Zweiseitige Signifikanztests – Theoretische Grundlagen 07:00 min

Hallo, ich bin Paul und in diesem Video geht es um zweiseitige Hypothesentests. Zuerst werde ich mit euch noch einmal wiederholen, was ein Hypothesentest eigentlich ist und welche Größen darin vorkommen. Dann werde ich euch eine Einführung in zweiseitige Hypothesentests und das Rechnen damit geben. Da der Hypothesentest eines der schwierigeren Themen der Stochastik ist, solltet ihr schon einiges an Vorwissen mitbringen. Wichtig ist, dass ihr mit Bernoulliwahrscheinlichkeiten und kumulierten Bernoulliwahrscheinlichkeiten umgehen könnt. Außerdem solltet ihr die Begriffe Erwartungswert, Standardabweichung, Sigmaumgebung, Binomialverteilung und binomial verteilte Zufallsgrößen kennen. Da es hier um zweiseitige Hypothesentests geht, werde ich wenig zur Grundlage, den einseitigen Hypothesentests sagen. Um meinem Video gut folgen zu können, solltet ihr euch mit denen am besten schon auseinandergesetzt haben. Beginnen wir am besten beim Begriff Hypothesentest. Was ist ein Hypothesentest und wofür brauchen wir ihn? Beim Hypothesentest wird eine Zufallsgröße x darauf untersucht, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie eintritt. Dafür stellt man eine Hypothese H0 und eine Gegenhypothese H1 auf. Ein Beispiel hierfür wäre die Untersuchung eines Würfels. Unsere Hypothese ist, dass der Würfel echt ist, also die Wahrscheinlichkeit für die Zufallsgröße x (wir werfen eine Sechs), 1/6 beträgt. P(6)=1/6. Die Gegenhypothese lautet: Der Würfel ist gefälscht, die 6 tritt zu häufig auf. Jetzt würfeln wir ganz oft und schreiben uns auf, wie häufig die 6 kommt. Nach dieser Stichprobe wollen wir entscheiden, ob der Würfel echt ist oder nicht. Die Anzahl an Sechsen, ab deren wir uns gegen die Hypothese entscheiden, heißt kritische Zahl und wird meist mit k oder c bezeichnet. Die Vorschrift, nach der wir uns entscheiden, nennen wir passenderweise Entscheidungsregel. Wie ihr euch vorstellen könnt, ist es gar nicht so einfach, die Grenze festzulegen, ab der wir den Würfel für gefälscht abtun, denn wir haben es hier ja mit Zufallsgrößen zu tun. Jeder kennt das vom Spielen. Mal würfelt man mehr Sechsen, mal würfelt man weniger. Wir können also Fehler begehen. Man unterscheidet 2 Arten von Fehlern. Zum einen könnten wir die Hypothese ablehnen, obwohl sie eigentlich stimmt. Dies nennen wir einen Alphafehler oder auch Fehler erster Art. Zum anderen könnten wir die Hypothese annehmen, obwohl sie eigentlich falsch ist. Dies nennen wir einen Betafehler oder auch Fehler zweiter Art. Bei unserer Würfeluntersuchung wäre der Alphafehler, dass wir den Würfel für gefälscht halten, obwohl er eigentlich echt ist. Der Betafehler wäre, dass wir ihn akzeptieren, obwohl er gefälscht ist. Bei den Hypothesentests gibt es verschiedene Aufgabentypen. Die 2 wichtigsten sind: dass ihr bei vorgegebenen Hypothesen und Entscheidungsregeln, die Fehler bestimmen sollt, oder das ihr eine Entscheidungsregel festlegen sollt, die einer bestimmten, vorgegebenen Fehlerwahrscheinlichkeit genügt. Nun kommen wir zu den zweiseitigen Hypothesentests. Das besondere bei den zweiseitigen Tests ist, dass es egal ist, in welche Richtung unsere Stichprobe abweicht. Ab einer bestimmten Entfernung zum Erwartungswert lehnen wir unsere Hypothese ab, egal ob die Stichprobe zu viele oder zu wenige Ergebnisse waren. Der Alphafehler findet sich dann zur Hälfte am linken und zur Hälfte am rechten Rand. Außerdem haben wir den Annahmebereich. Das ist der Teil, der die erlaubte Abweichung vom Erwartungswert nicht überschreitet und den Verwerfungsbereich, der außerhalb liegt und uns  zum Verwerfen unserer Hypothese führt. Für die Gegenhypothese geben wir beim zweiseitigen Test keine feste Wahrscheinlichkeit an, denn wir wollen uns ja nicht auf eine Abweichungsrichtung festlegen. Wir wollen nur wissen, ob eine Stichprobe im Bereich des Möglichen für die gewählte Hypothesenwahrscheinlichkeit liegt. Der Alphafehler sagt uns, wie wahrscheinlich es ist, dass die Ereignisanzahl außerhalb des von uns gewählten Bereiches liegt und H0 aber trotzdem wahr ist. Den Betafehler können wir nicht eindeutig bestimmen, da wir ja keine andere Wahrscheinlichkeit für H1 annehmen. Fassen wir noch einmal das ganze komplizierte Thema zusammen. Bei einem zweiseitigen Hypothesentest versuchen wir mithilfe einer Stichprobe zu entscheiden, ob ein binomial verteiltes Zufallsereignis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintritt. Diese Vermutung wird verworfen, wenn die Anzahl in der Stichprobe um eine bestimmte Zahl vom Erwartungswert abweicht. Alle Zahlen innerhalb dieses Abstandes sind im Annahmebereich. Alle Zahlen außerhalb sind im Verwerfungsbereich. Bei unserem Test hängt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir einen Fehler erster Art begehen, davon ab, wie weit wir uns laut Entscheidungsregel von unserem Erwartungswert entfernen dürfen. Je größer der Annahmebereich, desto kleiner wird der Fehler erster Art, desto größer wird aber der Fehler zweiter Art. Das gilt auch dann, wenn wir den Fehler zweiter Art nicht konkret bestimmen können. Ich hoffe, dieses Video hat euch etwas näher gebracht, wie ihr an einen zweiseitigen Hypothesentest rangehen könnt und worauf ihr dabei achten solltet. Viel Spaß und Erfolg weiterhin und bis zum nächsten Mal.