körpers ist gleich Produkt aus Masse und Geschwindigkeit mit der Einheit (kgm/s). Er ist wie die Geschwindigkeit ein Vektor mit Betrag und Richtung. Der Impuls beschreibt die Wucht eines sich bewegenden Körpers. Er greift wie die Geschwindigkeit im Schwerpunkt S des sich bewegenden Körpers an und zeigt immer in die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit. Außerdem ist es noch wichtig zu wissen, was man unter Impulserhaltung versteht. Der Gesamtimpuls bleibt erhalten, das heißt, er ändert sich nur, wenn eine äußere Kraft wirkt. Bei Rotationsbewegungen gibt es einige Analogien zu Translationsbewegungen, auch dem Impuls. Welche das sind, wirst Du jetzt sehen. Im Gegensatz zur Translation gibt es noch die Rotation. Ein Beispiel für eine Rotation ist eine rotierende Scheibe. Bei einer Rotation rotiert ein starrer Körper um eine Rotationsachse. Es bewegen sich nicht alle Teile des Körpers in dieselbe Richtung. Und auch die Beträge der Geschwindigkeit sind unterschiedlich. Die Geschwindigkeiten von zwei Massepunkten, die auf gegenüberliegenden Seiten der Scheibe liegen, zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Außerdem nimmt der Betrag der Geschwindigkeit der Massepunkte von innen nach außen zu. Eine Rotationsbewegung wird zum Einen beschrieben über das Trägheitsmoment J mit der Einheit kgm2. Es gibt den Widerstand eines Körpers gegenüber seiner Rotationsbewegung an. Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt davon ab, um welche Achse man ihn dreht. Es hat also jeder Körper mehrere Trägheitsmomente, während er nur eine Masse hat. Zum anderen wird die Rotation beschrieben über die Winkelgeschwindigkeit Omega. Die Winkelgeschwindigkeit ist dabei ein Vektor mit Betrag und Richtung. Der Betrag gibt an, in welcher Zeit welcher Winkel überstrichen wird. Ihre Einheit ist rad/s. Im Gegensatz zum Geschwindigkeitsbetrag der einzelnen Massepunkte nimmt der Betrag der Winkelgeschwindigkeit bei einer Rotation von innen nach außen nicht zu. Die Richtung der Winkelgeschwindigkeit zeigt immer entlang der Rotationsachse. Sie kann also nach oben oder nach unten zeigen. Um herauszufinden, in welche der beiden Richtungen sie zeigt, wendet man die Rechte-Hand-Regel an. Dabei zeigen die Finger in Richtung der Drehbewegung. Dann spreizt man den Daumen senkrecht nach oben ab. Die Winkelgeschwindigkeit zeigt dann in die gleiche Richtung wie der Daumen, in unserem Fall also nach oben. Würde sich die Scheibe in eine andere Richtung drehen, so würde die Winkelgeschwindigkeit nach unten zeigen. Der Drehimpuls L eines rotierenden Körpers ergibt sich aus dem Produkt von Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit. Seine Einheit ist (kgm2)/s. Er ist ein Maß für den Schwung der Rotation. Wie die Winkelgeschwindigkeit ist auch der Drehimpuls eine vektorielle Größe, bestehend aus Richtung und Betrag. Er zeigt immer in die gleiche Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit. Das heißt, seine Richtung ist durch Drehachse und Drehrichtung bestimmt. Man kann die Richtung des Drehimpulses auch mit der Rechte-Hand-Regel bestimmen. Für unser Beispiel mit der rotierenden Scheibe würde der Drehimpuls also nach oben zeigen. Betrachtet man die Formel für den Drehimpuls, so fallen einige Ähnlichkeiten zu dem Impuls der Translation ins Auge. Der Drehimpuls besteht aus dem Produkt einer Größe, die die Bewegung hindert und einer Größe, die die Schnelligkeit der Bewegung angibt. Genau gleich wird der Impuls der Translation über die Trägheit der Masse und die Geschwindigkeit beschrieben. Der Drehimpuls ist ein Maß für den Schwung der Rotation, der Impuls der Translation ein Maß für die Wucht einer geradlinigen Bewegung. Aber wie schafft es der Eiskunstläufer, sich so schnell zu drehen? Das lernst Du jetzt. Wie der Impuls ist auch der Drehimpuls erhalten. Um den Drehimpuls zu ändern, muss ein Drehmoment anliegen. Beim Impuls war es eine äußere Kraft, die anliegen musste. Wie das funktioniert, siehst Du jetzt am Beispiel eines Eiskunstläufers. Am Anfang der Drehung hält der Eiskunstläufer die Arme weit vom Körper entfernt. So hat er ein großes Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit ist klein. Es gilt ja L = J * Omega. Nimmt er die Arme näher an die Rotationsachse, so verringert sich sein Trägheitsmoment. Da der Drehimpuls aber gleich bleibt, erhöht sich die Winkelgeschwindigkeit. Der Eiskunstläufer dreht sich pro Zeiteinheit um einen größeren Winkel, sprich, er dreht sich schneller. Dabei nimmt man an, dass der Eiskunstläufer sich reibungsfrei bewegt. Mit Reibung würde sich sein Drehimpuls ändern, da die Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit abnehmen würde. Bei einer Pirouette ist also der Betrag des Drehimpulses erhalten. Da er aber ein Vektor ist, gilt der Erhaltungssatz auch für die Richtung. Das kann man sich an einem Kreisel klar machen. Ein Kreisel dreht sich um eine feste Drehachse. Der Drehimpuls zeigt nach oben. Um die Richtung des Drehimpulses zu ändern, müsste ein Drehmoment wirken. Da aber kein Drehmoment anliegt, ändert sich die Richtung des Drehimpulses nicht. Der Kreisel bleibt aufrecht. Allerdings nimmt die Winkelgeschwindigkeit auf Grund von Reibung im Laufe der Zeit ab. Und mit ihr auch der Drehimpuls. Irgendwann ist dann der Drehimpuls so klein, dass auch geringe Drehmomente ausreichen, um den Kreisel umkippen zu lassen. So, was hast Du eben gelernt: Der Impuls p eines Körpers, der eine Translation durchführt, ist das Produkt der Masse m und der Geschwindigkeit v. Er ist ein Vektor und zeigt in die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit. Man könnte den Impuls auch als "Wucht" der sich bewegenden Masse bezeichnen. Der Drehimpuls einer rotierenden Masse ist das Produkt aus dem Trägheitsmoment J und der Winkelgeschwindigkeit Omega. Er ist ein Vektor und zeigt in die gleiche Richtung wie Omega. Der Drehimpuls ist ein Maß für den "Schwung" der Rotation. Es ist zu erkennen, dass es durchaus Ähnlichkeiten zwischen Impuls und Drehimpuls gibt. Das war es dann zum Thema Drehimpuls als Vektor. Ich hoffe, Du hast etwas gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

1 Kommentar
  1. Denke mal, dass im Video Drehimpuls als Vektor bei der Angabe der Einheiten zu L ein Fehler enthalten ist. Die Einheit wir beschrieben mit kgm2 / s2 . Sollte da nicht stehen :kgm2/s ?

    Von Uk1966, vor etwa 5 Jahren

Drehimpuls als Vektor Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehimpuls als Vektor kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere die Begriffe Translation und Impuls.

    Tipps

    Die Newton'sche Kraft ist $F=m\cdot a$.

    Lösung

    Um sich an die Rotation heranzutasten, fangen wir mit der Translation an.

    Denn diese beiden Bewegungen sind sich sehr ähnlich, wobei die Translation leichter verständlich ist.

    Denn bei der Translation bewegen sich alle Teile eines Körpers mit derselben Geschwindigkeit in die gleiche Richtung.

    Der bewegte Körper hat dann auch einen Impuls,

    $p=m\cdot v$,

    also Masse mal Geschwindigkeit. Dieser Impuls bleibt ohne äußere Kräfte konstant. Das nennt man Impulserhaltung.

  • Gib an, welche Aussagen über die Translation, Rotation und das Trägheitsmoment korrekt sind.

    Tipps

    Die Einheit des Impuls ist $\dfrac{\text{kgm}^2}{\text{s}}$.

    Die Einheit des Trägheitsmoments ist $\text{kgm}^2$.

    Lösung

    Hier wurden ein paar Eigenschaften des Trägheitsmoments, der Rotation und der Translation zusammengefasst:

    • Bei der Translation bewegen sich alle Teile eines Körpers mit gleicher Geschwindigkeit und Richtung.
    • Der Impuls der Translation ist $p=m\cdot v$ und zeigt immer in Richtung der Geschwindigkeit.
    • Für die Rotation ist das Trägheitsmoment wichtig. Es ist gegeben durch $J=m\cdot r^2$.
    • Die zweite Größe für die Rotation ist die Winkelgeschwindigkeit. Sie gibt die überstrichenen Winkel pro Zeit an. Mit der Rechten-Hand-Regel kann man herausfinden, in welche Richtung sie zeigt. Das Drehmoment zeigt in die gleiche Richtung.

  • Berechne die Bahngeschwindigkeit und den Bahndrehimpuls.

    Tipps

    Eine ganze Umdrehung entspricht $360^\circ$, also $2\pi$.

    Die Periodendauer ist die Zeit für eine Umdrehung.

    Lösung

    Der Drehimpuls lautet:

    $L=J\cdot \omega=(0,5~\text{kg}\cdot 0,3^2~\text{m}^2)\cdot(\dfrac{2\pi}{T})$ .

    Bei 2 Umdrehungen pro Sekunde dauert eine Umdrehung 0,5 Sekunden. Die Periodendauer $T$ lautet also

    $T=0,5~\text{s}$.

    Also ist der Drehimpuls:

    $L=J\cdot \omega=(0,5~\text{kg}\cdot 0,3^2~\text{m}^2)\cdot(\frac{2\pi}{0,5~\text{s}})=0,6~\frac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{s}}$.

    Die Bahngeschwindigkeit:

    $\omega\cdot r_1=\dfrac{2\pi}{0,5~\text{s}}\cdot 0,3~\text{m}=3,8~\dfrac{m}{\text{s}}$.

    Ist der Faden nur noch 10 Zentimeter lang, so verändert sich die Bahngeschwindigkeit:

    $v_2=\omega\cdot r_2=\dfrac{2\pi}{T}\cdot 0,1~\text{m}=1,26~\dfrac{m}{\text{s}}$.

    Die Periodendauer bleibt gleich, da die Winkelgeschwindigkeit nicht vom Radius abhängig ist.

  • Definiere die Begriffe der Rotation und des Drehimpulses.

    Tipps

    Überlege, welche Größen veränderlich und welche im Normalfall konstant sind.

    Lösung

    Kommen wir nun zur Rotation. Stellen wir uns dazu vor: Ein Massepunkt liegt auf einer rotierenden Scheibe. Weiter außen hat er eine größere Geschwindigkeit als näher an der Rotationsachse. Ist der Massepunkt besonders schwer, ist das Trägheitsmoment umso größer. Das hat zur Folge, dass das Objekt einer Bewegungsänderung stärker entgegenwirkt.

    Die zweite Größe ist die Winkelgeschwindigkeit. Sie gibt die überstrichenen Winkel pro Zeit an und ist nicht von der Entfernung zur Rotationsachse abhängig. Aus beiden zusammen wird dann der Drehimpuls:

    $L=J\cdot\omega$.

  • Erkläre die Drehimpulserhaltung bei einer Pirouette.

    Tipps

    $L=J\cdot\omega$. Denke dazu an die Drehimpulserhaltung und den Zusammenhang zwischen Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit.

    Lösung

    Der Drehimpuls sorgt dafür, dass ein Kreisel stehen bleibt, statt einfach umzukippen. Der Drehimpuls ist sozusagen der Schwung der Rotation analog zum Impuls bei der Translation.

    • Ein Tänzer vergrößert sein Trägheitsmoment während einer Pirouette, indem er einen Teil seiner Masse weiter weg von seiner Rotationsachse bringt. Seine Winkelgeschwindigkeit wird durch die Drehimpulserhaltung kleiner, das heißt, er dreht sich langsamer.
    • Andersherum kann er sich schlank machen und seine Masse um die Rotationsachse zentrieren. Damit minimiert er sein Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit wird aufgrund der Drehimpulserhaltung größer.
    Ohne äußere Kräfte bliebe der Drehimpuls erhalten und der Tänzer würde sich ewig drehen. Das nennt man Drehimpulserhaltung. In der Realität ist der Kreisel einer Reibung ausgesetzt, wodurch er sich nicht ewig dreht.

  • Berechne den Drehimpuls.

    Tipps

    $J=m\cdot r^2$

    Lösung

    Zunächst werden die einzelnen Komponenten berechnet. Nicht als Vektor, auf dieser einfachen Kreisbewegung ist das auch nicht zwingend notwendig. Mit Hilfe der Rechten-Hand-Regel weiß man, dass der Zeichnung nach die Winkelgeschwindigkeit und damit das Drehmoment nach oben wirken.

    $J=m\cdot r^2=1~\text{kg}\cdot (0,3~\text{m})^2=0,09~\text{kgm}^2$

    $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{1,5\text{s}}=\dfrac{3}{4}\pi=4,19~\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$

    Zusammen:

    $L=J\cdot\omega=0,09~\text{kgm}^2\cdot 4,19~\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}=0,38~\dfrac{\text{kgm}^2}{\text{s}^2}$.

    Das Drehmoment ist also $L=0,38~\dfrac{\text{kgm}^2}{\text{s}^2}=0,38~\text{J}$ und wirkt nach oben.