Drehbewegung eines Körpers

Hallo und herzlich Willkommen, zu einem Video über die Kreisbewegung. Wir schauen uns heute ein Beispiel zu diesem Thema an. Die Aufgabe heißt: Drehbewegung. Dabei haben wir folgendes Szenario: Zwei Kreisscheiben, die sich übereinander befinden und parallel zueinander sind, drehen sich unabhängig voneinander um die gleiche Achse. Das hier ist die obere Kreisscheibe von oben gesehen, in schwarz. Darunter befindet sich die 2. Kreisscheibe in rot. In beide Kreisscheiben seien jeweils 6 Löcher gebohrt, die sich im Abstand von 60 Grad befinden. Zum Zeitpunkt T0=0 liegen die Löcher beider Kreisscheiben genau übereinander. Jetzt fangen sich beide Kreisscheiben an, in die gleiche Richtung zu drehen, gegen den Uhrzeigersinn. Aber mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten. Die Frage ist nun, wie lange dauert es, bis die Löcher wieder direkt übereinander liegen. Die Winkelgeschwindigkeiten sind:  Kreisscheibe A dreht sich mit OmegaA=Pi/3 Hertz und die Kreisscheibe B mit OmegaB=Pi/4 Hertz. Wobei die Kreisscheibe A die schwarze Kreisscheibe ist, also die schnellere und die Kreisscheibe B die rote, also die langsamere. Wie geht man bei so einer Aufgabenstellung vor? Erstmal rechnen wir die 60 Grad, also der Abstand der Löcher in das Bogenmaß um. Ein Grad war ja Pi/180rad, d.h. 60 Grad sind 60/180×Pi = Pi/3. Dann stellen wir für beide Kreisscheiben eine Bewegungsgleichung auf. Wir wissen, dass sich beide Kreisscheiben mit konstanter Winkelgeschwindigkeit drehen, also keine Beschleunigung stattfindet. Dann können wir die allgemeine Formel benutzen: Fi von t=Omega t +Fi0. Damit wir die Formel sinnvoll anwenden können, müssen wir uns auf ein Koordinatensystem festlegen. Also die Stelle, an der der Winkel Fi gleich 0 ist. Wir wählen das Ganze immer so, dass der Winkel Fi einer Kreisscheibe 0 ist, wenn sich die dicke Linie der Scheibe auf der positiven x-Achse befindet. Also genau so, wie wir es in der mathematischen Einführung für Polarkoordinaten gemacht haben. Mit dieser Definition macht das für die Kreisscheibe A: Fi A von t=OmegaA×t und für die Kreisscheibe B macht das: Fi B von t=OmgeaB×t. Weil ja zum Zeitpunkt 0 beide Kreisscheiben die Winkelkoordinaten 0 haben sollen, ist Fi0=0. Durch diese beiden Gleichungen wird vollständig die Winkelposition der dicken Linien der jeweiligen Kreisscheibe beschrieben. Wann liegen jetzt alle Löcher wieder übereinander? Genau, wenn sich Scheibe A relativ zu Scheibe B um 60 Grad=Pi/3 gedreht hat. Weil ja der Winkelabstand zwischen 2 Löchern Pi/3 beträgt. Also liegen alle Löcher wieder übereinander, wenn der Winkelabstand zwischen den beiden dicken Linien hier genau Pi/3 beträgt. Also: Fi A von t - Fi B von t=Pi/3, weil die Differenzen zweier eindimensionaler Größen nichts anderes als deren Abstand ist. Das gilt selbstverständlich auch für Winkel. Diese Zeile bedeutet in Worten also: Der Abstand zweier Winkel zu einem noch unbekannten Zeitpunkt soll Pi/3 sein. Jetzt brauchen wir nur noch einzusetzen und nach t aufzulösen. OmegaA×t-OmegaB×t ×t=Pi/3. Dann ist t=Pi/3/OmegaA×OmegaB -> Pi/3/Pi/3Hertz-Pi/4Hertz= 4 Sekunden, weil ja die Einheit von Hertz 1/Sekunde ist. So einfach geht das. Jetzt wollen wir noch wissen: Welchen Winkel haben dabei die Scheiben A und B überstrichen? Dazu müssen wir einfach die Zeit in die Bewegungsgleichungen einsetzen. Fi A von t=4sec. = Pi/3 1/sec×4sec. = 4/3Pi. Und das ganze × 180 Grad/Pi ergibt 240 Grad. Und Fi B von t=4sec. = Pi/4 1/swc×4sec. = Pi = 180 Grad. Und eine Frage können wir noch beantworten: Wie lange dauert es, bis Scheibe A Scheibe B einmal überrundet hat? Überrundet bedeutet, einen Vorsprung von 2Pi. Das heißt genau wie bei der 1. Aufgabe setzen wir an: Fi A von t - Fi B von t=2Pi. Also der Abstand beider Winkel zu einem noch unbekannten Zeitpunkt soll eine volle Umdrehung sein. Daraus folgt genau wir vorhin durch das Einsetzen: t=2Pi/Omega A-Omega B=24sec. So, das war es auch schon. Versuche, ähnliche Aufgaben selbstständig zu lösen. Ich habe auch noch eine für dich vorbereitet. Damit bedanke ich mich und bis zum nächsten Mal.